1、2016 届黑龙江省哈尔滨市六中高三下学期开学考试数学（理）试题一、选择题1已知集合 ， ，且 有 4个子集，则实数 的取03|2xA,1aBBAa值范围是（ ）A. B. C. D.)3,0( ),(1),( ),3()1,(【答案】B 【解析】试题分析： ， 有 个子集，可知 中有两个元03AxBA4BA素，故 且 ，选 B0,3a1【考点】1、一元二次不等式；2、集合的运算2复数 等于（ ）i1A. B. C. D.0i32i2【答案】D 【解析】试题分析： . 231+01ii i【考点】复数的运算3函数 的单调递减区间是（ ）)4sin2co4s2(inlog1 xxyA. B.Zk
2、k),85,( Zkk),83,(C. D.3 ,5,【答案】B【解析】试题分析：先把复合函数分解为，因为外函数单调减，根12log,sincos2insi2444yuxxx据复合函数单调性，复合函数的单调递减区间即内函数的单调递增区间，令（ ） ，解得 （ ） 2kk388kk【考点】1、三角恒等变换；2 对数函数的单调性；3、复合函数的单调性4等比数列 中， ，前 3项和为 ，则公比 的值是（ ）na9320SxdqA. 1 B. 12 C. 1或 D. -1或 12【答案】C【解析】试题分析： ，即233 12317700Sxda，解得 或 3237aqq-【考点】1、定积分；2、等比数
3、列的通项公式及前 n项和公式5已知关于 的二项式 nxa)(3展开式的二项式系数之和为 32，常数项为 80，x则 的值为（ ）aA1 B 1 C2 D 2【答案】C 【解析】试题分析：令 ， ，可得关于 的二项式展开式的二项式系数之和为=x1ax.二项式展开式的通项为 ，令23,5n13513621rnrnrrrTCaxCx，故常数项为 ，解得 .=06r， 34580a【考点】二项式定理6若两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的yx,1myx342取值范围是（ ）A. B.)4,1(),(),(C. D. 30【答案】B 【解析】试题分析：由题意知 ，不等式 41442yxxyx有
4、解，只需 即可，解得 或 .myx34223mm【方法点睛】在数学运算中,为了解题方便,我们常将“ ”代换成另一种形式.高中数1学中有不少题目，如果能巧妙地利用 的代换，将大大地简化计算量和计算过程，能收1到事半功倍的良效.本题就是巧妙运用 ，把 变换成 ，4yx4xy41xy然后再利用均值不等式求出 的最小值，从而得到关于 的不等式，进一步求得m的范围m【考点】1、均值不等式；2、不等式有解成立的条件7执行如图所示的程序框图，若输入 的值为 8，则输出 的值为（ ）nSA. 4 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B【解析】试题分析：初始条件 ， ， ； ，运行第一次，1Sk2i28，
5、 ， ； 运行第二次，112Sik4i14， ， ； ，运行第三次，463k6， ， ； 不成立，输出 683ik28i8，故选 B8S【考点】程序框图8若 A为不等式组0,2xy表示的平面区域，则当 a从2 连续变化到 1时，动直线 xya扫过 中的那部分区域的面积为（ ）A1 B C 34D7432【答案】D 【解析】试题分析：根据题意画图，当 从 连续变化到 时，动直线扫过 中的那a-21A部分区域的的形状为直角边长为 的等腰直角三角形剪去斜边长为 的等腰直角三角形，计算得面积为 .74【考点】1、线性规划；2、割补法求不规则图形的面积9如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 ，
6、一个内角为 的菱形，3260俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 234384【答案】D【解析】试题分析：因为一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 ，且一个32内角为 的菱形，所以菱形的边长为 ，由三视图可得，几何体是由两个底面正方60 1形的正四棱锥组合而成，底面边长为 ，侧棱长为 ，所以几何体的表面积为：32，故选 D18=42【考点】1、三视图；2、多面体的表面积10已知 为正三角形 内一点，且满足 ，若 的OABC0)1(OCBOAAB面积与 的面积比值为 3，则 的值为（ ）A. B. C. 2 D. 3 211【答案】A【解析】试题分析：由题可知
7、，以 为原点， 所在直线为 轴建立直角坐标系，BCx设正三角形的边长为 ，则 ，设 根据2,30,A,Oy，于是有10OABOC，化简可得，,3,12,xyxxy，即 ，由直线方程可得，1203yy 32y， 的面积与 的面积比值为 ，即,32ABACxxOABC3的高与 的高比值为 ，由点到直线的距离公式知，O， ，即 ，解得23OD32OE323， ，即 .28101401【考点】1、向量的坐标运算；2、点到直线的距离公式11过双曲线 的左焦点 作圆 的切线，切,2bayx 0,cF22ayx点为 ，延长 交抛物线 于点 , 为原点，若 ，则双曲EFcx42POOPFE1线的离心率为（ ）
8、A. B. C. D.25123172724【答案】A【解析】试题分析：设抛物线的焦点为 ， 为 的中点，由,0Fc/F得 为 的中点，所以12OEFPE，设 ，/ /,2,acbP,xy.过点 作 轴的垂线，点 到该垂线的距离为 ，由勾xc0Fx2a股定理得， ，即 ，解得 224yab244cab15e【考点】1、向量的运算；2、离心率的求法【方法点睛】离心率是圆锥曲线的一个重要性质，离心率的几种常用求法：1、已知圆锥曲线的标准方程或 易求时，可利用率心率公式 来解决；2、根据题设条ac、 cea件，借助 之间的关系，沟通 的关系，构造 的齐次式， （特别是齐、 b、 ac、 、二次式）
9、，进而得到关于 的一元方程，从而解得离心率 .本题用的是第二种方法.e12定义在 上的单调函数 ，则方程0+， 2(),0,()log3fxfx的解所在区间是（ ）2)(xfA. B. C. D.1,01,2,13,2【答案】C 【解析】试题分析：由题可知，对任意的 ，都有 ，0,x2logfx又由 定义在 上的单调函数，则 为定值，设fx0,2-logf，则 ，又有 ，即 ，解得 ，2-logt2=log+fxt3t2l+3t=t则 ， ，将 代入到 ，可2=log+fx/1ln2fx/fxf、 /-=2fx得 ，令 ，则有 ，1-0lnog-lh10lnh，则 的零点在 之间，则方程2h2
10、lx,2，即 的根在 之间.log-x/-=f1【考点】1、函数零点的定义；2、换元法解决问题的能力【方法点睛】首先利用函数 在 上为单调函数，对任意的 ，fx0,0,x都有 ，得 为定值.然后用换元法令2log3fx2-logx得 ，解得 ，从而 ，求导代入-tft=t2=log+fx，得 ，构造函数/=fx21l-0nx 1-lnh， 可得零点在 之间.10h,二、填空题13已知等差数列 中， ,那么 .na45831a)cos(53a【答案】 32【解析】试题分析： ，故 ， ，13845aa4512a35426a故 .35cos()cos62【考点】等差数列的性质145 位同学排队，其
11、中 3位女生，2 位男生.如果 2位男生不能相邻，且女生甲不能排在排头，则排法种数为 .【答案】 60【解析】试题分析：若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有 种；若第一个出场的是女生（不是女生甲） ，则将剩余的1326CA个女生排列好， 个男生插空，方法有 种，故所有的出场顺序的排法2 1234CA种数为 种.40【考点】排列组合及简单的计数问题.15已知球 的直径 ， 是球 球面上的三点,O4PQB,O， 是正三角形，则三棱锥 的体积为 .30CBAPACABCP【答案】 439【解析】试题分析：由题可知，三棱锥 为正三棱锥，如图是球的一个切面的PABC一部分
12、， ， ，所以正三棱锥的高PQ30C，底面 的高为cos30D，底面边长为 ，则底面面积为322C 3=2，则其体积 .1394S1934VSPD【方法点睛】先由题意得该三棱锥的形状为正三棱锥，然后利用已知条件计算出正三棱锥的高和底面三角形的高及三角形的底面边长，进一步计算出底面三角形的面积，最后利用三棱锥的体积公式计算出三棱锥的体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积16给出下列四个结论：（1）如图 中， 是斜边 上的点，RtABC2,90,3.BCDAC. 以 为起点任作一条射线 交 于 点，则 点落在线段 上的DEAED概率是 ；32（2）设某大学的女生体重 与身高 具有线性相关关系，根据一
13、组样本数据kgycmx，用最小二乘法建立的线性回归方程为 ，则若niyxi ,1, 71,85.0xy该大学某女生身高增加 ，则其体重约增加 ；ckg85.0（3）若 是定义在 上的奇函数，且满足 ,则函数 的图像关()fxRxfxf2()fx于 对称;1（4）已知随机变量 服从正态分布 则 .21,40.79,NP210P其中正确结论的序号为 【答案】【解析】试题分析：由题意， ， ，所以 ，所以点CDB35CBD落在线段 上的概率是 ，故不正确；根据线性回归方程为E75906，知回归系数为 ，即身高增加 ，则其体重约增加 ，0.85.71yx0.851cm0.85kg故正确；由于 是定义在
14、 上的奇函数，则 ，于是fRfxf，即函数 的图像关于 对称，故正确；随机变量 服从2fxxxf 正态分布 ，由于 ，故21N， 40.79P，故正确；综上所述，正确的为. 4.21P【考点】1、几何概型；2、两个变量的线性相关；3、函数的性质；4、正态分布的特点及曲线所表示的意义【易错点睛】命题非常容易出错，同学们往往会用两条线段的长度的比值计算点落在线段 上的概率，把这个题目判断成正确的命题.正确的解题方法应该是根据ECD， ，计算出 ，然后用角度的比值计算出点 落在B30 75CBD E线段 上的概率是 ，所以命题是一个错误的命题.7596三、解答题17 “德是”号飞船返回舱顺利到达地球
15、后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为 ） 当返DCB,回舱距地面 1万米的 点时（假定以后垂直下落，并在 点着陆） ， 救援中心测得PA飞船位于其南偏东 方向，仰角为 ， 救援中心测得飞船位于其南偏西 方向，6060B30仰角为 救援中心测得着陆点 位于其正东方向3DA（1）求 两救援中心间的距离；CB,（2） 救援中心与着陆点 间的距离DA【答案】 （1） ；（2） .30931【解析】试题分析：（1）由题意知 均为直角三角形，利用边角关系可得PABC,、 , 为直角三角形，利用勾股定理可求 ；（2）利用两角和的正弦ACB公式求出
16、 的值，在 中，由正弦定理求得 .sinDD试题解析：（1）由题意知 ，则 均为直角三角形PA, ,在 中， ，解得PRt 60,1C3C在 中， ，解得PABRt30,1PBA3B又 ， 万米90C2C（2） ，103sinsiD10cosD又 ，所以30CA 23)sin(siACA在 中，由正弦定理，DDsisi万米139sinAC【考点】1、直角三角形边角关系；2、正弦定理；3、两角和的正弦公式.18我国新修订的环境空气质量标准指出空气质量指数在 05为优秀，各类人群可正常活动.市环保局对我市 2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取 50个作为样本进
17、行分析报告，样本数据分组区间为 5,1，15,2， ,35， ,4，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.（1）求 的值；a（2）根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（3）如果空气质量指数不超过 15，就认定空气质量为“特优等级” ，则从这一年的监测数据中随机抽取 3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为 ，求 的分布列和数学期望.【答案】 （1） ；（2） ；（3） 的分布列见解析， .0.a4.635E【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图得频率和为 1，得到 值；（2）由 个a0样本中空气质量指数的平均值可估计这一年度空气质量指数的平均值；（3）利用样本估计总
18、体， ，求得分布列和数学期望.3,5B试题解析：（1）由题意，得 ，0.2+30.18a解得 0.a（2） 个样本中空气质量指数的平均值为50.1.320.3.18402.6X由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为 4.（3）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在 内为“特优等级” ，5，且指数达到“特优等级”的概率为 ，则 0.213,B的取值为0123， ， ， ，3465PC213485PC231. 034525PC 的分布列为： 64812301255E（或者 ） 3【考点】1、频率分布直方图；2、样本平均值；3、分布列和数学期望.19如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ，在锐角ABCDPPABCDA/中 ，并且 ， .PAD82542（1）点 是 上的一点，证明：平面 平面 ；MPCMBDPA（2）若 与平面 成角 ，当面 平面 时，求点 到平面ABD60CM的距离B【答案】 （1）证明见解析；（2） .3
