1、1 1.2 极坐标系 对应学生用书P4读教材填要点 1平面上点的极坐标 (1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单 位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系O点称为极点，Ox称 为极轴 (2)点的极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度 来刻画，这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标，称为极径，称为 极角 2极坐标与直角坐标的关系 (1)极坐标和直角坐标变换的前提条件： 极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； 极轴与x轴的正半轴重合； 两种坐标系取相同的长度单位 (2)极坐标和直角坐标的变换公式：
2、Error!或Error! 小问题大思维 1平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？ 提示：不是在极坐标系中，与给定的极坐标(，)相对应的点是唯一确定的；反 过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个如一点的极坐标是(，)(0)，那么这 一点也可以表示为(，2n)或(，(2n1)(其中nZ) 2若0,00，0,2) 2 解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变 化另外，我们要注意：极角是以x轴正向为始边，按照逆时针方向得到的 答案：(1) (2) (3) ( 3， 11 6 ) ( 3， 7 6 ) ( 3， 5 6 ) 点的极坐标和直角坐标的互化 例2 以
3、极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系4 (1)已知点A的极坐标为 ，求它的直角坐标； ( 4， 5 3 ) (2)已知点B和点C的直角坐标为(2，2)和(0，15)，求它们的极坐 标(0,02) 思路点拨 本题考查极坐标和直角坐标的互化解答此题只需将已知条件代入相关 公式即可 精解详析 (1)xcos 4cos 2， 5 3 ysin 4sin 2 ， 5 3 3 A点的直角坐标为(2，2 ) 3 (2) 2 ， x2y2 2222 2 tan 1，且点B位于第四象限内， 2 2 .点B的极坐标为 . 7 4 ( 2 2， 7 4 ) 又x0，y0，15， 点C的极坐标为 . ( 15，
4、 3 2 ) (1)将极坐标(，)化为直角坐标(x，y)的公式是：xcos ，ysin . (2)将直角坐标(x，y)化为极坐标(，)的公式是： 2 x 2 y 2 ，tan (x0)在利用此公式时要注意和的取值范围 y x 2(1)已知点的极坐标分别为A ，B ，C ，D ， ( 3， 4 ) ( 2， 2 3 ) ( 3 2 ， ) ( 4， 2 ) 求它们的直角坐标； (2)已知点的直角坐标分别为A(3， )，B ，C(2,2 )，求它们的极坐标， 3 ( 0， 5 3 ) 3 其中极角0,2) 解：(1)根据xcos ，ysin 得A ，B(1， )，C ( 3 2 2 ， 3 2 2
5、 ) 35 ，D(0，4) ( 3 2 ，0 ) (2)根据 2 x 2 y 2 ，tan 得A ，B ，C . y x ( 2 3， 11 6 ) ( 5 3 ， 2 ) ( 4， 2 3 ) 极坐标系中两点间的距离 例3 ABC的顶点的极坐标为A ，B ，C . ( 4， 4 3 ) ( 6， 5 6 ) ( 8， 7 6 ) (1)判断ABC的形状； (2)求ABC的面积； (3)求ABC的边AB上的高 思路点拨 本题考查极坐标与直角坐标的互化、极坐标系中两点间的距离公式解 答此题可直接利用极坐标系中两点间的距离公式求解，也可以先将极坐标化为直角坐标， 然后利用两点间的距离公式求解 精解
6、详析 AOB ，BOC ，COA .(O为极点) 4 3 5 6 2 7 6 5 6 3 4 3 7 6 6 (1)|AB| 2 . |OA|2|OB|2 4262 13 |BC| |OB|2|OC|22|OB|OC|cosBOC 2 ， 13 |AC| |OA|2|OC|22|OA|OC|cosAOC 4 . 52 3 ABC是等腰三角形 (2)S AOB |OA|OB|12， 1 2 S BOC |OB|OC|sinBOC12 ， 1 2 3 S C OA |OC|OA|sinCOA8. 1 2 S ABC S BOC S C OA S AOB 12 4. 3 (3)设AB边上的高为h，
7、则h . 2S ABC |AB| 24 38 2 13 12 394 13 136 对于这类问题的解决方法，可以直接用极坐标内两点间的距离公式d 求得；也可以把A，B两点由极坐标化为直角坐标， 2 12 2212cos12 利用直角坐标中两点间的距离公式d 求得，极坐标与直角坐 x1x22y1y22 标的互化体现了化归的解题思想；还可以考虑其对称性，根据对称性求得 3在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是A ，B ，求第三个顶点 ( 2， 4 ) ( 2， 5 4 ) C的坐标 解：由题设知，A，B两点关于极点O对称又|AB|4，所以由正三角形的性质知， |CO|2 ，AOC ，从而C的极坐
8、标为 或 . 3 2 ( 2 3， 3 4 ) ( 2 3， 4 ) 对应学生用书P6 一、选择题 1在极坐标系中，与点A 关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( ) ( 2， 3 ) A. B. ( 2， 2 3 ) ( 2， 3 ) C. D. ( 2， 4 3 ) ( 2， 5 6 ) 解析：选B 与A 关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为 ( 2， 3 ) (kZ)，只有选项B满足 ( 2，2k 3 ) 2在极坐标系中，若点A，B的坐标分别是 ， ，则AOB为( ) ( 3， 3 ) ( 4， 6 ) A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形 解析：选B 由题意知
9、AOB ，故选B. 3 ( 6 ) 2 3已知A，B的极坐标分别是 和 ，则A和B之间的距离等于( ) ( 3， 4 ) ( 3， 13 12 )7 A. B. 18 6 2 18 6 2 C. D. 3 63 2 2 3 63 2 2 解析：选C A，B在极坐标中的位置，如图， 则由图可知AOB . 13 12 4 5 6 在AOB中，|AO|BO|3， 所以，由余弦定理，得 |AB| 2 |OB| 2 |OA| 2 2|OB|OA|cos 5 6 9929 ( 3 2 ) 189 (1 ) 2 . 3 9 2 3 |AB| . 3 63 2 2 4已知极坐标平面内的点P ，则P关于极点的对
10、称点的极坐标与直角坐标 ( 2， 5 3 ) 分别为( ) A. ， B. ， ( 2， 3 ) (1， 3) ( 2， 3 ) (1， 3) C. ，(1， ) D. ，(1， ) ( 2， 2 3 ) 3 ( 2， 2 3 ) 3 解析：选D 点P 关于极点的对称点为 ， ( 2， 5 3 ) ( 2， 5 3 ) 即 ，且x2cos 2cos 1， ( 2， 2 3 ) ( 2 3 ) 3 y2sin 2sin ，所以选D. ( 2 3 ) 3 3 二、填空题8 5限定0,00.M(，0) 答案：(，0) 6已知极坐标系中，极点为O,00,02时，求点P的极坐标 解：设点P的直角坐标为(x，y)，由题意得Error! 解得Error! 点P的直角坐标为(3， ) 3 2 ，tan . 32 32 3 3 3 02，点P在第四象限， . 11 6 点P的极坐标为 . ( 2 3， 11 6 ) 11在极轴上求与点A(4 ， )的距离为5的点M的坐标 2 4 解：设M(r,0)，因为A ， ( 4 2， 4 ) 所以 5. 4 22r28 2rcos 4 即r 2 8r70.解得r1或r7. 所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)
