1、邵阳市二中 2016届高三第一次月考试卷 理科数学（）满分：150 分 时量：120 分钟 命题制卷： 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 设集合 ，则 （ ）2|1,|1AxBx ABA B C D(,(),)12(,)2 若 （ 、 是实数， 是虚数单位）， 则复数 的共轭复数等于（ abiiazabi）A B C D1+ i1i1i13一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A2+ B C D 44执行右图的程序框图，若输出的 ，5n则输入整数 的最大值是( )pA15 B14 C7 D65以双
2、曲线 的离心率为首项，1542yx以函数 的零点为公比的等比数列的前 项的和 （ ）f nnSA B C D23nn23321324n6已知 a= （sinx+cosx）dx，在（1+ax） 6（1+y） 4 的展开式中，xy 2 项的系数为（ ）A45 B 72 C 60 D 1207已知 P（x，y）为区域 内的任意一点，当该区域的面积为 4 时，z=2xy的最大值是（ ）A6 B0 C2 D 28. 已知函数 ()sin)(3fx的最小正周期为 ，则该函数图象（ ） A关于直线 6对称 B关于直线 3x对称C关于点( ，0)对称 D关于点( ，0)对称9设随机变量 N（2，4） ，若 P
3、（a+2）=P（2a 3） ，则实数 a 的值为（ ）A1 B C5 D910. 函数 的定义域为 ，若对于任意 ，当 时，都有 ，()fxD12,x12x11+1 对于任意 的内角 、 、 满足：ABCC；222sinisinisncoA对于命题 p：xR，使得 x2+x+10则p：x R，均有 x2+x+10如果函数 yf在某个区间内可导，则 f(x)的导数 f是函数 yfx在该区间上为增函数的充要条件.其中正确命题的序号为 .（填上所有正确命题的序号）16.给定集合 Aa 1，a 2， a3，a n(nN ，n3)，定义 aia j(1i 1)，则 L(A)关于 m 的表达式为 .三、解
4、答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 （ 本小题满分 12 分）已知函数 f(x)= sinxsin( )，x 3+6 (1)求 y=f(x)的正零点； (2)设 f(x)的所有正零点依次组成数列 ，数列 满足 =0， 1= ， ，求 的通项公式。+1 18.(本小题满分 12 分)一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数： f1（x）=x3，f 2（x）=5 |x|，f 3（x）=2，f 4（x）= ，f 5（x）=sin（ +x） ，f 6（x）=xcosx（1）从中任意取 2 张卡片，求至少有一张卡片写着的函数为奇函数的概率；（2）在（
5、1）的条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到新函数为奇函数的概率；（3）现从盒子逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数 X 的分布列和数学期望19. （本小题满分 12 分）在正三角形 ABC 中，E、F 、P 分别是 AB、AC 、BC 边上的点，满足 AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图 1） ，将AEF 沿 EF 折起到A 1EF 的位置，使二面角A1EFB 成直二面角，连结 A1B、A 1P（如图 2） 。（1）求证：A 1E平面 BEP （2）求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小；（3）求二面角 BA1
6、PF 的余弦值20 （本小题满分 13 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1、F 2，短轴两个端点为 A、B，且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形（1）求椭圆的方程；（2）若 C、D 分别是椭圆长的左、右端点， 动点 M 满足 MDCD，连接 CM，交椭圆于点 P证明： 为定值（3）在（2）的条件下，试问 x 轴上是否存异于点 C 的定点 Q，使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP、MQ 的交点，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由21(本小题满分 13 分) 若定义在 R 上的函数 f（x）满足f（x）= e2x2+x22f（0）x，g（x）=f（）x 2+（1a）x
7、+a，aR （）求函数 f（x）解析式； （）求函数 g（x）单调区间；（）若 x、y、m 满足|x m|ym|，则称 x 比 y 更接近 m当 a2 且 x1 时，试比较和 ex1+a 哪个更接近 lnx，并说明理由请考生在 22、23 、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（8 分选修 41：几何证明选讲）如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点 B，C ，PC 2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交O 于点 E，证明： (1)BEEC； (2)ADDE2PB 2.23 （8 分选修 44：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已
8、知直线 l 的极坐标方程为 ，圆 C 的圆心是，半径为 （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）求直线 l 被圆 C 所截得的弦长24 （8 分选修 4-5：不等式选讲 ）设函数 f（x）=|2x+1| |x2|（1）解不等式 f（x）0；（2）已知关于 x 的不等式 a+3f（x）恒成立，求实数 a 的取值范围理科数学（）参考答案一、 ACCAB BADBA CA二、 11. 12 . 5 2m3 .23 13. 14. 解析：246,268,2810,4610,4812,6814， L(A)5.用不完全归纳法。证明如下：不妨设数列a n是递增等差数列可知a1m 时， aia ja ijm a
9、 m，因此每个和 aia j(1ij m )等于 a1a k(2km) 中一个，或者等于 ala m(2lm 1) 中的一个.故 L(A)2m 3.三、17.（ 1） f(x)= sin( ) 正零点 x=k+ ，kN.(6 分)6 (2) = ，b n=(3n2-8n-5)/6.(12 分)5618解：（）f 1（x）为奇函数； f2（x）为偶函数；f 3（x）为偶函数；f4（x）为奇函数；f 5（x）=为偶函数； f6（x）= 为奇函数，故所求概率为 P= =，-4 分（） = =， = , p=1/4 -8 分 （） P（=1）= =，P（=2 ）= = ，P（=3） = ，P（=4）=
10、 = ；故 的分布列为 1 2 3 4PE（）=1 +4 = -12 分19 （1）证明：不妨设正三角形 ABC 的边长为 3在图 1 中，取 BE 的中点 D，连结DFAE：EB=CF ：FA=1：2，AF=AD=2，而A=60 度，ADF 是正三角形，又AE=DE=1，EFAD在图 2 中，A 1EEF，BE EF，A 1EB 为二面角 A1EFB 的平面角由题设条件知此二面角为直二面角，A 1EBE又 BEEF=E， A1E平面 BEF，即 A1E平面 BEP-4 分（2）建立分别以 EB、EF、EA 为 x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，则 E（0，0，0） ，A（0，0， 1）
11、 ，B（2，0，0） ，F（0， ，0） ，P （1， ，0） ，则， 设平面 ABP 的法向量为 ，由 平面 ABP 知， ，即令 ，得 ， ， 直线 A1E 与平面 A1BP 所成的角为 60 度-8 分（3） ，设平面 A1FP 的法向量为由 平面 A1FP 知，令 y2=1，得 ， 所以二面角 BA1PF 的余弦值是 -12 分20. 解：（1）a=2，b=c，a 2=b2+c2，b 2=2； 椭圆方程为 -（4 分）（2）C（2，0 ） ，D（2，0） ，设 M（2，y 0） ，P（x 1，y 1） ，直线 CM： ，代入椭圆方程 x2+2y2=4，得 ， ， （定值） （8 分）（
12、3）设存在 Q（m，0）满足条件，则 MQDP则由 ，从而得 m=0存在 Q（0，0 ）满足条件 -（13 分）21解：（）根据题意，得 f（x）=f（1）e 2x2+2x2f（0） ，所以 f（1）=f（1）+22f（0） ，即 f（0）=1又 f（0）=f （1）e 2，所以 f（x）=e 2x+x22x-4-分（）f （x）=e 2x2x+x2， g（x）=f（） x2+（1a）x+a=e xa（x1）g（x）=e xa，a0 时，g（x）0，函数 f（x）在 R 上单调递增；当 a0 时，由 g（x）=e xa=0 得 x=lna，x（，lna ）时，g（x）0，g（x）单调递减；x（
13、lna，+）时，g（x） 0，g（x）单调递增综上，当 a0 时，函数 g（x）的单调递增区间为（ ，+） ；当 a0 时，函数 g（x）的单调递增区间为（lna，+） ，单调递减区间为（，lna）-8 分（）解：设 p（x）= lnx， q（x）=e x-1+alnx， p（x）= 0，p（ x）在 1，+ ）上为减函数，又 p（e ）=0 ， 当 1xe 时，p（x） 0；当 xe 时，p（x）0 q（x）=e x1， q（x）=e x1+ 0， q（x）在1，+）上为增函数，又 q（1）=0 ， x1，+ ）时，q（x）0， q（x）在1，+）上为增函数， q（ x） q（1）=a+10
14、当 1xe 时，|p（x）|-|q （x）|=p（x）q（x）=e x1a，设 m（x）=e x1a， 则 m（x）= ex10， m（x）在1 ，+）上为减函数，m（x）m（1）=e1a， 当 a2， m（x）0， |p（ x）|q（x）| ，比 ex1+a 更接近 lnx当 xe 时， |p（x）|q（ x）|= p（x）q（x）=+2lnx ex1a2lnx ex1a，设 n（x）=2lnx ex1a，则 n（x）=e x1，n （x）= ex10，n（x）在 xe 时为减函数， n（x）n（e）= ee10，n（ x）在 xe 时为减函数， n（x）n（e）=2a ee10， |p（x
15、）|q （x）|，比 ex1+a 更接近 lnx综上：在 a2 且 x1 时时，比 ex1+a 更接近 lnx-13 分22 解：（I）连结 AB,AC.由题设知 PA=PD,故PAD=PDA.因为PDA=DAC+DCA PAD=BAD+PAB DCA= PAB,所以DAC= BAD ，从而 。 因此 BE=EC.-4 分ABEC（）由切割线定理得 。 因为 PA=PD=DC，所以2PDC=2PB,BD=PB。由相交弦定理得 ，所以 .-8 分ADEBC 2ADEPB23 解：（1）将圆心 ，化成直角坐标为（ 1，1） ，半径 r= ， （2 分）故圆 C 的方程为（x 1） 2+（ y1） 2=2即 x2+y2=2x+2y 再将 C 化成极坐标方程，得 2=2sin（+ ） 此即为所求的圆 C 的极坐标方程-4 分（2）直线 l 的极坐标方程为 ，可化为 x+y=2+ ，圆 C 的圆心 C（1，1）到直线 l 的距离为 d= =1，又 圆 C 的半径为 r= ， 直线 l 被曲线 C 截得的弦长 l=2 =2 -8 分24 解：（1）等式 f（x）0 即|2x+1| |x2|0，故不等式的解集为（， 3） （，+） -4 分（2）由题意可得，a+1f min（x） ，而由（1）可得 fmin（x）=f（）= ，a+1 ，解得 a-8 分
