1、2015-2016 学年湖南省平江一中、江西省修水一中高三（上）联考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置）1设集合 M=1，0，1，N=a，a 2则使 MN=N 成立的 a 的值是（ ）A1 B0 C 1 D1 或12已知两条直线 y=ax2 和 3x（a+2）y+1=0 互相平行，则 a 等于（ ）A1 或3 B 1 或 3 C1 或 3 D1 或33设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a2+S3=4，a 4=3，则公差为（ ）A1 B1 C2 D34下列说法
2、中，正确的是（ ）A命题“若 ab，则 am2bm 2”的否命题是假命题B设 ， 为两个不同的平面，直线 l，则“l”是“”成立的充分不必要条件C命题“ xR，x 2x0”的否定是“x R，x 2x0”D已知 xR，则“ x1”是“x2”的充分不必要条件5已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A4 B5 C6 D76函数 f（x）= |x5|+2x1 的零点所在的区间是（ ）A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4）7已知双曲线的焦距为 2 ，焦点到一条渐近线的距离为 ，则双曲线的标准方程为（
3、）Ax 2 =1 B y2=1Cx 2 =1 或 y2 =1 D y2=1 或 x2=18函数 的图象与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数 g（x）=Acos x 的图象，只需将 f（x）的图象（ ）A向左平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位9A，B，C ， D 是同一球面上的四个点，其中ABC 是正三角形，AD 平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（ ）A B48 C D10抛物线 y=2x2 上两点 A（x 1，y 1） 、B （x 2，y 2）关于直线 y=x+m 对称，且 x1x2= ，则 m 等于（ ）A B2 C D
4、311已知函数 ，若方程 f（x）=t（t R）有四个不同的实数根 x1，x 2，x 3，x 4，则 x1x2x3x4 的取值范围是（ ）A （30，34） B （30，36 ） C （32，34） D （32，36）12已知定义在 R 上的函数 f（x）是奇函数且满足 f（ x）=f（x） ，f（2）= 3，数列a n满足 a1=1，且 =2 +1， （其中 Sn 为a n的前 n 项和） 则 f（a 5）+f（a 6）=（ ）A3 B2 C3 D2二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知 ，sin= ，则 sin2= 14若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x
5、+y 的最大值为 15若函数 f（x）=cos2x+asinx 在区间（ ， ）是减函数，则 a 的取值范围是 16设集合 M=a1，a 2，a n（nN +） ，对 M 的任意非空子集 A，定义 f（A）为 A 中的最大元素，当 A 取遍 M 的所有非空子集时，对应的 f（A）的和为 Tn，若 an=2n1 则：T 3= ，T n= 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知函数 （其中 0，xR）的最小正周期为 10（1）求 的值；（2）设 ， ， ，求cos（+）的值18如图，在四棱锥 ABCDPGFE 中，底面 ABCD 是直角梯形
6、，侧棱垂直于底面，ABDC，ABC=45，DC=1，AB=2 ，PA=1（）求 PD 与 BC 所成角的大小；（）求证：BC平面 PAC；（）求二面角 APCD 的大小19如果函数 f（x）= （m2）x 2+（n 8）x+1（m0，n0）在区间 ，2上单调递减，求 mn 的最大值20已知数列a n的首项 a1= ，a n+1= （n N*）（1）设 bn= 1，求数列b n的通项公式；（2）求数列 的前 n 项和 Sn21已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 相切，过点 P（4，0）且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于A、B 两点（1）求椭圆 C 的方
7、程；（2）求 的取值范围；（3）若 B 点在于 x 轴的对称点是 E，证明：直线 AE 与 x 轴相交于定点22已知函数 f（x）= x3+x2，g（x）=alnx （a 0，a R） （1）求 f（x）的极值；（2）若对任意 x1，+） ，使得 f（x）+g（x）x 3+（ a+2）x 恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）证明：对 nN*，不等式 + + 成立2015-2016 学年湖南省平江一中、江西省修水一中高三（上）联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在
8、答题卡相应位置）1设集合 M=1，0，1，N=a，a 2则使 MN=N 成立的 a 的值是（ ）A1 B0 C 1 D1 或1【考点】交集及其运算【分析】由 M=1，0，1，N=a，a 2，M N=N，知 ，由此能求出 a 的值【解答】解：M=1，0，1，N=a，a 2，M N=N， ，解得 a=1故选 C2已知两条直线 y=ax2 和 3x（a+2）y+1=0 互相平行，则 a 等于（ ）A1 或3 B 1 或 3 C1 或 3 D1 或3【考点】两条直线平行的判定【分析】应用平行关系的判定方法，直接求解即可【解答】解：两条直线 y=ax2 和 3x（a+2）y+1=0 互相平行，所以解得
9、a=3，或 a=1故选 A3设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a2+S3=4，a 4=3，则公差为（ ）A1 B1 C2 D3【考点】等差数列的前 n 项和【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式由 a2+S3=4，a 4=3，可得，解出即可【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，由 a2+S3=4，a 4=3，可得，解得 故选：C4下列说法中，正确的是（ ）A命题“若 ab，则 am2bm 2”的否命题是假命题B设 ， 为两个不同的平面，直线 l，则“l”是“”成立的充分不必要条件C命题“ xR，x 2x0”的否定是“x R，x 2x0”D已知 xR，则“ x1”是“x2
10、”的充分不必要条件【考点】复合命题的真假【分析】命题 A 找原命题的逆命题，易于判断，一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题；命题 C 是写特称命题的否定，应是全称命题；选项 B 是考查的线面垂直的判定； D 可举反例分析【解答】解：命题“若 ab，则 am2bm 2”的逆命题是，若“am 2bm 2，则 ab” ，此命题为真命题，所以命题“若 ab，则 am2bm 2”的否命题是真命题，所以 A 不正确设 ， 为两个不同的平面，直线 l，若 l，根据线面垂直的判定，由 ，反之，不一定成立，所以 B 正确命题“ xR，x 2x0”的否定是全程命题，为 xR，x 2x 0，所以 C 不正确由 x1
11、 不能得到 x2，如 ， ，反之，由 x2 能得到 x1，所以“x1” 是“x 2”的必要不充分要条件，故 D 不正确故选 B5已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A4 B5 C6 D7【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图复原几何体为四棱锥，根据三视图数据求出底面面积，和高，即可求体积【解答】解：三视图复原几何体为四棱锥，它的高为 2，底面是直角梯形，长底边为 4，上底为 2，高为 2，棱锥的高垂直底面梯形的长底边直角顶点，所以几何体的体积为：故选 A6函数 f（x）= |x5|+2x1 的零点所在的区间
12、是（ ）A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4）【考点】函数零点的判定定理【分析】本题可求出相应区间端点的值，由连续函数根的存在性定理，端点值异号时，该区间内有根，得本题的解【解答】解：函数 f（x）= |x5|+2x1，f（0）= |05|+21= 0，f（1）=|15|+2 0=30，f（2）=|25|+2 1=10，f（3）=|35|+2 2=20，f（4）=|45|+2 3=70f（2）f （3）0，函数 f（x）= |x5|+2x1 的零点所在的区间是（2，3） 故选 C7已知双曲线的焦距为 2 ，焦点到一条渐近线的距离为 ，则双曲线的标准方程为（ ）Ax 2
13、=1 B y2=1Cx 2 =1 或 y2 =1 D y2=1 或 x2=1【考点】双曲线的简单性质【分析】分类讨论，设出双曲线的方程，利用双曲线的焦距为 2 ，焦点到一条渐近线的距离为 ，列出方程组，求出几何量，即可得出双曲线的标准方程【解答】解：由题意，焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为 =1（a0，b 0） ，其上焦点为（0，c） ，一条渐近线为 y= x双曲线的焦距为 2 ，焦点到一条渐近线的距离为 ，2c=2 ， = ，c= ，b= ，a=1，双曲线的标准方程为 y2 =1同理，焦点在 x 轴上，方程为 x2 =1故选：C8函数 的图象与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列
14、，要得到函数 g（x）=Acos x 的图象，只需将 f（x）的图象（ ）A向左平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】由题意可得，函数的周期为 ，由此求得 =2，由 g（x）=Acosx=sin2（x+ ）+ ，根据 y=Asin（x+）的图象变换规律得出结论【解答】解：由题意可得，函数的周期为 ，故 =，=2要得到函数 g（x）=Acosx=sin2（x+ ）+ 的图象，只需将 f（x）= 的图象向左平移 个单位即可，故选 A9A，B，C ， D 是同一球面上的四个点，其中ABC 是正三角形，AD 平面ABC
15、，AD=2AB=6，则该球的体积为（ ）A B48 C D【考点】球的体积和表面积；棱锥的结构特征；球内接多面体【分析】由题意把 A、B、C、D 扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与 A 的距离为球的半径，然后求出球的体积【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把 A、B、C 、 D 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与 A 的距离为球的半径，AD=2AB=6，OE=3，ABC 是正三角形，所以 AE= = AO= =2 所求球的体积为： = 故选 A10抛物线 y=2x2 上两点 A（x 1，y 1） 、B （x 2，y 2）关于直线 y=x+m 对称，且 x1x2= ，则 m
16、等于（ ）A B2 C D3【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】先利用条件得出 A、 B 两点连线的斜率 k，再利用 A、B 两点的中点在直线y=x+m 求出关于 m 以及 x2，x 1 的方程，再与已知条件联立求出实数 m 的值【解答】解：由条件得 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2）两点连线的斜率 k= ，而 y2y1=2（x 22x12） ，得 x2+x1= ，且（ ， ）在直线 y=x+m上，即 = +m，即 y2+y1=x2+x1+2m 又因为 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2）两点在抛物线 y=2x2 上，所以有 2（x 22+x12）=x 2+x1+2m，：即
17、2（x 2+x1） 22x2x1=x2+x1+2m ，把代入整理得 2m=3，解得 m=故选 A11已知函数 ，若方程 f（x）=t（t R）有四个不同的实数根 x1，x 2，x 3，x 4，则 x1x2x3x4 的取值范围是（ ）A （30，34） B （30，36 ） C （32，34） D （32，36）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】先画出函数 y=f（x）的图象，根据图象分析 a，b，c，d 的关系及取值范围，从而求出 abcd 的取值范围【解答】解：先画出函数 ，的图象，如图：a，b，c，d 互不相同，不妨设 abcd且 f（a） =f（b）=f（c）=f（d） ，0a1，1b4，4 c6 ，d6 log 2a=log2b， c+d=12，cd 24即 ab=1，c+d=12，abcd=cd=c（12c ）= c2+12c（4c6 ）的范围为（32，34） 故选 C
