1、第 1 页（共 25 页）2017 届重庆市永川中学高三（上）12 月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1已知集合 A=xZ|（x+1） （x 2）0，B=x |2x2，则 AB=（ ）Ax |1x2 B 1，0，1 C0，1，2 D1，12在ABC 中， “A= ”是“cosA= “的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3已知 i 是虚数单位，复数 =（ ）Ai2 B2+i C2 D24已知等比数列a n中，若 a4=10，a 8= ，那么 a6=（ ）A 5 B5 C5 D255执行如图所示的程序框图，
2、如果输入 n=3，则输出的 S=（ ）A B C D6有 4 名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有 5 个部门，由公司人事部分安排他们去其中任意 3 各部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安第 2 页（共 25 页）排方法为（ ）A120 B240 C360 D4807若二项式（2x ） 7 的展开式中 的系数是 84，则实数 a=（ ）A 2 B C1 D8设 z=2x+y，其中变量 x，y 满足条件 ，若 z 的最小值为 3，则 m的值为（ ）A1 B2 C3 D49已知点 M 是边长为 2 的正方形 ABCD 的内切圆内（含边界）一动点，则 的取值范围是（ ）A 1，0 B1，
3、2 C 1，3 D 1，410已知定义在 R 上的可导函数 f（x）的导函数为 f（x） ，满足 f（x）f （x） ，且 f（x+2）为偶函数，f （4）=1，则不等式 f（x ）e x 的解集为（ ）A （ 2，+） B （0，+ ） C （1，+） D （4，+）11设点 M（ x0，1） ，若在圆 O：x 2+y2=1 上存在点 N，使得OMN=30，则 x0的取值范围是（ ）A ， B ， C 2，2 D ， 12已知 a，bR，函数 f（x）=ln（x +1） 2 在 x= 处于直线 y=ax+bln2 相切，设 g（ x）=e x+bx2+a，若在区间1，2上，不等式 mg （x
4、 ）m 22 恒成立，则实数 m（ ）A有最小值e B有最小值 e C有最大值 e D有最大值 e+1二、填空题（本大题 4 小题，共 20 分）第 3 页（共 25 页）13已知向量 =（sin，1） ， =（2cos， 1）且 （0，） ，若 ，则 = 14甲、乙两人在 5 次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污染，记甲、乙的平均成绩为 ， ，则 的概率是 15已知点 P 在单位圆 x2+y2=1 上运动，P 到直线 3x4y10=0 与 x=3 的距离分为d1、d 2，则 d1+d2 的最小值是 16在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，且满足2cos
5、2 = sinA，sin（BC）=4cosBsinC，则 = 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在各项均为正数的等比数列a n中，a 1=2，且 2a1，a 3，3a 2 成等差数列（） 求等比数列a n的通项公式；（） 若数列b n满足 bn=112log2an，求数列b n的前 n 项和 Tn 的最大值18某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了 100 名年龄阶段性在10，20） ，20，30） ，30，40） ，40 ，50） ，50 ，60
6、）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示（）求随机抽取的市民中年龄段在30，40）的人数；（）从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 5 人，求50，60）年龄段抽取的人数；（）从（）中方式得到的 5 人中再抽取 2 人作为本次活动的获奖者，记 X为年龄在50，60）年龄段的人数，求 X 的分布列及数学期望第 4 页（共 25 页）19已知函数 f（x ）=cosxsin（x+ ） cos2x+ ，x R（1）求 f（x）的单调递增区间；（2）在锐角ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别 a， b，c，若 f（A）= ， a= ，求 ABC 面积的最大值20已
7、知椭圆 C： + =1（ab 0）的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x y+12=0 相切（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 A（4，0） ，过点 R（3，0）作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 C 于 P，Q两点，连接 AP，AQ 分别交直线 x= 于 M，N 两点，若直线 MR、NR 的斜率分别为 k1、k 2，试问： k1k2 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由21已知函数 f（x ）=mx lnx，mR 函数 g（x）= +lnx 在1，+）上为增函数，且 （ ， ） （）求 的值；（）当 m=0 时，求函数 f（x ）的单调区间和极值；（）若
8、在1，e上至少存在一个 x0，使得 f（x 0）g（x 0）成立，求 m 的取值范围第 5 页（共 25 页）请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22已知曲线 C 的极坐标方程是 =1，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 为参数） （1）写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程；（2）设曲线 C 经过伸缩变换 得到曲线 C，设曲线 C上任一点为M（x，y） ，求 的最小值23已知函数 f（x ）=|x3|x+2|（1）若不等式 f（x）| m1|有解，求实数 m 的最小值 M；（2）在（1）的条件下，若正数 a，b
9、 满足 3a+b=M，证明： + 3第 6 页（共 25 页）2017 届重庆市永川中学高三（上）12 月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1已知集合 A=xZ|（x+1） （x 2）0，B=x |2x2，则 AB=（ ）Ax |1x2 B 1，0，1 C0，1，2 D1，1【考点】交集及其运算【分析】求出 A 中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出 A，求出 A 与 B的交集即可【解答】解：由 A 中不等式解得： 1x 2，xZ ，即 A=1，0 ，1，2，B=x|2x2 ，AB=1，0，1，故选：B2在ABC 中， “A
10、= ”是“cosA= “的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据三角函数的性质结合充分必要条件判断即可【解答】解：在ABC 中，0A，由“A= ”“cosA= ”，故选：C3已知 i 是虚数单位，复数 =（ ）第 7 页（共 25 页）Ai2 B2+i C2 D2【考点】复数代数形式的混合运算【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：复数 = i=2+ii=2故选：D4已知等比数列a n中，若 a4=10，a 8= ，那么 a6=（ ）A 5 B5 C5 D25【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等
11、比数列的通项公式列出方程组求出首项和公比，由此能求出a6【解答】解：等比数列a n中，若 a4=10，a 8= ， ，解得 或 ，a 6= =（ 20 ） （ ） 4=5， （舍）或 =20 （ ） 4=5故选：B5执行如图所示的程序框图，如果输入 n=3，则输出的 S=（ ）第 8 页（共 25 页）A B C D【考点】程序框图【分析】列出循环过程中 S 与 i 的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：判断前 i=1，n=3，s=0，第 1 次循环，S= ，i=2，第 2 次循环，S= ，i=3，第 3 次循环，S= ，i=4，此时，in ，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S
12、= =故选：B6有 4 名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有 5 个部门，由公司人事部分安排他们去其中任意 3 各部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（ ）A120 B240 C360 D480【考点】计数原理的应用【分析】先从 5 个个部门任选三个，再从 4 人中选 2 人做为一个元素，和另外第 9 页（共 25 页）两人到分配到三个部门，根据分步计数原理可得答案【解答】解：先从 5 个个部门任选三个，有 C53=10 种，再从 4 人中选 2 人做为一个元素，和另外两人到分配到三个部门，故有 C53C42A33=360，故答案为：3607若二项式（2x ） 7 的展开式
13、中 的系数是 84，则实数 a=（ ）A 2 B C1 D【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出【解答】解：二项式（2x ） 7 的展开式中通项公式：T r+1= （2x）7r =27r（a） r x72r令 72r=3，解得 r=5 的系数是 =84，则实数 a=1故选：C8设 z=2x+y，其中变量 x，y 满足条件 ，若 z 的最小值为 3，则 m的值为（ ）A1 B2 C3 D4【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据 z 的最小值，利用数形结合即可得到 m 的值第 10 页（共 25 页）【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，若 z 的
14、最小值为 3，2x+y=3 ，由 ，解得 ，同时（1，1）都在直线 x=m 上，m=1故选：A9已知点 M 是边长为 2 的正方形 ABCD 的内切圆内（含边界）一动点，则 的取值范围是（ ）A 1，0 B1，2 C 1，3 D 1，4【考点】平面向量数量积的运算【分析】如图所示，由题意可得：点 M 所在的圆的方程为：（x1） 2+（y 1）21 （0x2，0y2） 可设点 M（x ，y）可得 =（x1） 2+y21，由0，2，即可得出【解答】解：如图所示，由题意可得：点 M 所在的圆的方程为：（ x1） 2+（y 1）21 （0x2，0y2） 第 11 页（共 25 页）可设点 M（x，y）
15、A（0 ，0 ） ，B （2，0 ） =（ x，y）（2 x， y）=x（2x）+y 2=（x 1） 2+y21，由 0，2 ， 1，3 ，故选：C10已知定义在 R 上的可导函数 f（x）的导函数为 f（x） ，满足 f（x）f （x） ，且 f（x+2）为偶函数，f （4）=1，则不等式 f（x ）e x 的解集为（ ）A （ 2，+） B （0，+ ） C （1，+） D （4，+）【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合【分析】构造函数 g（x）= （x R） ，研究 g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：y=f（x+2）为偶函数，y=f（x +
16、2）的图象关于 x=0 对称y=f（x）的图象关于 x=2 对称f（ 4）=f（ 0）又f（ 4）=1，f （0）=1设 g（ x）= （x R） ，则 g（x ）= =又f（x） f（x） ，f（x）f（x）0第 12 页（共 25 页）g（x）0，y=g （x）在定义域上单调递减f（ x）e xg （x）1又g （ 0）= =1g （x）g （0）x0故选 B11设点 M（ x0，1） ，若在圆 O：x 2+y2=1 上存在点 N，使得OMN=30，则 x0的取值范围是（ ）A ， B ， C 2，2 D ， 【考点】圆方程的综合应用【分析】易知 M 点在直线 y=1 上，若设圆 x2+y
17、2=1 与直线 y=1 的交点为 T，显然假设存在点 N，使得OMN=30，则必有OMN OMT，所以只需OMT30 即可，借助于三角函数容易求出 x0 的范围【解答】解：易知 M（x 0，1）在直线 y=1 上，设圆 x2+y2=1 与直线 y=1 的交点为 T，显然假设存在点 N，使得OMN=30，则必有OMNOMT，所以要是圆上存在点 N，使得OMN=30，只需OMT30，因为 T（0，1） ，所以只需在 RtOMT 中，tan OMT= = tan30= ，解得 ，当 x0=0 时，显然满足题意，故 x0 故答案选 A第 13 页（共 25 页）12已知 a，bR，函数 f（x）=ln
18、（x +1） 2 在 x= 处于直线 y=ax+bln2 相切，设 g（ x）=e x+bx2+a，若在区间1，2上，不等式 mg （x ）m 22 恒成立，则实数 m（ ）A有最小值e B有最小值 e C有最大值 e D有最大值 e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求得 f（x）的导数，可得切线的斜率，结合函数 f（x）=ln（x +1） 2在 x= 处于直线 y=ax+bln2 相切，可得 b=1，a=2，求出 g（x ）的导数和单调性，可得最值，解不等式即可得到 m 的最值【解答】解：由 f（x）=ln（x+1）2，得 f（x ）= ，函数
19、f（x ）=ln（x +1）2 在 x= 处于直线 y=ax+bln2 相切，a=f（ ）= ，f（ ）=ln 2= ，则 a=2，b= 1，g （x）=e xx2+2，令 h（x ）=g （x ）=e x2x，h（x ）=e x2，在1，2 上 h（x）0 恒成立，即 h（x）在1，2上递增，即 g（x）在1 ，2上递增，则有 g（x ）g （1）=e20，则 g（ x）在1，2上递增，g（1）最小，g（2）最大，不等式 mg（x）m 22 恒成立，即有 ，解得 me 或 eme+1即 m 的最大值为 e+1故选：D第 14 页（共 25 页）二、填空题（本大题 4 小题，共 20 分）13
20、已知向量 =（sin，1） ， =（2cos， 1）且 （0，） ，若 ，则 = 【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据 便可得出 ，进而得出 sin2=1，根据 的范围可求出2 的范围，从而可求出 2，进而求出 【解答】解： ； ；sin2=1； （0 ， ） ；2 （ 0，2） ； ； 故答案为： 14甲、乙两人在 5 次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污染，记甲、乙的平均成绩为 ， ，则 的概率是 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图【分析】由茎叶图求出 ， ，由 ，得 9089+ ，x N，由此能过河卒子 同 的概率【解答】解：由已知中的茎叶图可得乙的
21、5 次综合测评中的成绩分别为 87，86，92，94，91，第 15 页（共 25 页）则乙的平均成绩： = （87+86+92+94 +91）=90设污损数字为 x则甲的 5 次综合测评中的成绩分别为 85，87，84，99，90+X甲的平均成绩： = （85+87+84+99 +90+x）=89+ ， ，9089+ ，x N，解得 x 的可能取值为 6， 7，8，9， 的概率是 p= = 故答案为： 15已知点 P 在单位圆 x2+y2=1 上运动，P 到直线 3x4y10=0 与 x=3 的距离分为d1、d 2，则 d1+d2 的最小值是 5 【考点】直线与圆的位置关系【分析】设点 P（
22、cosu，sinu） ，求出 P 到直线 3x4y10=0 与 x=3 的距离分为d1、d 2，即可求出 d1+d2 的最小值【解答】解：设点 P（cosu，sinu） ，P 到直线 3x4yl0=0 的距离为d1= |3cosu4sinu10|= （103cosu +4sinu） ，d2=3cosu，d 1+d2= （103cosu +4sinu）+3 cosu=5+ （4sinu 8cosu）=5+ sin（ ut） ，它的最小值=5 故答案为：5 第 16 页（共 25 页）16在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，且满足2cos2 = sinA，sin（BC）=
23、4cosBsinC，则 = 1+ 【考点】正弦定理；余弦定理【分析】利用二倍角公式化简求出 cosA= ，由余弦定理得 a2=b2+c2+bc，将sin（ BC）=4cosBsinC 展开得 sinBcosC=5cosBsinC，利用正余弦定理将角化边，即可得出关于 的一元二次方程，解出即可【解答】解：在ABC 中，2cos 2 = sinA，1+cosA= sinA，1+2cosA+cos 2A= sin2A= cos2A cos2A+cosA+ =0，解得 cosA= 或 cosA=1（舍） = ，a 2=b2+c2+bcsin （BC） =4cosBsinC，sinBcosC=5cosB
24、sinC即 bcosC=5ccosBb =5c ，即 2a2+3c23b2=0把 a2=b2+c2+bc 代入上式得 2（b 2+c2+bc）+3c 23b2=0，即 5c2b2+2bc=0（ ） 2+2 +5=0，解得 =1+ 或 =1 （舍） 故答案为：1+ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在各项均为正数的等比数列a n中，a 1=2，且 2a1，a 3，3a 2 成等差数列（） 求等比数列a n的通项公式；第 17 页（共 25 页）（） 若数列b n满足 bn=112log2an，求数列b n的前 n 项和 Tn 的最大值【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】
25、 （）设数列a n的公比为 q，由等差中项和等比数列的通项公式列出方程，结合题意求出 q 的值，再代入等比数列的通项公式化简；（）由（）和题意化简 bn，并判断出数列b n是等差数列，求出首项和公差，代入等差数列的前 n 项和公式，再对 Tn 进行配方，根据二次函数的性质求出它的最大值【解答】解：（）设数列a n的公比为 q，a n0因为 2a1，a 3，3a 2 成等差数列，所以 2a1+3a2=2a3，即 ，所以 2q23q2=0，解得 q=2 或 （舍去） ，又 a1=2，所以数列a n的通项公式 （）由题意得，b n=112log2an=112n，则 b1=9，且 bn+1bn=2，故
26、数列b n是首项为 9，公差为 2 的等差数列，所以 =（n 5） 2+25，所以当 n=5 时，T n 的最大值为 2518某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了 100 名年龄阶段性在10，20） ，20，30） ，30，40） ，40 ，50） ，50 ，60 ）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示（）求随机抽取的市民中年龄段在30，40）的人数；第 18 页（共 25 页）（）从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 5 人，求50
27、，60）年龄段抽取的人数；（）从（）中方式得到的 5 人中再抽取 2 人作为本次活动的获奖者，记 X为年龄在50，60）年龄段的人数，求 X 的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【分析】 （I）由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在30，40）的频率，由此能求出随机抽取的市民中年龄段在30，40）的人数（II）由频率分布直方图得不小于 40 岁的人的频数是 25 人，由此能求出在50，60）年龄段抽取的人数（III）由已知 X=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列及数学期望【解答】解：（I）由频率分布直方图知，
28、随机抽取的市民中年龄段在30，40）的频率为：110（0.020+0.025+0.015+0.010 ）=0.3，即随机抽取的市民中年龄段在30，40）的人数为 1000.3=30 人 （II）由（I）知，年龄段在40 ，50） ，50，60）的人数分别为 1000.15=15人，100 0.1=10 人，即不小于 40 岁的人的频数是 25 人，在50，60）年龄段抽取的人数为 10 =2 人 （III）由已知 X=0，1，2，第 19 页（共 25 页）P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）= ，X 的分布列为X 0 1 2PEX=0 +1 +2 = 19已知函数 f（x ）=c
29、osxsin（x+ ） cos2x+ ，x R（1）求 f（x）的单调递增区间；（2）在锐角ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别 a， b，c，若 f（A）= ， a= ，求 ABC 面积的最大值【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理【分析】 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f（x ）= sin（2x ） ，由 2k 2x 2k+ ，k Z，解得 f（x ）的单调递增区间（2）由题意可解得：sin（2A ）= ，结合范围 0 ，解得 A 的值由余弦定理可得：3bc，利用三角形面积公式即可得解【解答】解：（1）f（x ）=cosxsin（x+ ） cos
30、2x+=cosx（ sinx+ cosx） cos2x+第 20 页（共 25 页）= sinxcosx+ cos2x cos2x+= sin2x += sin（2x ） ，由 2k 2x 2k+ ，k Z，解得 f（x ）的单调递增区间为：k ，k + ，k Z（2）f（A）= sin（2A ）= ，解得：sin（ 2A ）= ，0 ， 2A ，解得：2A = ，即 A= 由余弦定理可得：3=b 2+c22bccosA=b2+c2bc2bcbc=bc ，S ABC = bcsinA= bc = 20已知椭圆 C： + =1（ab 0）的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
31、 x y+12=0 相切（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 A（4，0） ，过点 R（3，0）作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 C 于 P，Q两点，连接 AP，AQ 分别交直线 x= 于 M，N 两点，若直线 MR、NR 的斜率分别为 k1、k 2，试问： k1k2 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程第 21 页（共 25 页）【分析】 （1）运用椭圆的离心率公式和直线与圆相切的条件，解方程可得 a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）设 P（x 1，y 1） ，Q （x 2，y 2） ，直线 PQ 的方程为 x=my+3，代入椭圆方程
32、，运用韦达定理和三点共线斜率相等，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值【解答】解：（1）由题意得 e= = ，a 2b2=c2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x y+12=0 相切，可得d= =b，解得 a=4，b=2 ，c=2 ，故椭圆 C 的方程为 + =1；（2）设 P（x 1，y 1） ，Q （x 2，y 2） ，直线 PQ 的方程为 x=my+3，代入椭圆方程 3x2+4y2=48，得（4+3m 2）y 2+18my21=0，y 1+y2= ，y 1y2= ，由 A，P ，M 三点共线可知， = ，即 yM= ；同理可得 yN= 所以 k1k2= = = 因为（
33、x 1+4） （x 2+4）=（my 1+7） （my 2+7=m2y1y2+7m（y 1+y2）+49，所以 k1k2= = 第 22 页（共 25 页）即 k1k2 为定值 21已知函数 f（x ）=mx lnx，mR 函数 g（x）= +lnx 在1，+）上为增函数，且 （ ， ） （）求 的值；（）当 m=0 时，求函数 f（x ）的单调区间和极值；（）若在1，e上至少存在一个 x0，使得 f（x 0）g（x 0）成立，求 m 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】 （）求出函数的导数，根据函数的单调性得得到 cos10，求出 的值即可；（）求出函数
34、的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；（）令 F（x）=f（x）g（x） ，通过讨论 m 的范围，结合函数的单调性求出F（x）的最大值，从而确定 m 的范围即可【解答】解（）g（x）= ，又 g（x）在1，+）递增，只需 cos10，且 （ ， ） ，=0；（）当 m=0 时，f（x）= lnx（x 0） ，f（x ）= ，当 0x2e1 时，f（x）0，f （x）递增，第 23 页（共 25 页）当 x2e1 时，f（x）0 ，f （x）递减，f（ x） 极大值 =f（2e1）= 1ln（2e 1） ；（）令 F（x）=f（x）g（x）=mx 2lnx，
35、x1，e，（1）m0 时，x 1，e ，F（x）=m（ x ） 2lnx0 ，在1，e上不存在 x0，使得 f（x 0）g （x 0） ，（2）m0 时，F（x）= ，x1，e， mx 2+m0，2e 2x0，F （ x）0，F（x）递增，F（x） max=F（e）=me 40 ，m 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22已知曲线 C 的极坐标方程是 =1，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 为参数） （1）写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程；（2）设曲线 C 经过伸缩变换 得到曲线 C，设曲线 C上任一点
36、为M（x，y） ，求 的最小值【考点】参数方程化成普通方程；伸缩变换；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化第 24 页（共 25 页）【分析】 （1）利用 2=x2+y2，将 =1 转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成 t=2（x 1）代入下式消去参数 t 即可；（2）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入 ，根据三角函数的辅助角公式求出最小值【解答】解：（1）直线 l 的参数方程为 为参数） 由上式化简成 t=2（x1）代入下式得根据 2=x2+y2，进行化简得 C：x 2+y2=1（2） 代入 C 得设椭圆的参数方程 为
37、参数）则则 的最小值为423已知函数 f（x ）=|x3|x+2|（1）若不等式 f（x）| m1|有解，求实数 m 的最小值 M；（2）在（1）的条件下，若正数 a，b 满足 3a+b=M，证明： + 3【考点】绝对值三角不等式【分析】 （1）由条件利用绝对值的意义求得 f（x ）的最小值，从而求得实数 m的最小值 M（2）由题意可得即 =1，故有 + = + = + + ，再利用基本不等式证得 + 3【解答】解：函数 f（x） =|x3|x+2|表述数轴上的 x 的对应点到 3 对应点的距离减去它到2 对应点的距离，第 25 页（共 25 页）它的最小值为5，最大值为 5，（1）若不等式 f（x）| m1|有解，则 5|m1|，即5m15，求得4 m6，故实数 m 的最小值 M=4（2）在（1）的条件下，若正数 a，b 满足 3a+b=M=4，即 =1， + = + = + + +2 +3= +2 =3，即 + 3
