1、博士家园考研丛书 （2010 版） 全国重点名校数学专业考研真题及解答 数学分析与高等代数考研真题详解 北京大学数学专卷 博士家园 编著 博士家园系列内部资料 博士家园数学专业考 研丛书编委会 这是一本很多数学考研人期待已久的参考书， 对于任何一个想通过考取重点院校的研究生来进一步深造的同学来说，历年的各个院校的真题的重要性是显而易见的。为了帮助广大同学节约时间进行复习，为了使辅导教师手头有更加详尽的辅导材料，我们从 2004 年开始大量收集数学专业的考研真题，其中数学分析和高等代数两门专业基础课最为重要。有些试题还很难收集或者购买，我们通过全新的写作模式，通过博士家园( ),这个互联网平台，
2、征集到了最新最全面的专业试题，更为令人兴奋和鼓舞的是，有很多的高校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意！ 国际数学大师陈省身先生提出： “要把中国建成 21 世纪的数学大国。 ”每年有上万名数学专业的学生为了更好的深造而努力考研，但是过程是艰难的。我们为了给广大师生提供更多更新的信息与资源建立了专业网站博士家园网站。本站力图成为综合性全国数学信息交换的门户网站，旨在为科研人员和数学教师服务，提供与数学研究和数学教学有关的一切有价
3、值的信息和国内外优秀数学资源检索，经过几年的不懈努力，成为国内领先、国际一流的数学科学信息交流中心之一。由于一般的院校可能提供一些往年试题，但是往往陈旧或者没有编配解答，很多同学感到复习时没有参照标准，所以本丛书挑选了重点名校数学专业的试题，由众多编委共同编辑整理成书。在此感谢每一位提供试题的老师，同时感谢各个院校的教师参与解答。以后我们会继续更新丛书，编入更新的试题及解答，希望您继续关注我们的丛书系列。也欢迎您到博士家园数学专业网站参加学术讨论，了解考研考博，下载最新试题： 博士家园主页网址： http:/ 博士数学论坛网址： http:/数学资源库: http:/ 欢迎投稿，发布试题，对
4、于本书疏漏之处欢迎来信交流，以促改正： 博士家园 二零一零年二月2 博士家园系列内部资料 数学分析与高等代数考研真题详解 北京大学考研数学专卷 目录 北京大学考研数学专卷 .2 2001 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题 2 2001 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题解答 4 2002 年招收硕士研究生入学考试高等代数部分试题及解答 8 2005 年招收硕士研究生考试高等代数与解析几何试题及解答 12 2005 年招收硕士研究生考试数学分析试题及解答 18 2006 年招收硕士研究生入学考试高代解几试题及解答 2006 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题 2007 年招收硕士研究生入
5、学考试数学分析试题及解答 2007 年招收硕士研究生入学考试高代解几试题及解答 2008 年招收硕士研究生考试高等代数与解析几何试题及解答 2008 年招收硕士研究生考试数学分析试题及解答 2008 年北大复试概率统计试题与解答 2009 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题 2009 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答 2010 年招收硕士研究生考试高等代数与解析几何试题 2010 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答 北京大学考研数学专卷 2001 年招收硕士研究生入学考试高等代数试题 1（ 15 分）在空间直角坐标系中，点 ,A BC的坐标依次为： ()( ) ( )2,1
6、, 4 , 2, 3, 4 , 1,3,3 求四面体 OABC的体积； 求三角形 的面积 ABC2（ 15 分）在空间直角坐标系中， 1:123x aylz= =与 2 博士家园系列内部资料 21:21 2x yzl=是一对相交直线 求 a； 求 绕 旋转出的曲面的方程 2l1l3（ 12 分）设 是复数域 上的本原 次单位根（即， C n 1n = ，而当 0 时，）， 都是正整数，而且lnnullnull11 nn 11 22 nnee e2e e,null证毕。 6. 用 R 表示实数域, 定义nR 的映射 f 如下: 11 12() , (, , ) ,Tnrr rs nf Xx xx
7、 x Xxx x R+=+ = nullnull null 其中: 证明: 0.rs(1) 存在的一个 n-r 维子空间 W,使得 ()0, ;f XXW= (2) 若 是1,WW2nR 的两个 n-r 维子空间, 且满足12()0, ,f XXWW= 则一定有12dim( ) ( ).WW nrs+证明： （1 ）只需构造 n-r 个线性无关的向量满足方程。 10 博士家园系列内部资料 ()(),(1,0, ,0,1,0, ,0,0, ,0), (0,0, 0,1,0, ,0,0,0, ,1,0, ,0),nrsnrsrssrs r snrsRR RRR +=nullnullnullnull
8、nullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull12 s1sn-(r+s) n-(r+s)不妨设在 中存在一组由s个线性无关的向量 ， ， ， 构成的子空间满足方程,其中在 中存在一组由n-(r+s() ()(0, ,0,1,0, ,0), (0, ,0,0,0, ,1),(2)nrs nrsnr W + += =null
9、nullnullnull nullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull12 n-(r+s)1 n-(r+s)r+s r+s12 s 12 n-(r+s)12 s12 n-(r+s)个线性无关的向量 ， ， ， 构成的子空间满足方程,其中维的子空间 ， ， ， ， ， ， ， 。依题意：1212,()0,()0()0WW fXWW fXfX=n满足方程显然 是R 的一个子空间也满足方程 ，所以只需证明满足方程 的最小子空间的维数为n-(r+s)。7. 设 V 是数域 K
10、上的 n 维线性空间, 1,sVnull VV是 V 的 S 个真子空间, 证明: (1)存在12,.SVVV null使得 (2)存在 V 中的一组基1,n null 使得: ()112,nsVV V . =nullnull 证明：可以用数学归纳法。 （1 ） 1221111111)2 ,),kkkkiis VVVVVVVVii V V VVVVV +=+ + + +nullnull12当时， 且否则命题成立；若由于 矛盾；同理可得： ；命题成立；设s=k成立，对s=k+1时，至少如果 则命题成立；如果 取则 ，2 ， ，(k+1) ，共k+1项，必有一个向量不属于否则有两k+1 1,iis
11、kVVVV VVV+null12个向量属于同一个这两向量差为m 矛盾；不妨设 =l +则 否则 矛盾；所以命题成立。（2 ） 11 博士家园系列内部资料 由（1 ）知， 1112 11221212 2 121212,(,),sssssissVVVVVLVVVVVVLnVVVVVV V +1,+ = =nullnullnullnullnullnull12 n12 n且，设再由（1）得： 且则 线性无关，设同理，一直这样取值下去，个线性无关的 即中的一组基 ， ， 使得， （ ）=证毕。2005 年招收硕士研究生考试高等代数与解析几何试题及解答 1 在直角坐标系中，求直线 到平面=+=+1202:
12、zyxzyxl 03: =+ zByx 的正交投影轨迹的方程。 其中 B 是常数 解： 可以验证点12 12,0, , ,0,55 55l ，从而 l 把 l写成参数方程：1325x kyzk= +=k k，任取其上一点 :P (1 3,2 5,)kk + ，设该点到 上的投影为点:P (, ,)x yz 1331031xkzkPP x z+ = += 30PxByz + += 整理即知， l到 上的正交投影轨迹满足方程31030xzxByz+=+ +=由于1131 ，上述方程表示一条直线，而 2*3 1 0B+ =和 32B 0+ +=不同时成立，因此 到 l 上的正交投影轨迹是一条直线 1
13、2 博士家园系列内部资料 从而 l到 上的正交投影轨迹的方程就是31030xzxByz+=+ +=2 在直角坐标系中对于参数 的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：. 0222=+ xyyx对于中心型曲线，写出对称中心的坐标； 对于线心型曲线，写出对称直线的方程。 解： 记11,2211,22T=，容易验证TT E= ，因此直角坐标变换*x xTyy= 是一个正交变换 在这个变换下，曲线方程变为22*(1 ) (1 )xy + + = 1) 1，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为 (0,0)2) 1 = 时，曲线方程为2*12y = ，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线为 ，即 *0y
14、 = yx=3) 10 ，曲线为椭圆，是中心型曲线，对称点为 (0,0)4) 0 = 时，曲线方程为22*0xy+ = ，是一个点，是中心型曲线，对称点为 (0,0)5) 01 时， 10,10,0 + 11 12 13 121 22 23 211 12 1123|nnnn nnnn nab ab ab abab ab ab abAabab abab ab ab ab =nullnullnullnullnullnullnullnullnullnn112nnnnRR11 12 13 121 22 23 21212 12111 10nRRnnn nn nnnn nn nn nnab ab ab a
15、bab ab ab abaaaa aaaa aa aa aa =nullnullnullnullnullnullnullnullnull(2) 若 ，则2n=111221212122| ( )( )0ababAaababab=，方程组 只有零解，其解空间维数为 0 0=AX若 ，则由(1) 知道3n= A的任意一个 3 级子式的行列式为 0，而 A的一个 2 级子式 的行列式为11 1221 22abababab2121()()aabb 0 ，从而 2rankA= 于是方程组 解空间的维数是 0=AX 2n ，取向量组12 2, ,.,n ，其中14 博士家园系列内部资料 12iiiinccc
16、=nullnull，212121,1,21,0,niniijbbjbbbbjcbbjni=其他， 1, 2,., 2in= 可知 ，其中12 22 , ,., nnCE = 2nE是 2n 阶单位矩阵， 是一个的矩阵，从而C2*( 2)n12 2( , ,., ) 2nrank n = 并且对任意的 1, 2,., 2in= ，有21 2 112112 21 12 21() ( 1)( )nni ni ni niikik i nikbb bb bb bbabca bbbbb bb bb bb = = + + + +=0 因此12 2, ,.,n 都属于方程组 0=AX 解空间，从而是方程组 解
17、空间的一组基 0=AX4（ 1）设数域 K 上 级矩阵，对任意正整数 ，求 n mmCC 是什么？ （2 ）用 表示数域)(KMnK 上所有 n级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为 K 上的线性空间。数域 K 上 级矩阵n1432121321aaaaaaaaaaaaAnnnnullnullnullnullnullnullnullnull= 称为循环矩阵。用 U 表示 K 上所有 级循环矩阵组成的集合。 n证明： U 是 的一个子空间，并求 U 的一个基和维数。 )(KMn证： 对任意的12312 1234 1nnaaa aaaa aA Uaaa a=nullnullnullnull
18、nullnullnullnull，以及 ，有kK,( 1,2,., )iiaK kaKi n =15 博士家园系列内部资料 因此123 1 2 312 1 1 2 1234 1 2 3 4 1nnnnna a a a ka ka ka kaa a a a ka ka ka kakA k Ua a a a ka ka ka ka=nullnullnullnullnullnullnullnullnull null null nullnull nullnullnulln 对任意的12312 1234 1nnnaaa aaaa aA Uaaa a=nullnullnullnullnullnullnul
19、lnull，和12312 1234 1nnnbbb bbbb bB Ubbb b= nullnullnullnullnullnullnullnull，有,ii iiaKbK abK+因 此123 123 11223312 1 12 1 1122 1 12 3 4 1 234 1 22 33 44 11nn nnnnnnaaa a bbb b ababab abaaa a bbb b ababab a bA B Uaaa a bbb b ababab ab + + += + = + +nullnull nullnullnull nullnullnullnullnullnull nullnulln
20、ullnullnull null null null null nullnullnull null可知 U 是 的一个子空间。 )(KMn记12312 (1234 1iii inin i i i niiii iccc cccc cCccc c=nullnullnullnullnullnull nullnull)，其中0,1,ijj icj i=， 1, 2,.,in= ， 对任意的12312 1234 1nnnaaa aaaa aA Uaaa a=nullnullnullnullnullnullnullnull1nkkk，有 A aC=，即 U 所有向量都能用向量组 线性表出 12( , ,.
21、, )nCC C设一组数 ，满足, 1,2,.,ikKi n=1nii nikC O=，亦即12312 1234 1nnnnkkk kkkk kOkkk k=nullnullnullnullnullnullnullnull可得 ，向量组 线性无关 0, 1,2,.,iki= n12( , ,., )nCC C综上向量组 是 U 的一组基 12( , ,., )nCC C16 博士家园系列内部资料 5（ 1）设实数域 R 上 级矩阵n H 的 元为),( ji11+ ji（ ） 。在实数域上 维线性空间1n nnR 中，对于 ，令nR, Hf =),( 。试问： 是不是 fnR 上的一个内积，写
22、出理由。 （2 ）设 A是 级正定矩阵（ ） ，且n 1nnR 是非零列向量。令 = AB ，求 B的最大特征值以及 B 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基 解： (1) f 是nR 上的一个内积，证明如下： 容易验证 是 fnR 上的一个双线性函数 对nR 中任意的非零向量12naaa = nullnull，11(,)1nnijijaafHij =+令 ，是11()niiigx ax=R 上的一个多项式函数，有 22110()nnijijijgx aax+=可得112211 11000() (,1nn nnijijijij ijaagxdx aax dx fij) += = =+ 若
23、 ，由于 在 0 上连续，则必有120() 0gxdx=2()gx 1，2() 0gx ， () 0gx则 ，即0, 1,2,.,iai= n 0 = ，与 是nR 中非零向量矛盾。所以 ，120() 0gxdx(,) 0f 所以 是 fnR 上的一个内积 (2) 由于 A正定， 0 ，可得0A= ， 0A ，1rankB rank= = ， 由 1rankB= 知方程组 0BX = 解空间 的维数为0W 1n ， 同时也是0W B 的属于 0特征值的特征子空间 由 0 ， 0A 和()BAAA AA A = =，知 是 B 的特征值，A 是 B 的属于特征值 的特征向量 17 博士家园系列内
24、部资料 设 B 的属于这个特征值的特征子空间为 W，由 0 ， ，所以00WW=00dim dim dim( )WW WW+=+n即 dim 1W ，而 0,AAW ， dim 1W= ， W的一组基为 A ，因此0dim 1 dim dimWWW= + =nB 没有其他特征值， 0 是 B 的唯一非零特征值，也是 B 最大的特征向量 6设 是数域 A R 上 n维线性空间 V 上的一个线性变换，用 I 表示 V 上的恒等变换，证明： nrankrank =+= )()(23AAIAIIA证明： 记32() 1 , () 1 ,() 1f xxgxxhxx= = =+x 其中 ，(),() 1
25、gx hx = () ()()f xgxhx= 因此 () () ()Kerf Kerg Kerh= AAA， () () 0Kerg Kerh =AA 于是 2() 0()() ()dim dim ( ) dim ( )() ()() ( )fKerf VV Kerg KerhV Kerg Kerhn n rankg n rankhn rank rank= = += += + +3AIAAAAAAIA IAA2005 年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答 1. 设 xxxxxxf sinsin1sin)(22= ，试求 和 . )(suplim xfx +)(inflim xfx +解
26、 : 22sin 1() sin sin (0,1 .sinxxfx x xxx=首先我们注意到. 在 的时候是单调增的 18 博士家园系列内部资料 22sin 1 sin.sinsisin 1 1,limsup ( ) 1.xxx xx xxxxx x xxfx+2, + =并且在 充分大的时候显然有所以易知在 时当然此上极限可以 令 2,2xk k=+这么一个子列得到 . 2222sin() . lim 0,sinsinlim inf 0, lim inf ( ) 0.sinxxxxfxxxxxfxxx+ +=对于 的下极限我们注意到而 所以有此下极限当然可以 令 (2 1) , .xk
27、k=+ +这么个子列得到 2. (1)设 在开区间 可微，且)(xf ),( ba )(xf 在 有界。证明 在 一致连续. ),( ba )(xf ),( ba证明: () (,) . () (,) .fx x ab M fx ab 设 在 时上界为 因为 在开区间 上可微 12,(,),x xab对于 由 存在,Lagrange中值定理12 1 2 1 2 1 2(, ), () () ()x xfxfxfxxMx=使得 x. 这显然就是12,.()(,)Lipschitz x x f x a b条件 所以由 任意性易证明 在 上一致收敛(2) 设 在开区间)(xf ),( ba )( +
28、=。显然这个函数在 0xy 的时候，有偏导20 博士家园系列内部资料 数存在 2222222222()(, )()()(, )()yxx xyfxyx yyy xfxyx y =+=+，而对于 0xy = 的时候，有 ，此式在原点也成立。 (, ) 0(, ) 0yxfxyfxy=对于任意方向极限，有2200cos sinlim ( cos , sin ) lim cos sinf =i。显然沿任意方向趋于原点。 此函数的方向极限都存在。最后，因为沿不同方向 趋向原点。不妨设， （0，），显然4有不同的极限 cos sin cos sin 与 。且其都不为 0。所以该函数在原点不连续。 5计算
29、 .其中Ldsx2L是球面 与平面1222=+ zyx 0=+ zyx 的交线。 解：首先，曲线 L 是球面 与平面1222=+ zyx 0=+ zyx 的交线。因为平面过原点，球面 中心为原点。 0=+ zyx 1222=+ zyx所以它们的交线是该球面上的极大圆。再由坐标的对称性。易知有 22LLL2x ds y ds z ds=。 因此有 2Lx ds=2221()3Lx yzd+s=13Lds =23。 6设函数列 满足下列条件： （ 1）)( xfnn ， 在 连续且有（ ） )(xfn, ba )()(1xfxfnn +, bax（2 ） 点点收敛于 上的连续函数 )( xfn,
30、ba )(xs证明： 在 上一致收敛于 )( xfn, ba )(xs证法 1：首先，因为对任意 00, () ()n 0x ab f x Sx有 。且有01() ()nn0f xfx+ ，所以，对于任意 ，有knknn000() ()3nSx f x ，当 00,x,x xx 00,x,x xx () ()nSx f x ,x ab ，有 () ()nSx f x ，对于任意 ，有一 nnx ，使得0() ()nn nfx Sx 又 nx有界，由 Bolzano-Weierstrass 定理，所以其必存在 收敛子列 knx 收敛于 ,ab 中某值0x 因为对任意 00, () ()n 0x
31、ab f x Sx有 。 且有01() ()nn0f xfx+ ，所以pkn ，当pkknn 时，有0000 0() () () ()3kkpnnSx f x Sx f x k，由 与()Sx1()kpnf x 连续性存在一0 ，当 00,x xxa 22 博士家园系列内部资料 当 时， knnK 0knxx0K1 11100 0 0() () () () () () () () () ()kkk kkk k k k kkp pppnnn nnn n n n nnSx f x Sx f x Sx Sx Sx f x f x f x +0 这与假设矛盾 所以在 ,ab上， 是一致收敛于 证毕 )
32、( xfn)(xs23 本试题解答由SCIbird提供 2006年北京大学研究生入学考试 高等代数与解析几何试题解答 说明: 本试题解答由SCIbird提供, 继续在博士家园论坛首发. 若有转载, 请注明转载自博士家园论坛. 未经本人许可, 禁止用于商业用途! 如果对本解答某些内容不是很清楚, 可参考一下蓝以中编著的高等代数简明教程和丘维声编著的高等代数. 这套证明写法上风格同08年北大高代解几试题解答, 我尽量写的详细一些, 在方法选择上起点比较低, 尽量采用比较容易理解的证明方法. 不用或少用那些看起来不是很显然的结论, 引用结论尽可能做到有理有据. 希望这套试题对促进大家的学习有所帮助.
33、 还是那句话, 一定要先做题,然后再看答案.否则这套题至少失去了一半的价值. 高等代数部分（100分） 1.(16分) (1) 设,A B分别是数域K上,snsm矩阵，叙述矩阵方程AXB=有解的充要条件，并且给予证明。 解: 方程AX B=有解的充分必要条件是: () (, )rA rAB= . 令1(, , )mB = “ , 其中k为列向量. 则矩阵方程AX B=有解 方程组12 ,kkAy k m=“有解. A的列向量组构成的向量组与(, )AB的列向量组构成的向量组等价. () (, )rA rAB= . 注: 方程有解的一个等价含义是可由列向量线性表示, 从而转化为等价向量组上来.
34、(2) 设A是数域K上sn列满秩矩阵，试问：方程nXAE=是否有解？有解，写出它的解集；无解，说明理由。 解:方程nXA E=有解. 理由: 因为A列满秩, 所以() ( )TrA rA n=. 又(,)TnrA E n= , 因此() (,)TTnrA rA E= ,从而TnAY E=有解,两边取转置可知方程nXA E=有解. 我个人觉得本题似乎考察的是:广义逆矩阵方面的知识, 如果大家对这部分知识不熟悉, 建议大家去看看丘维声老先生编著的. 矩阵方程AXA A=的解XA=一般称为A的广义逆矩阵. 广义逆是存在的, 对于本题因为A是列满秩的, 故由相抵标准型知,存在可逆矩阵,PQ满足nEPA
35、QO= , 则可以取(,)nAQEOP= . 此时X的所有解为: (),nsnXA ZEAA KZ=+ . 本试题解答由SCIbird提供 因为 11(,)nnnEAQEOPP QAEO= , 所以A是矩阵方程nAA E=的特解. 下面证明XA O=的全部通解为: (),nsnXZEAA ZK= . 首先, 由()()nZE AA A ZA A O=,知()nZE AA是方程的解. 其次, 任取XA O=的一个解0X , 则由 0000()nX E AA X X AA X= =, 取0ZX=即可. 由矩阵方程解的结构定理可知, (),nsnXZEAA ZK= (3) 设A是数域K上sn列满秩矩
36、阵，试问：对于数域K上任意sm矩阵B ,矩阵方程AXB=是否一定有解？当有解时，它有多少个解？求出它的解集。要求说明理由。 解: 不一定有解. 因为方程不一定满足条件() (, )rA rAB= . 当方程有解时, 同(2)取(,)nAQEOP= , 则方程组的全部解为 | ( ) ,nmnXX AB E A KAZ Z =+ 仿照(2)的证明过程可知, AB为AX B=的一个特解. 而()nEAAZ为AX O= 的全部通解. 注: 关于(2)(3)问我想多说几句, 在解诸如齐次方程AX O=时, 如果我们事先知道其通解形式, 则可以直接写出通解. 但我们不知道通解形式, 而要证明Y是AX O
37、=的全部通解, 那么我们需要做两件事情: 1). 证明Y确实是AX O=的解; 2). AX O=的任意解都能用Y表示. 前者为了说明Y是方程的解, 这是前提; 后者说明我们不会漏掉部分解, 即解是完备的. 需要提醒的是有些人可那会漏掉2), 而使得解答不完整. 2.(16分) (1) 设,A B分别是数域K上的,snns 矩阵，证明： ()()()nrank A ABA rank A rank E BA n=+. 证: 对分块矩阵做初等变换,得 nnnnAO A O AAAABAOO E BA BA E BA BA E BA E 因为矩阵的初等变换不改变矩阵的秩, 所以() ( ) ( )n
38、rA rE BA rA ABA n+= +. 本试题解答由SCIbird提供 移项得, ()()()nrank A ABA rank A rank E BA n=+. 注: 在处理有关矩阵秩的不等式或等式的问题中,分块矩阵和初等变换是常用的有效方法, 平时要多加练习. 另外本题顺便又带出一个结论: 矩阵方程AXA A=的解XA=一般称为A的广义逆矩阵. 则矩阵B是A的广义逆矩阵 () ( )nrA rE BA n+=. (2) 设,A B分别是实数域上n阶矩阵。证明：矩阵A与矩阵B的相似关系不随数域扩大而改变。 证: 显然实方阵,AB在实数域上相似, 则,AB在扩大数域上也相似. 下面证明反之
39、也成立. 因为任何数域为F都包含在复数域中, 以及复数域与实数域之间无中间数域. 所以我们只需要证明实方阵,AB复相似, 则实方阵,AB也一定实相似. 设实方阵,AB复相似, 即存在复矩阵T , 使得1TAT B= . 记TPiQ=+ , 其中,PQ均为实矩阵. 则有()()AP iQ P iQB+=+ . 对比等式两边的实部与虚部, 可知 ,AP PB AQ QB=-(1) 因为非零多项式() | |ft P tQ=+在复数域上只有有限个根, 所以必存在实数0t使得 00|PtQ+. 令0SPtQ=+ , 则S为可逆实矩阵. 由(1)式可得, 00 00)(AS A AP tPtQ AQPB
40、tQB PtQBSB+=+=+= 所以 1SAS B= , ,AB实相似. 注: 所谓相似或者标准型之类的东西是什么样的, 在什么意义下的. 一般取决于你是在什么数域上考虑问题, 也就是说与数域有关, 这一点大家学习时要多加注意. 这其中的关键多与其特征多项式根的分布有关, 有多少根在给定数域中, 根的分布变化也会影响标准型的. 3. (16分) (1) 设A是数域K上的n阶矩阵，证明：如果矩阵A的各阶顺序主子式都不为0，那么A可以分惟一的分解成A=BC, 其中B是主对角元都为1的下三角矩阵，C是上三角阵。 本题实际上是数值计算中常见的LU分解定理, 证明过程要利用线性方程组中的Gauss消元
41、法来实现矩阵的三角分解. 如果Gauss消元法能进行到底, 可设想最终化成的行简化阶梯矩阵就应该是一个上三角矩阵, 很可能就是C . 证:分解的存在性: 通过分析Gauss消元法,可以发现每做一次消元相当于左乘一个主对角本试题解答由SCIbird提供 元都为1的下三角矩阵kL ,如果Gauss消元法能进行到底, 相当于A左乘一系列主对角元都为1的下三角矩阵12,sLL L“ , 把这些下三角矩阵乘起来, 令21sLLBL= “仍是一个主对角元都为1的下三角矩阵. 记剩下的上三角矩阵记为C , 则我们实现了LU分解ABC= . 下面我们用数学归纳法证明: 如果矩阵A的各阶顺序主子式都不为0, 则
42、Gauss消元法可进行到底. 当1k =时,命题成立. 假设进行了1k 次Gauss消元,得到 UQAOT 或者 121kUQAL LLOT= “ 这里 U为1k 阶上三角矩阵, T为1()nk阶矩阵. Gauss消元法能否继续下去在于T的首元素11t是否为0. 如果110t ,则可进行第k次Gauss消元. 因为Gauss消元法不交换行, 及1|mL = . 所以A的第k个顺序主子式等于UQOT 的第k个顺序主子式, 即11|kDUt= . 由题中条件00,| |kDU, 所以110t . 故可进行第k次Gauss消元. 由数学归纳法原理可知Gauss消元法能进行到底.从而可实现题中要求的A
43、BC=分解. 分解的唯一性: 假设有11ABCBC= , 由A可逆知, 11BB CC= -(*) (*)左边为主对角线上都是1的下三角矩阵, 右边为上三角矩阵. 两者相等则有 1111nBB CC E=, 从而11,BBCC=, 唯一性得证. 注: 本题证明应该分为存在性和唯一性两部分.LU分解是数值计算方法中一种常见方法, 里面有一些高等代数里没有的东西,若有时间的话可以看看这方面的书,吸收一些新的数学思想. (2) 设A是数域K上的n阶可逆矩阵，试问：A是否可以分解成A=BC, 其中B是主对角元都为1的下三角矩阵，C是上三角阵？说明理由。 解: 不一定能实现. 反例如下: 设A是数域K上
44、的n阶可逆矩阵且满足110a = , 则A不能实现题目中要求的三角分解. 否则,设ABC=满足题目要求. 因为A是可逆的, B和C均为上三角矩阵 所以10 |iiniABCC c=, 知110c . 但是, 由矩阵乘法得到11 110ac=, 矛盾! 本试题解答由SCIbird提供 注: 当然你也可以构造一个具体例子, 来否定这个命题. 4.(10分) (1) 设A是实数域R上的n阶对称矩阵，它的特征多项式()f 的所有不同的复根为实数12,s . 把A的最小多项式()m 分解成R上不可约多项式的乘积。说明理由。 解: 12() ( ) ( )()sm = “ . 因为A是实数域上的n阶实对称
45、矩阵, 所以A一定能相似对角化, 故A的最小多项式无重根. 又特征多项式()f 的所有不同的复根为实数12,s , 因而A的最小多项式为 12() ( ) ( )()sm = “ , 其满足题目要求. (2) 设A是n阶实对称矩阵，令() A = , Rn 根据第(1)问中()m 的因式分解，把Rn分解成线性变换A的不变子空间的直和。说明理由。 解: 12nsVV V=“,其中0ker( ) |( ) nii iVI I = =AA 因为A=A , 所以线性变换A的特征值与矩阵A的特征值相同. 这里我们用到一个结论: 多项式,fgh满足() ()()fgh= , 且1(),()gh= . 则对于线性变换A , 有ker ( ) ker ( ) ker ( )fgh=AAA.
