1、试卷第 1 页，总 16 页2016 届甘肃省兰州一中高三 12 月月考数学（文）试题及解析一、选择题1已知集合 ， ，则 为（ ）2,0xMylgNxyMNA （0， ） B （1， ） C2， ） D 1， ）【答案】B【解析】试题分析： ， 函数 的定0,21xxy,lgyx义域为 ，即 0,0N故 B 正确1M【考点】1 函数的定义域，值域；2 集合的运算2已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为 1 的正方形 （如图所示） ，则它的体积为（ ）A B C D16132356【答案】D【解析】试题分析：此几何体为正方头切去一个棱角则所求几何体的体积为151326V故 D 正确【考点】三
2、视图【易错点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的体积，属于容易题解题时要看清楚是求表面积还是求体积，否则很容易出现错误本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体的体积即可3已知倾斜角为 的直线 与直线 垂直，则 的值为（ l230xy2015cos()）A B C D4545 12【答案】B【解析】试题分析：直线 的斜率为 ，由题意知直线 的斜率为 2，即230xy12ltan2015coscos7cos2cos2sin故 B 正确in222inta1245【考点】1 直线垂直；2 诱导公式；3 三角恒等变换4已知 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是,m,
3、（ ）A若 ,/则 B若 / /n则C若 ,m则 D若 /则【答案】C【解析】试题分析：垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交，所以 A 选项不正确；两个平面内存在两条平行的直线时，两平面可能相交，也可能平行，所以 B 选项不正确；，又 ， ，所以 C 选项正确；,mnAnA若 ，则 或 ，所以 D 不正确A故 D 正确【考点】1 线面位置关系；2 面面位置关系【易错点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于容易题解题时一定要抓住题目中的重要字眼“真命题” ， 否则很容易出现错误解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检
4、验，也可作必要的合情推理5函数 在定义域内的零点的个数为（ ）()|2|lnfxxA0 B1 C2 D3【答案】C【解析】试题分析：函数 的定义域为 ，lnfxx0,函数 的零点个数等价于函数 与2lnfx2,0xy图像的交点个数lny由数形结合可得两函数图像有 2 个交点，所以函数有 2 个零lnfxx点故 C 正确【考点】1 函数零点；2 数形结合思想【思路点晴】本题主要考查的是函数的零点，难度一般本题重点在于将零点问题转试卷第 3 页，总 16 页化为两图像的交点问题由数形结合即可得出答案6若非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ,ab23b()(32)aba）A B C D424
5、【答案】A【解析】试题分析： ，3ab2230ab设 与 夹角为 ，又03ab2223cos03b， 上式可变形为 ，解得 0832cos故 A 正确,4【考点】1 向量垂直；2 向量数量积公式7 如图所示，点 是函数 图象的一个最高点， 、P2sin()(,0)yxRM是图象与 轴的交点，若 ，则 等于（ ）Nx0MNA8 B C D842【答案】C【解析】试题分析：由题意可得 OP0,90PMNMN由图像的对称性可知 为 的中点，所以在 中， RtP24MNOP， 故 C 正确28T4【考点】1 正弦函数图像；2 三角函数解析式【思路点晴】本题主要考查的是求三角函数 的形式根据图像可得si
6、nyAx的值， 为振幅所以 ，其中 跟周期有关，应先求周期 ， 等于AAOPTMN半个周期从而可得周期 ，即可得 T8 BC的外接圆的圆心为 O，半径为 1， 2ABC且 OAB，则向量A在向量方向上的投影为（ ）A B C D12321232【答案】A【解析】试题分析： ， 由向量加法的平行四边形法则可得 为AOO的中点B为 的外接圆的圆心， 为直角三角形且 OCBC=90A的外接圆半径为 1， 即 为边长A=1OB为 1 的正三角形在 上的投影为 故 A 正确B 1cos602A【考点】1 向量加法的平行四边形法则；2 三角形外接圆；3 向量的投影9已知实数 yx,满足： 012yx， |
7、1|yxz，则 z的取值范围是（ ）A 5,3 B )5, C 5,0 D )5,3【答案】B【解析】试题分析：由约束条件作出可行域如图：， 22,110xAy2102,3xyB令 ，变形可得 ，平移目标函数线 使之经过uu12uyx可行域，当目标函数线过点 时，纵截距最小，此时 取得最大值，即2,1当目标函数线过点 时，纵截距最大，此时max215u12,3B试卷第 5 页，总 16 页取得最小值，即 umin12533u因为点 不在可行域内，所以 ， 故 B 正确2,1Au0,5zu【考点】线性规划【方法点晴】本题主要考查的是线性规划，属于中档题线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组
8、所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误10已知函数 对任意的 满足 （其中()yfx(,)2x()cos()sin0fxfx是函数 的导函数） ，则下列不等式成立的是（ ）()fxA B2()34ff2()34ffC D(0)ff 0ff【答案】A【解析】试题分析：令 ， cosfxg,2， 在 上2csinfxfgcosin0fxfx,2恒成立，在 上恒成立 在 上单调递增0x,2cosfgx,2，即 ， ，34g34coscsff3412ff2ff故 A 正确【考点】1 用导数求函数的单调
9、性；2 用单调性比较大小【思路点晴】本题属于用导数研究函数性质问题，难度中等根据已知可联想到需构造函数 根据函数 的cosin0fxfxcosfxggx正负得函数的增减区间根据函数 的单调性再比较大小cosfxg11已知命题 p：xR， （m1） （x 21）0，命题 q：xR，x 2mx10 恒成立若 pq 为假命题，则实数 m 的取值范围为（ ）Am2 Bm2 或 m1Cm2 或 m2 D1m2【答案】B【解析】试题分析：当命题 为真时， ，解得 p+0m当命题 为真时， ，解得 q242当命题 与命题 均为真时，则有 p11命题 为假命题，则命题 与命题 至少有一个为假命题qqp所以此时
10、 或 故 B 正确2m1【考点】命题真假的判定【思路点睛】本题主要考查的是命题真假的判定先分别求得命题 为真时 的范围pm和命题 均为真时 的范围命题 为假命题，则命题 与命题 至少有一个为q假命题，包含情况较多，不如先求两命题均为真时 的范围，这样较简单根据两命m题均为真时 取值集合与两命题至少有一个为假时 取值集合互补，可求得所求12 已知函数 ，nN 的图象与直线 1x交于点 P，若图象在点 P 处的切线1()nfx+=与 x 轴交点的横坐标为 n，则 1203log 203l 2013logx的值为（ ）A1 B1log 20132012 C - log20132012 D1【答案】A
11、【解析】试题分析： 1,nfP， ，由导数的几何意义可得在点 处切线的斜率+1nnfx+P，k所以在点 处切线方程为 ，令 得 ，即 P1ynx0y+1nx1nx20132013203logllogx2013log42013故 D 正确2013llog【考点】1 导数的几何意义；2 对数的运算二、填空题13已知数列 na为等差数列， 123a， 5679a，则 4a 【答案】2【解析】试题分析：由等差中项可得 ，12325676,39试卷第 7 页，总 16 页261,3a由等差中项可得 2641+32a【考点】等差中项14若直线 过曲线 的对称中心，则()0,xbyb+-=1sin02yx的
12、最小值为 12a【答案】 3【解析】试题分析：令 ，得 ,xkZ,xkz所以函数 的对称中心为 2siny0,， 曲线 的对称中心为 0x1si2x1,将点 代入 可得 ，即 1,aby1ab0ab，23232当且仅当 即 时取得等号ba21,b【考点】1 函数的对称性；2 基本不等式15设三棱柱 的侧棱垂直于底面， ，且三1ABC 12,90,2ABCA棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 【答案】 6【解析】试题分析：取 中点 ，取 中点 ， 的中BD90BAD点即为该三棱柱外接球的圆心在 中 RtAC21设外接球半径为 ， 222 4ROA该球的表面积为 416【考点】几何体外
13、接球问题【思路点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，难度稍大当三棱柱的所有顶点都在同一球面上时，球心在底面的射影即为底面三角形的外心，又底面三角形为直角三角形其外接圆的圆心在斜边的中点，所以球心即在两底面三角形斜边中点连线的中点处根据勾股定理可求得此外接球的半径，由球的表面积公式可求得此球的表面积16数列 的通项为 ，前 项和为 ，则 = na(1)2sin1n nS10【答案】200【解析】试题分析：由已知可得 ； ；13sin12a5sin1a；37sin182a； ； ；495si0263si；75si6分析可知偶数项均为 1，所以前 100 项中偶数项的和为 150分析可知相邻两项奇数
14、项的和为 6，所以前 100 项中奇数项的和为 615210520S【考点】数列求和【思路点睛】本题主要考查的是数列求和，难度稍大根据通项公式可以先多求出几项发现其规律， 为偶数时 ，所以偶数项均为 1根据求出的奇数项分析nsi02n可发现相邻两个奇数项的和为定值 6从而可求得此数列前 100 项的和三、解答题17设数列a n满足：a 1=1，a n+1=3an ，nN设 Sn为数列b n的前 n 项和， 已知b10，2b nb1=S1 Sn，nN（）求数列a n，b n的通项公式；（）设 cn=bn log3 an，求数列c n的前 n 项和 Tn 【答案】 （） ， ；（） 1122n【解
15、析】试题分析：（）由 可得 为公比为 3 的等比数列，根据等比13nan数列的通项公式可求得 根据公式 可求得 （）根据对na1,2nnSbnb数的运算法则可求得 ，分析可知应用错位相减法求数列的和nc试题解析：解：（） ， 是公比为 3，首项 的等比数列，13nana1a通项公式为 n，当 时， ，12nnbS 112bS， ， 01b当 时， ， ，1nnn12nb 是公比为 2，首项 的等比数列，nb1a通项公式为 n（） ， 11133logl2nnnnc 试卷第 9 页，总 16 页012212nnnT3 2 得： 0121212nnnnnTn【考点】1 等比数列的定义，通项公式；2
16、 公式法求通项公式；错位相减法求数列的和【方法点睛】数列通项公式的主要求法有：公式法，累加法，累乘法，构造法等数列前 项和的求法有：公式法，分组求和法，倒序相加法，裂项相消法，错位相减法n等当数列通项公式为等差乘等比的形式时应用错位相减法18如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别1CBA2BCABFED,为棱 的中点BA,1（）求证： 平面 ；EF1BC（）若异面直线 与 所成角为 ，求三棱锥 的体积1A30DCB1【答案】 （）详见解析；（） 【解析】试题分析：（）法一：可以取 中点 ，连接 ，易证得1BM,E为平行四边形，从而可得 ，根据线面平行的判定定理可证得 EMCFEFCAEF平面
17、 法二： 取 的中点 ，连接 ，由中位线易证得1BOF, ， ，面面平行的判定定理可证得平面 平面 ，从O1 E1BC而可证得 平面 （）易证得 ，由异面直线所成角的定义可EFC1A知 即为异面直线 与 所成角从而可得 的长即棱柱的高根据线面1AEFFO垂直的判定定理易证得 平面 ，从而可求得所求体积B1试题解析：解：（）证明：取 的中点 ，连接 ， 因为 分别为棱ABOEF,F,的中点，ACB,1所以 ， ， ， 平面FOE1 BCEF1,O,，E平面 ，所以平面 平面 ，1,1BO1又 平面 ，所以 平面 FEF1（）由（）知 异面直线 与 所成角，所以 ，A30FEO因为三棱柱 为直三棱
18、柱，所以 平面 ，所以 平面1CBA1BAC，BC， ， ，FOE23,22EF由 ，1,平面 ，BCA所以1113DBCCDVS 1323【考点】1 线面平行；2 棱锥的体积；3 异面直线所成的角【方法点晴】本题主要考查的是线面平行，棱锥的体积问题，属于中档题证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是中位线，平行四边形，平行线分线段成比例逆定理，平行公理等求棱锥的体积时关键是找准棱锥的顶点即棱锥的高常用体积转化法求高19已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生 n 人，成绩分为 A（优秀） 、B（良好） 、C（及格）三个等级，设 x，y 分别表示语文成绩与数学成绩例如：表中语文成绩为 B 等级的共有 2018442 人已知 x 与 y 均为 B等级的概率是 018（）求抽取的学生人数；（）设该样本中，语文成绩优秀率是 30%，求 a，b 值；（）已知 求语文成绩为 A 等级的总人数比语文成绩为 C 等级的总人数少1,8ab的概率【答案】 （）100；（） ； ；（） 14a7b314【解析】试题分析：（） 与 均为 等级的共有 18 人，根据古典概型概率公式可xyB
