1、2016 届福建省上杭县一中高三上学期半期考试数学（理）试题及解析一、选择题1已知全集 U=R，集合 ，则22|0log,|AxByx（ ）UCBA （1，2） B （1，4） C2，4） D （0，2）【答案】A【解析】试题分析：解得 ， ，所以 ，xAyB2yBCU则 （1，2） 故选 AUC【考点】集合运算2下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A 与 3yx2B 与21yC 与 lnxyelnxD 与001【答案】D【解析】试题分析：选项 A 中两个函数的定义域相同，解析式不同，所以两函数不表示同一函数；选项 B 的解析式实质相同，定义域不同，所以两函数不表示同一函数；选项 C 同选项
2、 B；选项 D 两函数解析式的实质均为 故选 D)(,01xy【考点】函数的三要素3已知向量 ，若 ，则 x=（ ）,21,axbabA2 B4 C-4 D-2 【答案】C【解析】试题分析：因 ，所以 ，所以 x+2+2=0，解得ab2=+0x=-4故选 C【考点】向量的数量积及运算律；向量垂直的充要条件4设 是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， ，则 （ ）fx 2fx1fA-3 B-1 C1 D3【答案】A【解析】试题分析：由奇函数的性质得，f（1）=-f（-1）=-（2+1）=-3故选 A【考点】由奇函数的性质求函数值试卷第 2 页，总 16 页5设 x0，若 恒成立，则 a 的取值
3、范围是（ ）1axA B C D1,4,21,2,【答案】A【解析】试题分析：当 x0 时， 恒成立 在 时恒成axxa2),(0立 可得 ，所以 故选 Amax）（a2 4122）（ -a【考点】恒成立问题求参数范围6 “ ”是“ ”的（ ）1sin21cos2A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为 ，所以 又因 ，1sin221cosin=- 1cos2所以 ，因此“ ”是“ ”的充分不必要条件故选 A1sin2i【考点】充分性、必要性问题7函数 的最小值是（ ）44siincosfxxxA1 B C D121232【答案】C
4、【解析】试题分析：函数可化为 44 2sinicossincosincosicsin()si1fxxxxxxx2221=（ +） -=-设 ，则 ，所以 ，显然当t2,1t 11)(tty时， 1tminy故选 C【考点】三角函数求最值8在OAB 中，O 为直角坐标系的原点，A，B 的坐标分别为 A（3，4） ，B（-2，y） ，向量 与 x 轴平行，则向量 与 所成角的余弦值是（ ）ABA B C D353535【答案】C【解析】试题分析：因为向量 与 x 轴平行，所以点 B（-2，4） ，则 =（3，4） ，AB OA=（-5，0） 根据向量夹角计算公式得，AB故选 C531O,cos【考
5、点】求向量夹角9已知函数 在区间 上是增函数，则实数 a 的取值2log3fxax2,范围是（ ）A B C D,44,4,22【答案】B【解析】试题分析：依题意并由复合函数的单调性知， ，解032aa且得 故选 B4a-【考点】由复合函数的单调性求参数范围10已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时Ryfxyfx0fxf若 ， ， ，则 的大小关系是（ ）1()2af2()bf1(ln)l2cf,abcA B C Dca【答案】D【解析】试题分析：设函数 ，因为函数 是 R 上的奇函数，所以函)(xfg)(xf数 是 R 上的偶函数，同时 因为 时)(xg 0，所以 显然 时，0ff0x
6、ff)( x，即函数 单调递增区间为 又因)()( xffxg)(g），（ 0，021ln， ， ，所以()af(2)(bff1(ln)l(ln2)2cffc【考点】单调性比大小【方法点睛】构造函数法并利用函数单调性比大小首先题目中 a，b，c 的形式可启试卷第 4 页，总 16 页发我们构造函数 ，同时 启发我们求函数 的导数，)(xfg0fxf)(xg从而判断其单调性同时本题考查了偶函数的性质，将变量统一转化为正值（避免讨论） ，从而利用函数的单调性比大小构造函数法的难点是如何构造函数，希望同学们多观察多总结多感悟，一定能突破这一难关11已知函数 ，则方程 的20,1|ln,g|9|,8x
7、fx10fxg实根的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】试题分析：设函数 ， 则方程 的实)(xfy1)(gy10fxg根的个数 方程 的实根个数 函数 与函数 的1fxg=+)()(xy图像的交点个数函数图像如下图：黑色曲线为函数 的图像，红色曲线为函xfy数 的图像由图像易知两函数图象有 3 个交点，即方程1)(xgy的实根的个数为 3选 C0f【方法点睛】函数零点（方程解）的个数问题解法：研究函数 的零点问题常常与)(xf研究对应方程 的实根问题相互转化 （1）当研究函数 的零点个数问题，)(xf即方程 的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到 的形式，0 )(xga
8、然后借助数形结合（几何法）思想求解本题无参数，则应化为 的形式，h然后作出左右两边函数的图像，直观的确定交点个数即方程 的实根个)(xf0数 （2）已知含参数函数 存在零点（即至少有一个零点） ，求参数范围问题一)(xf般可作为代数问题求解，即对 进行参变分离，得到 的形式，则所求0)(xgaa 的范围就是 的值域)(xg【考点】判断方程的解的个数12当 时，不等式 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ 2,1x324mx）A B C D96,86,5,34,3【答案】B【解析】试题分析：当 时，显然不等式成立；当 时，不等式0x ,(10x恒成立 时， 恒成立设324mx,(1324m，则等价
9、于 利用导数法可知函数 在区间32xf)( ax)(f )(xf单调递增，所以 ；同理，当 时，不等式,10x 61maxff ,02恒成立 时， 恒成立，则等价324mx,(0324x于 利用导数法可知函数 在区间 上单调递减，在区间in)(f)f),(1上单调递增，所以 综上知， ，故选,01min(xf22m6-B【考点】由恒成立问题求参数范围【方法点睛】在不等式恒成立条件下，求参数范围问题的解法：在不等式恒成立条件下，求参数范围，一般原理是利用转化与化归思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，方法可采用“分离参数法”或“不分离参数法”直接移项构造辅助函数的形式 （1）若函数 在区间
10、 上存在最小值 和最大值 ，则：不)(xfDmin)(xfmax)(f等式 在区间 上恒成立 ；不等式 在区间 上恒)(faiaD试卷第 6 页，总 16 页成立 ；不等式 在区间 上恒成立 ；不等min)(xfa)(xfbDmax)(fb式 在区间 上恒成立 （2）若函数 在区间 上不存在bDmaD最大（小）值，且值域为（m，n） ，则：不等式 （或 ）在区间)(xfb)(xf上恒成立 ；不等式 （或 ）在区间 上恒成立bn)(xfa二、填空题13在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为 ，315，则 a 的值为 12,cos4b【答案】8【解析】试题
11、分析：因为 ，所以 由三角形面积公式得，1cos4A415Asin，所以 又因 ，所以由余弦定理得，153Abcsin212b2bc，解得 6522aca)(os 8a【考点】解三角形14已知函数 的图像如图所示，则 in0fx2f【答案】 2【解析】试题分析：由图像知， 由周期公式得， 由五点38T243， 43法得， ，所以 ，则-21， )sin()4xxf245462sin)sin()f【考点】已知三角函数的部分图像求解析式并求三角函数值15在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB/DC，AB=2，BC=1，ABC=60，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 ，则 的最小值
12、为 1,9BECDFA【答案】 2918【解析】试题分析：由已知可得，梯形的上底 CD=1， ， 与 的夹角AB2DCA为 60由已知及向量运算法则得， ，AEB，11AFDDC98所以 E（ ） （ ）2 72BBBC181189易知 ，所以0， AF78923【考点】求向量数量积的最小值【思路点睛】首先本题的结论是求向量数量积最小值，所以应先求出数量积（即 的表达式） 由题目中的已知条件可知，梯形的四条边的长度及任意两条线的夹角都为已知，所以由向量的加法、减法法则可求出 ， ，EABC1FADB8从而求出 又因 ，所以由均值不等式即可求解另，AEF2918710，当题目中已知向量及夹角条件
13、比较少时，应选择恰当的一组基底，所求向量用基底表示，然后求解16已知 ，给出以下四个命题：sincofxx（1）若 ，则 ；0,1,2f（2）直线 是函数 图像的一条对称轴；4xyfx（3）在区间 上函数 是增函数；5,f（4）函数 的图像可由 的图像向右平移 个单位而得到yfx2cosyx4其中正确命题的序号为 【答案】 （2） （4）【解析】试题分析：函数解析式可化为 因为sincofxx)sin(24，所以 ，则 ，所以0,x5,4xi(),14故命题（1）错误；当 时， ，即此时函数取得,2fx2)(f试卷第 8 页，总 16 页最大值，所以命题（2）正确；在区间 上函数 是减函数，所
14、以命题5,4yfx（3）错误； 的图像向右平移 个单位得到函数2cosyx的图像，所以命题（4）正)in()cs(244y )sin(x确综上，正确的命题是（2） （4） 【考点】三角函数的性质及图像平移【方法点睛】研究三角函数图像及性质，常利用诱导公式、倍角公式、辅助角公式等公式将函数的解析式化为形如 （或 ）的kxAy)sin(kxAy)cos(形式，然后利用换元思想求解如（1）已知定义域a，b求值域通过定义域求出的范围，然后求 （或 ）的范围，最后求出值域即可 （2）求对称txtitco轴方程由 （或 ）求出 即可zk,2zkx,x三、解答题17已知 ，:|30,pAxR22:| 9qB
15、mxm（1）若 ，求实数 m 的值；1,（2）若 p 是 的充分条件，求实数 m 的取值范围q【答案】 （1） ；（2） 或 464【解析】试题分析：（1）先通过解一元二次不等式的解集求出集合 A、B，然后由集合 A、B 的关系 及数轴法求解；（2）用集合的观点理解充分性、必要性，1,3即由条件得到 ，然后按照集合关系求出参数范围RCB试题解析：（1）解得，|3,|3,xxxmxRm ，m-3=1，解得 A4（2）p 是 的充分条件，q ，RCB 或 6m4【考点】集合间的运算；由充分性、必要性求参数范围18已知在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且；223tancBb
16、（）求B；（）求函数 的值域及单调递减区间sin2icos,0,2fxBx【答案】 （） ；（）函数的值域1，2，单调递减区间 3B ,62【解析】试题分析：（）由已知条件及余弦定理可得， 又因三角形为3sinB锐角三角形，所以 ；3B（）由（）及辅助角公式可得， ，利用整体思想（换元思2sin3fx想）将 看作一个整体（一个角）即可求出值域先求出全体实数范围内的单调3x递减区间，然后对 k 赋值与定义域求交集即可求出其单调递减区间试题解析：（）因为 ， ，所以acbB2cos223tnacBb，3sin2B而ABC 是锐角三角形，所以角 3B（）函数解析式可化为，sin2icosincos2
17、in3fxxx因为 ，所以 ，则 ，所以函数的值域0,5+361i(),+1，2因为 ，所以 ，22kxk722,6kxkZ当 时， ，又 ；0760x所以 在 上的单调减区间为 fx,2,62【考点】解三角形；求三角函数的单调区间19如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为边长为 2 的菱形，PA平面ABCD，ABC=60，E，F 分别是 BC，PC 的中点试卷第 10 页，总 16 页（）判定 AE 与 PD 是否垂直，并说明理由；（）若 PA=2，求二面角 E-AF-C 的余弦值【答案】 （）垂直，证明过程详见解析；（） 15【解析】试题分析：（）在菱形 ABCD 中，可知 A
18、EAD又由 PA平面 ABCD，得PA AE从而证明 AE平面 PAD，然后由直线与平面垂直的性质即可证明；（）根据（）可建立如下图的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，然后分别求出平面AEF 与平面 ACF 的法向量，最后依据法向量夹角与平面夹角的关系求出二面角的余弦值试题解析：（）垂直证明：由四边形 ABCD 为菱形，ABC=60，可得ABC 为正三角形因为 E 为 BC 的中点，所以 AEAD因为 PA平面 ABCD，AE 平面 ABCD，所以 PA AE而 PA 平面 PADAD 平面 PAD 且 PAAD=A，所以 AE平面 PAD又 PD 平面 PAD，所以 AE PD 6 分（）由
19、（）知 AE，AD，AP 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又 E，F 分别为 BC，PC 的中点，A （0，0，0） ，B （ ，-1，0） ，C 3（ ，1，0） ，D （0，2，0） ，P（0，0，2） ，E （ ，0，0） ， ，所3 31,2F以 设平面 AEF 的一法向量为 ，则31,AEF 1,zmxy，因此 ，取 ，则 0m11032xyz1z0,2因为 BD AC，BD PA，PAAC=A，所以 BD平面 AFC，故 为平面 AFC 的一法向BD量，又 ，所以 3,0BD 2315cos,|mBD因为二面角 E-AF-C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为 15
