1、20152016 学年度上学期五校协作体高三期初考试数学试题(理科)考试时间 120 分钟 试卷满分 150 分 命题人：丁红 校对人：朱冬梅说明：本试卷由第卷和第卷组成。第卷为选择题，第卷为主观题，将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。第卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。1设集合 则20,1234,1,2540,UABxZ=（ ）()CABA 0，1，2，3， B 5 C 1，2，4 D0，4，5答案：D试题分析：可求得， ，所以 ，故选3, 5,40)(,3BACBAUD考点：集合运算及一元二次不等式的解法2若复数 满足 为虚数单位
2、） ，则 （ ）z(1)42(ii|zA B C D3510答案：D 试题分析： ，所以 故选 Diiz12410z考点：复数乘除运算及模长计算3各项都是正数的等比数列 na的公比 ，且 成等差数列，则q132,a的值为（ ）435aA 12B 152 C 512 D 52或 1答案：B 试题分析：由 成等差数列，得 已知公比大于零且不等于，于132,a321a是解得， 5q所以 435a21q考点：等比数列基本量运算4下边程序框图中，若输入 4m， 10n，则输出 ,ai的值分别是（ ）A 12,4 B 16,5 C 20,5 D 24,6 答案：C 试题分析：根据程序框图可得， 0,;1,
3、4;,3;8,;, aiiaiiai此时，n 整除 a，所以程序结束，故输出 52选 C考点：程序框图的运用5平面向量 与 b的夹角为 60， (,0)1,ab则 2ab（ ）A 3 B 23 C4 D12答案：B试题分析：可得， 则 ，所以,1.ab2241abab选 B23ab考点：向量数量积及模长运算6给出下列四个命题， 其中错误的命题有（ ）个（1）函数 上的单调递增区间是 ；2,0cos2sinxxy在 8,0（2）设随机变量 ，若 ，则 ；2(1,)XN(1)0.4PX(2).PX（3）设函数 ， 的图象向左平移 个单位，得到一个偶函数()sin3fxfx的图象；（4） “直线 0
4、ayx与直线 0ayx互相垂直”的充分条件是“ 1a”A0 B1 C2 D3答案：A试题分析： ，由 得，)42sin(cosinxxy 2,0由复合函数的单调性知，由 得函数的增区间为45,2x ，故（1）正确由正态分布密度函数图像的对称性知，8,0，所以（2）正确函数 ， 的(2)P(0x1)=.8PX ()sin2)3fx(fx图象向左平移 个单位得到函数 的图xy cos312sin(）（像，显然函数为偶函数，其图像关于 y 轴对称故（3）正确 时显然直线1a0ayx与直线 0ax互相垂直，即其成立的充分条件是 故（4）正确综上，错误的命题个数为 0，选 A考点：函数单调性、正态分布、
5、图像平移、充分性有关的命题判断7设函数 是定义在 R 上的奇函数，当 时， 则 的零()fx0x()23,xf()fx点个数为（ ）A1 B2 C3 D4答案：C试题分析： 时， 由数形结合知，此时有一个零点依据奇函0x()2,xf数的对称性知， 时也有一个零点又因为奇函数定义域为全体实数，所以，即过原点因此共有 3 个零点选 C)(f考点：函数零点问题，奇函数图像性质8由曲线 1xy，直线 ,yx及 轴所围成的曲边四边形的面积为（ ）A 6B 92C 1ln32D 4ln3答案：C试题分析：作出草图，已知 ，故选 C31l)(dxs考点：定积分求面积9曲线 在点（1，2）处的切线为 ，则直线
6、 上的任意点 P 与圆yxll上的任意点 Q 之间的最近距离是（ ）2430A B C D2515151答案：A试题分析：可求切线 由几何知识知，圆心到直线 的距离减去半径 1，02:yxl l即为最小值所以最小值为 选 A1-54-考点：平面解析几何的最值问题10几何体的三视图如图所示，若从该几何体的实心外接球中挖去该几何体，则剩余几何体的表面积是（注：包括外表面积和内表面积） （ ）俯视图左视图主视图86 6A133 B100C66 D166答案：D试题分析：由三视图知，该几何体为底面半径为 3，搞为 8 的圆柱其外接球时半径为 5 的球则剩余几何体的表面积是球的表面积与该圆柱表面积的和，
7、即 16242故选 D考点：多面体及与其外接球的关系及几何体表面积计算问题11已知 分别为双曲线 的左、右焦点，P 为双曲线右12,F)0,(12bayx支上的任意一点，若 的最小值为 8 ，则双曲线的离心率 的取值范围是（ 21Pe）A B C D1,3,33,答案：A试题分析： 当且仅当 时取221 2()448PFaaPFaa2PF得最小值，此时 已知 解得， 又因为41 cc,2即 3ce双曲线离心率 故选 Ae考点：双曲线离心率12对任意 ，不等式 恒成立，则下列不等式错误的是0,2xtan()xffxA ()()34ffB cos1C 2()2()ffD 346答案：D试题分析：设
8、 ， 因为xfxgcos)( 0,2x所以tan()()sin0xffffx，即函数 在 上单调递增又因为0sin)(co xfxfg g,2，所以 ，故 C 正确，同理利用41 )4(2f(1)cos,4co1fff 即单调性可判断 A、B 都正确，答案 D 错误考点：构造函数利用导数判断函数的单调性并比大小第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上） 。13已知 的展开式中含 项的系数为 12，则展开式的常数项为6()ax2x_答案：160试题分析：二项式的通项为 ，令 得， 令rrrxCa361T12,16a
9、C得，展开式的常数项为 3r 04r考点：二项式通项14数列 满足 ，且 （ ） ，则数列 的前 10 项和na111nan*N1na为 答案： 201试题分析：由 ，且 （ ）及累加法得， ，所a11nan*N2)1(na以 所以数列 的前 10 项和为)(2nn120)312(1102 aa考点：累加法求数列通项公式裂项法求数列前 n 项和15某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如右数据：单价 （元）x8 82 84 86 88 9销量 （件）y90 84 83 80 75 68由表中数据，求得线性回归方程为 若在这些样本点中任取一点，则它20y
10、xa在回归直线左下方的概率为_答案： 13试题分析：由表中数据求出样本平均数 ，代入线性回归方程得，80,5.yx，所以线性回归直线方程为 经验证，样本点在回归直线左250a 2下方的有（8，90） ， （9，68）两个点，由古典概型的概率公式得， 3162P考点：求线性回归直线方程，概率计算16已知抛物线 C： 的焦点为 F，过点 F 倾斜角为 的直线 与抛2(0)ypx0ol物线 C 在第一、四象限分别交于 A、B 两点，则 的值等于 EDCFBA答案：3试题分析：设 =m， =n，则 BC=n，AD=m，AFBAE=m-n，AF+BF=m+n在直角三角形 ABE 中，由于 ，60E所以
11、，解得 nm60cos3考点：抛物线的定义及抛物线与直线的综合应用三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 （本题满分 12 分）在 中， 是 中点，已知 ABCD90BADCoDCBA（1）判断 的形状；A（2）若 的三边长是连续三个正整数，求 的余弦值BAC答案：（1） 是等腰三角形或直角三角形；（2） 或 .257cosBC.257cosBA试题分析：（1）已知角的关系及正弦定理可以推出角 C、角 B 的关系从而知三角形的形状 （2）由（1）知，三角形有两种可能性，因此ini,分两种情况分别求解当为直角三角形时，推出矛盾；当为等腰三角形时
12、，可求出三角形的三边，从而求出 的余弦值BAC试题解析：（）设 ,D则由 90C90中，由正弦定理得ABDsin,.siniBA即同理得 ,iC,BDQ,siniBBCsinsi90,coic即 因为sin2iC0B、B或是等腰三角形或直角三角形A（）当 时，901,2ADC与 的三边长是连续三个正整数矛盾，DC， 是等腰三角形BB在直角三角形 ADC 中，设两直角边分别为 ,1,nn斜 边 为由 得 n=4，22)1()1(nn由余弦定理或二倍角公式得 .257cosBAC或 .257cosBAC考点：正弦定理、余弦定理的应用18 （本题满分 12 分）某大学志愿者协会中，数学学院志愿者有
13、8 人，其中含 5 名男生，3 名女生；外语学院志愿者有 4 人，其中含 1 名男生，3 名女生现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从两个学院中共抽取 3 名同学，到希望小学进行支教活动（1）求从数学学院抽取的同学中至少有 1 名女同学的概率；（2）记 为抽取的 3名同学中男同学的人数，求随机变量 的分布列和数学期望答案：（1） ；49（2）随机变量 的分布列为：0 1 2 3P 92485103E试题分析：（1）由分层抽样得出两个学院所抽取的人数，再按照互斥事件的概率加法公式求出答案 （2）首先写出随机变量 的可能取值，然后用分步计数原理及互斥事件的概率公式求出随机变量每一个取值的概
14、率，尽而得到分布列，最后由期望公式求出期望值试题解析：（1）两小组的总人数之比为 8：4=2：1，共抽取 3 人，所以从数学学院抽取 2 人，外语学院抽取 1 人，从数学学院抽取的同学中至少有 1 名女同学的情况有：一男一女、两女，所以所求的概率为：235894CP（2）由题意可知 的所有可能取值为 0，1，2，3，相应的概率分别是 02153849()CP，12353218484()CP，121355328484()，521840()，所以 的分布列为：0 1 2 3P 9248510485103122E考点：分层抽样互斥事件概率计算分布列及期望19 （本题满分 12 分）如图，在三棱锥 S
15、ABCS中 ， 底面 ABC，且 SB=2,6,2ABCABDE、分别是 SA、SC 的中点SEDCBA（）求证：平面 A平面 BCD；（）求二面角 SE的平面角的大小答案：（）证明过程详见解析；（） 3试题分析：（）已知 SB、AB、BC 两两互相垂直，故可建立空间直角坐标系如下图根据线段长度可求出相应点的坐标，从而可推出 ，则ADBC0，所以平面 ACD平面 BCDBAD平 面（）求出两个平面的法向量，利用法向量夹角与二面角平面角的关系求出平面角的大小试题解析：（） BCA2，又因 ，所以建立如上图所示的坐标系ABC平 面S所以 A（2，0，0） ， ，D（1，0，1） ， ，S（0，0，
16、2），（ 6），（ 16E易得， ， ，D-1（ ， ， ） （ ， ， ） B（ ， ， ）又 ，BC0， ACDABCD， ， ，又 平 面，又因 ，ACD平 面所以平面 平面 BCD（）又 ），（ 1260BE设平面 BDE 的法向量为 ，),(zyxn则60102nBDx所以 ),31(n又因平面 SBD 的法向量为 BC06（ ， ， ）所以 21cos, 83n所以二面角 SBDE的平面角的大小为 考点：平面与平面的垂直的证明二面角大小的求法20 （本小题满分 12 分）已知椭圆 + =1（ ）的离心率为 ，且过点2axby032（ ， ） 2（1）求椭圆方程；（2）设不过原点 的直线 ： ，与该椭圆交于 、 两点，直线Olykxm(0)PQ、 的斜率依次为 、 ，满足 ，试问：当 变化时， 是否为PQ12124kk2m定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由答案：（1） ；（2） ，证明过程详见解析42yx2试题分析：（1）由离心率及过一定点可进行椭圆基本两运算，从而求出椭圆方程（2）将直线方程代入椭圆方程，设出点 P ，Q ，并由韦达定理的的出),(1yx),(2的关系注意设而不求代入 ，整理即可得出 为定值，同时经1,x 24k1m验证复合题意试题解析：（1）
