1、2015-2016 学年重庆市南开中学高三（上）1 月月考数学试卷（理科）一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设复数 z 的共轭复数为 ，若 =（ ）Ai Bi C 1+i D1i2已知等差数列a n满足：a 5+a8a10=2，则a n的前 5 项和 S5=（ ）A10 B9 C8 D73 “p 或 q 为假” 是“p 且 q 为假”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4已知双曲线事 的一条渐近线与直线 y=2x+5 平行，则双曲线的离心率等于（ ）A2 B5 C D5下列四个
2、函数中，图象既关于直线 对称的是（ ）A B C D6执行如图所示的程序框图，则输出的数的个数是（ ）A7 B6 C5 D47已知函数 ，若 f（x）mx 1 恒成立，则实数 m 的最大值为（ ）A2 B C6 D4 248在 的展开式中，常数项为（ ） /A36 B48 C63 D72 k9已知圆 O：x 2+y2=4，直线 ，则圆 O 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 的概率为（ ） lA B C D F10已知实数 x，y 满足可行域 ，曲线 C：|x|+|y| a=0 恰好平分可行域 D 的面积，则 a 的值为（ ） 9A2 B C D r11如图，F 1F2 为椭圆 C： =1
3、 的左、右焦点，点 P 为椭圆 C 上一点，延长PF1、 ，PF 2 分别交椭圆 C 于 A，B若 =2 ， = ，则 =（ ） +A1 B C D C12设函数 f（ x）是函数 f（x） （xR）的导函数，f（0）=1，且 3f（x）=f（x） 3，则4f（x）f （x ）的解集为（ ） 2A （ ，+） B （ ，+） C （ ，+） D （ ，+） 0二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分把答案填写在答题卡相对应位置上 d13已知随机变量 服从正态分布 N（， 2） （ 0） ，且 p（2）=0.8，则p（ 2）= 214若向量 与 满足| |= ，| |=2， （
4、 ） 则向量 与 的夹角的余弦值为 u15用 4 种不同的颜色对图中 A，B，C，D，E，F 六个点进行染色，要求同一线段的两点（如：AC，BD，）颜色不相同，而且相邻的两点（如：AB，BC ，）颜色也不相同，则不同的染色方案种数为 （用数学作答） G16用 maxx，y表示 x，y 两个数中的最大数，若ABC 的三个内角满足：ABC，则 的取值范围为 C三、解答题：本大题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 n17已知数列a n的前 n 项和为 Sn，2S n=3an3（n N*） l（1）求数列a n的通项公式； i（2）若数列 bn=log3an+an，求数列b n的前
5、n 项和 Tn 318在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，满足 acosC=（2b c）cosA q（）求A 的大小； Q（）若 a=3，求ABC 面积 S 的取值范围 g19某小组为了研究中学生的视觉和空间能力是否与性别有关，从学校各年级中按分层抽样的方法抽取 50 名同学（男生 30 人，女生 20 人） 给每位同学难度一致的几何题和代数题各一道，让他们自由选择一道题进行解答50 名同学选题情况如下表： =几何体 代数题 总计男同学 22 8 30女同学 8 12 20总计 30 20 50（）能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ =（）现
6、从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 E（X） 参考公式和数据：P（k 2k）0.10 0.050 0.025 0.010 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.82820已知椭圆 的离心率为 ，右顶点 A 是抛物线 y2=8x 的焦点过 D（1，0）直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点（）求椭圆 C 的方程；（）若 ，且点 M 关于直线 l 的对称点 N 在 y 轴上，求直线 l 的方程21已知函数 （）若函数 f（x）的图象在 x 轴上方，求 m 的取值范围；
7、（）若对任意的正整数 n 都有 成立，求 a 的最大值请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.选修 4-l：几何证明选讲22如图，四边形么 BDC 内接于圆，BD=CD ，过 C 点的圆的切线与 AB 的延长线交于 E点（I）求证：EAC=2 DCE；（）若 BDAB，BC=BE，AE=2，求 AB 的长选修 4-4：极坐标系与参数方程23在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，直线l 和圆 C 交于 A，B 两点，P 是圆 C 上不
8、同于 A，B 的任意一点（）求圆 C 及 l 的直角坐标方程；（）求PAB 面积的最大值选修 4-5：不等式选讲24设函数 f（x）=| x+1|+|x|（xR）的最小值为 a（I）求 a；（）已知两个正数 m，n 满足 m2+n2=a，求 + 的最小值2015-2016 学年重庆市南开中学高三（上）1 月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设复数 z 的共轭复数为 ，若 =（ ）Ai Bi C 1+i D1i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把给出的等式两边同时乘以 ，然后采
9、用复数的除法运算化简，求出 后，再求其共轭即可得到 z【解答】解：由 ，得： 所以， 故选 D2已知等差数列a n满足：a 5+a8a10=2，则a n的前 5 项和 S5=（ ）A10 B9 C8 D7【考点】等差数列；等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和【分析】依题意，由 a5+a8a10=2，可求得 a3，利用等差数列的性质即可求得 S5 2727239【解答】解：数列a n为等差数列，a 5+a8a10=2，a 3=2，又由等差数列的性质知，S 5=5a3=10故选 A3 “p 或 q 为假” 是“p 且 q 为假”的（ ） 27239A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件
10、 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的性质结合复合命题的性质进行判断即可【解答】解：若 p 或 q 为假，则 p 假 q 假，则 p 且 q 为假，是充分条件，若 p 且 q 为假，则 p 假或 q 假，推不出 p 或 q 为假，不是必要条件，故选：A4已知双曲线事 的一条渐近线与直线 y=2x+5 平行，则双曲线的离心率等于（ ）A2 B5 C D【考点】双曲线的简单性质【分析】根据渐近线和直线平行，求出渐近线方程，得到 a，b 的关系，结合离心率的公式进行转化求解即可【解答】解：由双曲线的渐近线与直线 y=2x+5 平行知，双曲线的一条
11、渐近线方程为2xy=0， =2，b=2a，c= a，离心率 e= = ，故选：C5下列四个函数中，图象既关于直线 对称的是（ ）A B C D【考点】正弦函数的对称性【分析】求出各个函数的图象的对称轴，若图象不关于直线 x= 对称，即可排除此选项若图象关于直线 x= 对称，再令 x= ，看函数值是否等于零，从而得出结论【解答】解：由于函数 ，令 2x =k+ ，可得它的对称轴为 x= + ，kz ，故关于直线 x= 对称再令 x= 可得 =0，故图象也关于点（ ，0）对称，故 A 满足条件由于函数 ，令 2x+ =k+ 可得它的对称轴为 x= + ，kz，故不关于直线 x= 对称，故 B 不满
12、足条件由于函数 ，令 4x+ =k+ ，可得它的对称轴为 x= + ，kz，故不关于直线 x= 对称，故 C 不满足条件由于函数 ，令 4x =k+ ，可得它的对称轴为 x= + ，kz，关于直线 x= 对称再令 x= 可得 4x = ， =1，可得它的图象不关于点（ ，0）对称，故 D 不满足条件故选 A6执行如图所示的程序框图，则输出的数的个数是（ ）A7 B6 C5 D4【考点】程序框图【分析】由题意，即求 n100（n N） ，满足 log2nN 的 n 的个数【解答】解：由题意，即求 n100（n N） ，满足 log2nN 的 n 的个数，n=1，2，4，8，16，32，64，故选
13、：A7已知函数 ，若 f（x）mx 1 恒成立，则实数 m 的最大值为（ ）A2 B C6 D4【考点】函数恒成立问题【分析】利用不等式恒成立转化为两个函数的图象关系，利用数形结合进行求解即可【解答】解：若 f（x）mx 1 恒成立，则若 f（x）+1mx 恒成立，即当 x0 时，f（x）+1mx 等价为 x2+2x+1mx，即（x+1） 2mx，当 x0 时，f（x）+1mx 等价为 sin（ x）+1mx，设 g（x）= ，作出函数 g（x）的图象如图：当 m0 时，不满足条件当 m=0 时，满足条件当 m0 时，当直线 y=mx 与 y=（x+1） 2 在 x0 相切时，满足 x2+2x
14、+1=mx，即 x2+（2m）x+1=0 ，则判别式=（2 m） 24=0，得 m2=2 或 m2=2，得 m=4 或 m=0（舍） ，要使 f（x）mx1 恒成立，则 0m4，则实数 m 的最大值为 4，故选：D8在 的展开式中，常数项为（ ）A36 B48 C63 D72【考点】二项式系数的性质【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的系数等于 0，求得 k=2r，再分类讨论即可求得展开式中的常数项的值【解答】解： =（x+ +3） 3 的展开式的通项公式为 C3k33k（x+ ） k，其中（x+ ） k 的展开式的通项公式为 Ckr2rxk2r，当 k2r=0 时，即 k=2r
15、时 x 的系数为 0，即为常数项，若 k=0 时，其常数项 C3033=27，若 k=2 时，r=1 ，其常数项 C2121C3231=36，故在 的展开式中，常数项为 27+36=63，故选：C9已知圆 O：x 2+y2=4，直线 ，则圆 O 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 的概率为（ ）A B C D【考点】几何概型【分析】试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是 60，根据几何概型概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满
16、足条件的事件是到直线 l 的距离小于 ，过圆心做一条直线交直线 l 与一点，圆心到直线的距离是 =2 ，在这条垂直于直线 l 的半径上找到圆心的距离为 3 的点做半径的垂线，根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是 60根据几何概型的概率公式得到 P= = 故选 D10已知实数 x，y 满足可行域 ，曲线 C：|x|+|y| a=0 恰好平分可行域 D 的面积，则 a 的值为（ ）A2 B C D【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，确定 x，y 的取值范围将曲线进行化简，利用面积关系进行转化求即可即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则 B（ 2，0） ，C（4，0） ，由 ，解得 ，即 A（ ， ） ，则 y0 且2 x4，则曲线 T：|x|+|y|a=0，等价为 |x|ya=0，即 y=a|x|，ABC 的面积 S= = ，作出直线 y=a|x|的图象如图，则对应的区域为DEF，其中 E（0，a） ，D（ a，0） ，F（a，0） ，则DEF 的面积 S= =a2= = ，则 a= = ，故选：D11如图，F 1F2 为椭圆 C： =1 的左、右焦点，点 P 为椭圆 C 上一点，延长PF1、 ，PF 2 分别交椭圆 C 于 A，B若 =2 ， = ，则 =（ ）
