1、2016 届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试 数学（理）说明：1.测试时间：120 分钟 总分：150 分.2.客观题涂在答题纸上，主 观题答在答题纸的相应 位置上. 第卷（60 分）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）1.数列 2,5,11,20, ,47,中, 的值等于( )xxA.28 B.32 C.33 D.27 2.已知集合 ， ，若 ,则实数 的所有可能取值的集合1,A|20BaBAa为（ ）A. B. C. D. 2,2,03. 下列函数中，最小值为 4 的是（ ）A. B. xy42(3)xy+
2、=C. D. e-=+4sinix04设 ， ， ，则( ) 0.53a3log2bcA B C Dcababcbca5. 下列叙述中，正确的个数是（ ）命题 ：“ ”的否定形式为 ：“ ”；p20xR， p20xR，O 是 ABC 所在平面上一点，若 ，则 O 是 ABC 的垂心；OABCA“MN”是“ ”的充分不必要条件；2()3MN命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”40x4x4x2340xA.1 B.2 C.3 D.46.四面体 SABC 的各棱长都相等，如果 E、F 分别为 SC、AB 的中点，那么异面直线 EF 与 SA所成的角等于( )A. 90 B. 60 C. 45
3、D. 307. 已知 是等差数列 的前 项和，若 ，则 ( )739a95SA B C D8. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A. B. 4203C. D. 26389.如图，平面内有三个向量 ,OABC，其中 OA与 B的夹角为 120， OA与 C的夹角为 30，且3|2,|,|23，若 (,)R，则( )A. 4,B. 8,C. 2,3D. 4,2310.定义在 R 上的奇函数 ，当 时， ，则关于 的()fx013log(),02()4xfx函数 的所有零点之和为( ) ()(1FxfaA B C D31a3a31a3a11如图，正五边形 的边长为 2，甲同学在
4、中用余弦定理解CDEAB得 ，乙同学在 中解得 ，据8cos0RtHcos72此可得 的值所在区间为( )72A. B. C. D. 0.1,.,30,.40.4,512已知 ，对 ，使得 ，则212xgexfln)(,)( R,(,)ab()fagb的最小值为（ ）baA. B. C. D. 1lnl12e214eAHCBED（第 9 题图）（第 8 题图）（第 11 题图）第卷（90 分）二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13由直线 ， ， 与曲线 所围成的图形的面积等于 . 0x230y2sinyx14已知变量 满足 ,则 的取值范围是 ,xy420xy32
5、x15如图，在棱柱 的侧棱 上各有1ABC1AB和一个动点 ，且满足 ， 是棱 上的动点，,PQQMC则 的最大值是 1MABCPV16设首项不为零的等差数列 前 项之和是 ，若不等式 对任意nanS21nSa和正整数 恒成立，则实数 的最大值为 .na三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17 （本小题满分 10 分）已知函数 ( )xR（I）求函数 的单调递增区间； （II） 内角 的对边长分别为 ，若 且 试求 B 和 C.18. （本小题满分 12 分）设数列 na的前 项和为 nS，且 21naS()nN.（）求证：数列 2na是
6、等比数列；1APBC AQ1M1B（第 15 题图）（）求数列 na的前 项和 nT.19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，E 为侧棱 PA 的中点（）求证：PC/平面 BDE；（）若 PC PA，PDAD，求证：平面 BDE平面 PAB20 （本小题满分 12 分） “水资源与永恒发展”是 2015 年联合国世界水资源日主题近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约 4 万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4 年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元) 与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为
7、 0.2. 为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积 x(单位：平方米) 之间的函数关系是 (x0，k 为常数)记 y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企502x=+业 4 年共将消耗的水费之和() 试解释 的实际意义，请建立 y 关于 x 的函数关系式并化简；()() 当 x 为多少平方米时，y 取得最小值？最小值是多少万元？21 （本小题满分 12 分）设函数 321()(,0)fxabxcaR的图象在点,()xf处的切线的斜率为 k，且函数 1()gk为偶函数
8、.若函数 (kx满足下列条件： (1)0k；对一切实数 x，不等式 2x恒成立.（）求函数 x的表达式；（）求证： 12()2()nkk ()N.22 （本题满分12分）已知函数 32()ln21)()xfxaaR（）若 为 的极值点，求实数 的值；2x()f（）若 在 上为增函数，求实数 的取值范围；y3,aPABCDE（第 19 题图）（）当 时，方程 有实根，求实数 的最大值.12a31()xbfb沈阳二中 20152016 学年度上学期期中考试 高三（16 届）数学（理科）试题参考答案及评分标准1-5：BDCAC 6-10：CABCB 11-12：CA13.3 14. 15. 16.
9、5,4212517解：（） 2 分故函数 的递增区间为 ( Z) 4 分（） ， ， ， ，即 6 分由正弦定理得： ， ， ， 或 8 分当 时， ；当 时， （舍）所以 , . 10 分18.解：（）因为 21naS，所以有 1223naS成立.两式相减得： 1n. 1 分所以 1n()N，即 1()n. 3 分所以数列 2a是以 15为首项，公比为 2的等比数列. 4 分（）由（）得： 125nna，即 152nna()N.则 1n()N. 7 分设数列 5n的前 项和为 nP,则 012211253.5(1)5nnnP ，所以 3 ， 所以 1215(.)2nnn，即 )nP(N. 1
10、1 分所以数列 na的前 项和 nT= (1)5)2n， 整理得， 2(5)T(.12 分19证明：（1）连结 AC，交 BD 于 O，连结 OE因为 ABCD 是平行四边形，所以 OAOC2 分因为 E 为侧棱 PA 的中点，所以 OEPC4 分因为 PC 平面 BDE，OE平面 BDE，所以 PC /平面 BDE6分（2）因为 E 为 PA 中点，PDAD，所以 PADE8 分因为 PCPA，OEPC，所以 PAOE因为 OE平面 BDE，DE平面 BDE，OEDEE，所以 PA平面 BDE10 分因为 PA平面 PAB，所以平面 BDE平面 PAB12 分20. () 表示不安装设备时每
11、年缴纳的水费为 4 万元 2 分 (0)C， ；3 分 425k=10k（x0）5 分 582.0. xxy P ABCD EO() 8 分7162580)(2.0xy当 时，即 时有最小值，最小值为 11 分4)5(.x min7y=当 x 为 15 平方米时，y 取得最小值 7 万元 12 分21.（）解：由已知得： 2()kxfaxbc. 1 分由 21()gxabc为偶函数，有 1. 2 分又 10k，所以 0，即 2ac. 3 分因为 2()x对一切实数 x恒成立，即对一切实数 x，不等式2110ac恒成立. 当 12a时，不符合题意. 4 分当 2时，,2114()0.acc ，得
12、 14ac. 所以 2()kxx. 6 分（）证明：21()4nn，所以 214()kn. 因为 21()()2n,10 分所以 11 分221114443342nnn 所以 1()()kk 成立12 分22. 解：（） 1222(14)()()1xaxaafxx分因为 为 的极值点，所以 即 ，解得 2 分2x()f(2)0f2041aa又当 时， ，从而 为 的极值点成立 3 分0a(xx()f（）因为 在区间 上为增函数，()f3,所以 在区间 上恒成立4 分2214)() 0afxx3,当 时， 在 上恒成立，所以 在 上为增函数，0a()f3,()fx3,故 符合题意5 分当 时，由
13、函数 的定义域可知，必须有 对 恒成立，故只能()fx210a，0a所以 在 上恒成立 6 分22(14)()0xa3,令 ，其对称轴为 ， 22)gx 14xa因为 所以 ，从而 在 上恒成立，只要 即可，0a14a()0g3,(3)0g因为 ，2(3)6g解得 7 分344因为 ，所以 0a1a综上所述， 的取值范围为 8 分30,4（）若 时，方程 可化为 12a31()xbf2ln(1)()bxx问题转化为 在 上有解，223lnlbxx0,即求函数 的值域9 分3()g因为 ，令 ，2l)2()lnhx则 ，10 分1(1()xhx所以当 时 ，从而 在 上为增函数，0()0h()hx0,1当 时 ，从而 在 上为减函数，11 分1x()0h()hx1,因此 而 ，故 ，()0bhx因此当 时， 取得最大值 012 分b
