1、西安市第一中学2015-2016 学年度第一学期期中高三数学(文科)试题 一、选择题：（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分）1设集合 U1,2,3,4,5,6， M1,2,4，则 UM等于 ( )A U B1,3,5 C2,4,6 D3,5,6 2870角的终边在第几象限 ( )A一 B二 C三 D四3命题“ xR， 210x”的否定是 （ ）A ， 2 B xR， 210xC xR， 10x D ，4如图， e1， e2为互相垂直的单位向量，则向量 a b可表示为 ( )A e13 e2B2 e14 e2C 3 e2 e1D3 e1 e25函数 y x|x|的图像经描点确定后的形状
2、大致是 ( )6设数列 an的前 n项和 Sn n2，则 a8的值为 ( )A64 B49 C16 D15 7曲线 ysin xe x在点(0,1)处的切线方程是 ( )A x3 y30 B x2 y20 C2 x y10 D3 x y10 8若变量 x， y满足约束条件Error!则 2x y的最大值是 ( )A8 B7 C4 D29在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别是 a， b， c，若 a2 b2 bc，sin 3C2 sin B，则 A等于 3( )A30 B60 C120 D15010如图是三棱锥 D ABC的三视图，点 O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线 DO和
3、AB所成角的余弦值等于( )A. B. C. D. 12 22 33 311. 椭圆 M: 21(0)xyab左右焦点分别为 1F， 2，P 为椭圆 M上任一点且 1PF2最大值取值范围是 2,3c，其中 2cab，则椭圆离心率 e取值范围为 （ ）A. 2,1 B. 3,2 C. 3,1 D. 1,3212. 已知函数 2,(04)()36xxf ，若存在 12,x，当 12046x时，12()fxf，则 12)f的取值范围是 （ ）A. 0,) B. 1,4 C. 1,6 D. 138二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13若 (1)zi（其中 i为虚数单位） ，则
4、|z是_ 14已知 x0， y0，且 2x y1，则 的最小值是_1x 2y15随机向边长为 5，5，6 的三角形中投一点 P，则点 P到三个顶点的距离都不小于 1的概率是_.16已知函数 f(x)Error!若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是_三、解答题(本大题 6小题,共 70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17(本小题满分 12分)函数 f(x)3sin(2 x )的部分图像如图所6示(1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0， y0的值；(2)求 f(x)在区间 ， 上的最大值和最小值2 1218(本
5、小题满分 12分)在等比数列a n中，a 23，a 581.(1)求 an；(2)设 bnlog 3an，求数列b n的前 n 项和 Sn.19(本小题满分 12分) 如图，在三棱柱 ABC -A1B1C1 中，侧棱垂直于底 面，ABBC，AA 1AC2，BC1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点(1)求证：平面 ABE平面 B1BCC1；(2)求证：C 1F平面 ABE；(3)求三棱锥 E - ABC 的体积20(本小题满分 12分)如图所示，抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1,2)， A(x1， y1)， B(x2， y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线
6、方程；(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1y 2 的值及直线 AB 的斜率21 （本小题满分 12 分）设函数 xkxf23)( R(1) 当 1k时,求函数 )(f的单调区间；(2) 当 0时 ,求函数 在 k,上的最小值 m和最大值 M请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分作答时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑22.(选修 41几何证明选讲) （本小题满分 10分）如图，过圆外一点 P的直线交圆 O于 A、B 两点,PE 是圆 O的切线，CP 平分 AE，分别与 AE、BE 交于点 DC,. 求证：
7、(1) ； （2）.PEB23.(选修 44 坐标系与参数方程选讲) （本小题满分 10分）已知在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 ， （ t为yx3参数） ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 03cos42（1）求直线 l的普通方程和曲线 C的直角坐标方程；（2）设点 P是曲线 上的一个动点，求它到直线 l的距离 d的取值范围24.(选修 45不等式选讲)（本小题满分 10分）设函数Rxxf,1)(（1）求不等式 2)(f的解集；（2）若1g()(-)mxfx的定义域为 R,求实数 m的取值范围.西安市第一中学2015-2016 学年度第一学
8、期期中高三数学(文科)答案一、选择题： DCBAAD CBACBB二、填空题 13. 14. 8 15. 16. (0,1)2241三、解答题(本大题 6小题,共 70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17 函数 f(x)3sin(2x )的部分图像如图所示6(1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0，y 0 的值；(2)求 f(x)在区间 ， 上的最大值和最小值2 12解 (1)f(x)的最小正周期为 .x0 ，y03. -676(2)因为 x ， ，所以 2x ，02 12 6 56于是，当 2x 0，即 x 时， f(x)取得最大值 0；6
9、12当 2x ，即 x 时 ，f(x)取得最小值3.-126 2 318在等比数列a n中，a 23，a 581.(1)求 an；(2)设 bnlog 3an，求数列b n的前 n 项和 Sn.解 (1)设a n的公比 为 q，依题意得Error!解得 Error!因此，a n3 n1 . -6(2)因为 bnlog 3ann1，所以数列 bn的前 n 项和 Sn .-12nb1 bn2 n2 n219 如图，在三棱柱 ABC -A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AB BC，AA 1AC2，BC 1，E，F 分别是A1C1，BC 的中点(1)求证：平面 ABE平面 B1BCC1；(2)求证：C
10、 1F平面 ABE；(3)求三棱锥 E - ABC 的体积(1)证明 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， BB1底面 ABC，所以 BB1AB.又因为 ABBC，所以 AB平面 B1BCC1.所以平面 ABE平面 B1BCC1.-4(2)证明 取 AB 的中点 G，连 接 EG，FG.因为 E，F，G 分 别是 A1C1，BC，AB 的中点，所以 FGAC，且 FG AC，EC1 A1C1.12 12因为 ACA1C1，且 ACA 1C1，所以 FGEC1，且 FGEC 1，所以四边形 FGEC1为平行四边 形，所以 C1FEG.又因为 EG 平面 ABE，C1F平面 ABE，所以 C1F平
11、面 ABE. -8(3)解：因为 AA1AC2 ，BC1， ABBC，所以 AB .AC2 BC2 3所以三棱锥 E - ABC 的体积V SABCAA1 12 .-1213 13 12 3 3320如图所示，抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1,2)， A(x1， y1)，B(x2， y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1y 2 的值及直线 AB 的斜率解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为 y22px( p0)点 P(1,2)在抛物 线上， 222 p1，解得 p2.故所求抛物线的方程是 y24
12、 x，准线方程是 x1.-6(2)设直线 PA 的斜率 为 kPA，直 线 PB 的斜率为 kPB，则kPA (x11) ，kPB (x21)，y1 2x1 1 y2 2x2 1PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，k PAk PB.由 A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得 y 4x 1，21y 4x 2，2 ，y12 (y22)y1 214y21 1 y2 214y2 1y1y 24.由 得，y y 4(x 1x 2)，21 2kAB 1(x 1x 2)-12y1 y2x1 x2 4y1 y221 （本小题满分 14 分）设函数 kf23)( R(1) 当 1k时,求函数 )
13、(xf的单调区间；(2) 当 0时,求函数 在 k,上的最小值 m和最大值 M【解析】： 231fxx(1)当 1k时 ,42800fx, f在 R上单调递增.-6（2 ）当 0k时， 231fxkx，其开口向上，对称轴 3kx，且过 01， （i）当 2410，即30k时， 0fx， fx在 ,k上单调递增，从而当 x时， 取得最小值 mf ,当 k时， f 取得最大值332Mfkk.（ii）当 2410，即 3k时，令30fxkx解得：221 3,k,注意到 210kx,(注：可用韦达定理判断 12x， 12x,从而 21x；或者由对称结合图像判断) 1 2min,ma,fkxMfkfx3
14、21 10fx的最小值 fk, 232322 2=10fxfxkxkk 的最大值 Mf综上所述，当 0k时， x的最小值 mfk,最大值 32Mfkk-12解法 2（2 ）当 时，对 ,k，都有3232() (1)0fxkxxk，故 fxfk2221)()10k xk-kk 3xk故 fxfk，而 ()0fk， 3()20fkk所以 3ma()2， minxf做的第一题记分做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑A.选修 41：几何证明选讲如图所示， AB为圆 O的直径， BC， D为圆 O的切线， ， D为切点.（）求证： /；（）若圆 的半径为 2，求 的值.解：(I)连接
15、 B,是圆 的两条切线， CB， 90DO,又 A为圆 O的直径， DBA，AC, /C,即得证，(II) , , Rt Rt O，8CB。 B.选修 44：坐标系与参数方程已知在直角坐标系 xOy中，圆 C的参数方程为 sin24co3yx（ 为参数）.（）以原点为极点、 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C的极坐标方程；（）已知 (2,0)(,AB，圆 上任意一点 ),(xM，求 AB面积的最大值.解：（I）圆 C的参数方程为 sin24co3yx（ 为参数）所以普通方程为 )()3(2x 圆 的极坐标方程： 01si8co6（II）点 ),(yxM到直线 AB： 2yx的距离为 2|9sinco| d AB的面积 |)4i(|9sinco|21 dS所以 面积的最大值为 29 C选修 4-5：不等式选讲已知函数 ()1.fxxa（I）若 a，解不等式 ()3f；（II）如果 ,2R，求 的取值范围解：（）当 1时， 1.fxx由 ()3fx得 .当 时，不等式可化为 3即 2，其解集为 3(,.2当 1时，不等式化为 1x，不可能成立，其解集为 ；当 x时，不等式化为 ,即 ，其解集为 ,).综上所述， ()3f的解集为 3().2 （） 11xa，要 ,(2xRf成立，则 12a， 或 ，即 的取值范围是 (,3,)。
