1、 152 第 七 章 微 积 分 应 用 7.1 定积分的几何应用 1 平面图形的面积 定积分的应用 ， 关键是把问题写成 badxxf )( 的形式 ， 这时关键是把 )()( xdFdxxf = 的意义搞清楚 ， 这个观点称为微元法 。 比如要求以 ax = ， )( babx a 围成的面积 。 (1cos)fa q=+ += p qq022 )cos1(212 daS += p qqq022 )coscos21( da += p qqq02 )22cos1cos21( da 223 ap= 。 由参数方程 )()( )( ba = ttyytxx ，=)()()()(babayyxx
2、围成的封闭图形 ， 选点 x y 0 2a 154 )0,0( ， ),( yx ， ),( dyydxx + 围成的三角形作为微元 ， 其面积 )(21211110021 ydxxdydydxyxdyydxxyxdS =+= 。 所以 = babadttxtytytxydxxdyS )()()()(2121 。 y (x+ x,y+ y) (x,y) (0,0) x 例 4 求旋轮线=)cos1()sin(tayttax )20( p t 与 x 轴 围成的面积 。 解 = p20)()()()(21 dttxtytytxS =0)()(tyttx p20)()()()(21 dttxtyt
3、ytx =)cos1()sin(tayttax = pp 2022022 sin)sin(21)cos1(21 dttttadtta 23 ap= 。 2 体积 ， 弧长 ， 侧面积 A(x) a b x 设一物体位于平面 ax = 和 bx = 之间 )( ba a ， 0z 所围 成的立体的体积 。 z a O y x 解 两曲面都是绕 z 轴旋转体 ， 两曲面交线是一个圆 。 位于 az = 平面上 ， 由 =+=+azyxazyx23222222， 22 32 aazz =+ ， 22 )2()( aaz =+ ， 0z 得 az = 。 157 += aaa dzzaazdzV 3
4、220)3(2 pp )536(33= ap 。 例 7 求旋轮线=)cos1()sin(tayttax )20( p t 之弧长 。 解 )cos1()( tatx = ， taty sin)( = ， += p202222 sin)cos1( dttataS = p20)cos1(2 dtta adtta 82sin220= p 。 例 8 求星形线 （ 铜钱线 ） =taytax33sincos 的弧长 。 y O a x 解 考虑 20: pt ， ttatx sincos3)( 2= ， ttaty cossin3)( 2= 。 += 20 242242 cossin9sincos9
5、4pdtttattaS = 20sincos12ptdtta = 20sinsin12ptdta ata 6sin6 202 =p。 例 9 求椭圆=tbytaxsincos p20 t 周长 。 解 tatx sin)( = ， tbty cos)( = ， += 202222 cossin4pdttbtaS 158 = 20 2222cos14pdtta baa = 2022 cos14pe dtta 。 其中 221 baa =e 是椭圆的离心率 ， 它是 “ 椭圆积分 ” ， 不能用初等方法积出来 。 考虑 = q eq 0 22 cos1)( dttf ， 其反函数称为 “ 椭圆函数
6、 ” ， 在数论中具有基本的重要性 。 椭圆的面积 ： tax cos= ， tby sin= ， abdtttabydxxdyS ppp =+= 202220)sin(cos221 。 例 10 求旋轮线=)cos1()sin(tayttax )20( p t 绕 x 轴旋转所得旋轮体的侧表面积 解 dttads 2sin2= ， = pp 20 2sin2)cos1(2 dttataP = pp 2022sin)cos1(4 dttta = pp 20322sin8 dtta = pp032 sin16 udua = pp022 cos)cos1(16 udua 203312 364)co
7、s(cos16 auua pp p = 。 例 11 求旋转椭圆体的表面积 。 解 设椭圆体是由 12222=+ byax )( ba 绕 x 轴旋转而得 ， 这时 22222 xabby = ， xabyy22= 及 2442222222 )(1 xabxabbyyyyy +=+=+ 159 22222222 xaabxabaaab e= 。 其中 a ba22 =e 为椭圆的离心率 。 = aadxxaabP 2222 ep = a dxxaab02224 ep aaxaxaxab0)arcsin221(42222 eeep += )arcsin(2 eep abb += 。 如果此椭圆绕
8、 y 轴旋转 ， 则 += bbdxxxP 21 12p += bb dxxa babba 222222p bxb baxb baxb baxb bababba01ln1224222222422222223+ += p += b abababaa 22222ln2p 。 7.2 定积分的物理应用 1 曲率 设计铁路转弯时 ， 里外两轨要有一定高度差 ， 这由设计车速和曲率来决定 ， 所以计算 曲线曲率是很重要的一件工作 。 令 a 表示曲线斜率正切对应的角度 ， s 表弧长 ， 则曲率定义为 sks =a0lim 。 如果曲线由参数方程=)()(tyytxx 给出 ， dtdsdtdka= ，
9、 由 )( )(tx tytg =a ， )( )(tx tyarctg =a 160 及 22 )()( tytxdtds += ， 得 23)(122222 yxyxyxyxxyxydtdsdtdk+=+ + =a。 如果曲线由 )(xfy = 给出 ， 则 232 )1( yyk+= 。 如果曲线由极坐标 )(qrr = 给出 ， 则 232222)(2rrrrrrk+= 。 曲率的倒数 ， kR 1= ， 称为曲线在该点的曲率半径 ， 过该点与曲线有相同一阶 ， 二阶 导数的圆周 C 称为曲率圆 。 R M 2 质心 （ 重心 ） 平面简单曲线 =)()(tyytxx )( ba x
10、， 如果其上定义一个线密度 )(tr ， 则曲线 的质量公式 += bar dttytxtM 22 )()()( 。 曲线 对 y 轴和 x 轴的静力矩是 += bar dttytxtxtM y 22 )()()()( ， += bar dttytxtytM x 22 )()()()( 。 的质心 += bar dttytxtxtMMMx y 22 )()()()(1 ， += bar dttytxtytMMMy x 22 )()()()(1 。 特别地 ， 当曲线质量是均匀分布的 ， 不妨设 1)( =tr ， 则 161 = l xdslx01 ， = l ydsly 01 。 由最后一式
11、可得 = l ydsly022 pp 。 古鲁金定理 平面曲线绕此平面上不与其相交的轴旋转一周 ， 生成的旋转体侧面积等于此曲线的质心绕同一轴旋转所产生的圆周长乘以该曲线的弧长 。 y y=f (x) y=g(x) O x x+dx x 例 ： 求 )()( 222 RaRayx =+ 绕 x 轴转动所成圆环侧面积 。 aRRaS 2422 ppp = 现考虑平面图形的质心 。 质量微元 dxxgxfdM )()( = ， 关于 y 轴的静力矩微元 dxxgxfxdM y )()( = ， 关于 x 轴的静力矩微元 dxxgxfxgxfdM x )()()()(21 += dxxgxf )()
12、( 2221 = 。 所以平面图形质心的坐标为 ： = babaydxxgxfdxxgxfxMMx)()()()(； = babaxdxxgxfdxxgxfxMMy)()()()(21 22由上式 ， 我们得 = babadxxgxfdxxgxfy )()()()(2 22pp ， 即 VSy =p2 。 其中 S 是平面图形的面积 ， V 是该平面图形绕 x 轴旋转所得立体的体积 。 162 古鲁金定理 一平面图形绕与其不相交的轴 （ 可以是它的边界 ） 旋转所得立体的体积 等于该平面图形面积与重心绕轴旋转的周长的乘积 。 3 旋转惯量 质点 m 到定轴 u 的距离为 r ， 转动的角速度
13、w 为常数 ， 则质点动能 2222 212121 ww uImrmvE = 我们称 2mrI u = 为质点对 u 轴的转动惯量 。 例 求曲线 )(txx = ， )(tyy = 关于 y 轴及 x 轴的转动惯量 。 解 dsxdI y r2= )(trr = 为曲线密度 ， dsydI x r2= 。 += barr dttytxttxdsxI ly 22202 )()()()( ， += barr dttytxttydsyI lx 22202 )()()()( 。 静力矩计算中 ， 用到 badxxxf )( 型积分 ， 数学上我们称为一阶矩 ； 转动惯量计算中 ， 用到 badxxf
14、x )(2 型积分 ， 数学上我们称之为二阶矩 ； 一般地在数学上可定义 n 阶矩 ： ba n dxxfx )( 。 4 引力和功 两个质点 1m ， 2m ， 相距 r ， 则其间万有引力为 2 21rmmGF = 。 如果有一均匀细棒 ， 长 l2 ， 质量 M ， 在其延长线上离中心距离为 )( laa 处有一质点 A， 质量为单位 1， 则棒对它引力元 l 0 l a 2)(12xaGdFlMdx= ， = ll laGMdxxalGMF222)(2 。 力 )( xF 沿它作用方向运动 dx ， 作功为 FdxdW = ， 则从 a 到 b 作功 = badxxFW )( 。 如果
15、有三维物体 V ， 体密度为 ),( zyxr ， 则对其外单位质量质点引力kFjFiFF zyx += 为 +=Vx zzyyxxdxdydzxxzyxkF232020200)()()()(,(r ， 163 +=Vy zzyyxxdxdydzyyzyxkF232020200)()()()(,(r ， +=Vz zzyyxxdxdydzzzzyxkF232020200)()()()(,(r 。 我们有必要研究多元微积分学 。 7.3 定积分在经济学中的应用 例 1 ： 已知生产某商品 x 件时的边际收 入是 25100)( xxr = （ 元 / 件 ）。 试求生产此种商品 1000 件时总
16、收入和平均收入以及生产 1000 件到 2500 件时增加的收入和平均收入 。 解 ： = 100001000080000)25100()()1000( dxxdxxrR （ 元 ） 801000 )1000()1000( = RR （ 元 / 件 ） 45000)25100()1000()2500( 25001000= dxxRR （ 元 ） 3010002500 )1000()2500( = RR （ 元 / 件 ） 例 2 ： 设某产品的总成本 C （ 单位 ： 万元 ） 的边际 成本是产量 x （ 单位 ： 百台 ） 的函数 44)( xxC += 。 总收入 R （ 单位 ： 万元
17、） 的边际收入是产量 x 的函数 xxR = 9)( 。 （ 1 ） 求产量由 1 百台增加到 5 百台时总成本与总收入各增加了多少 ？ （ 2 ） 已知固定成本 1)0( =C 万元 ， 分别求出总成本 ， 总收入 ， 总利润与产量 x 的函数关系式 。 解 ： （ 1 ） 19)44()( 51=+= dxxxC （ 万元 ） 24)9(51= dxxR （ 万元 ） （ 2 ） += x dttCCxC0)()0()( 20 8141)44(1 xxdttx +=+= 总成本函数 。 20 219)9()( xxdttxR x = 总收入函数 。 1855)()()( 2 = xxxCx
18、RxL 总利润函数 。 又最大利润 ： 0)( = xL ， 4=x ， 0)4( k 时 ， Nyt=lim ; 当 00 时 ， +=ytlim ， 人口爆炸 ！ 7. 4 无穷小量与无穷大量之比较 定义 ： 设 )(xf ， )(xg 都是 )( 00 xU 上无穷小量 ， 且 0)( xg 。 1 ） 若 Axg xfxx= )()(lim0， A ， 0 ， 则称 )(xf ， )(xg 为同阶无穷小量 ， 若 1=A ， 称它们为等价无穷小量 ， 记作 )(xf )(xg （ 0xx ）。 2 ） 若 0)( )(lim0= xgxfxx， 则称 )(xf 是较 )(xg 的高阶无
19、穷小量 ， 记作 )()( xgoxf = （ 0xx ）。 3 ） 若 M ， 使得 |)(|)(| xgMxf ， )( 00 xUx ， 则记作 )()( xgOxf =（ 0xx ）。 由定义我们有 ： xsin x （ 0x ）， xcos1 221 x （ 0x ）， xx 1sinsin )(xO （ 0x ）。 类似的对无穷大量 ， 我们也有 定义 设 )(xf ， )(xg 都是 )( 00 xU 上无穷大量 ， 且 0)( xg 。 1 ） 若 Axg xfxx= )()(lim0， A ， 0 ， 则称 )(xf ， )(xg 为同阶无穷大量 ， 若 1=A ， 称它们为
20、等价无穷大量 ， 记作 )(xf )(xg （ 0xx ）。 165 2 ） 若 0)( )(lim0= xgxfxx， 则称 )(xf 是较 )(xg 的低阶无穷大 量 ， 记作 )()( xgoxf = （ 0xx ）。 3 ） 若 M 使得 |)(|)(| xgMxf ， )( 00 xUx ， 则记作 )()( xgOxf =（ 0xx ）。 由定义我们有 ： n 1+n （ +n ）， )( 2xox = （ +x ）， )(sin xOxx = （ +x ）。 当 0xx 时 ， 我们称与 kxx )( 0 同阶的无穷小量为 k 阶无穷小 ； 当 +x 时 ， 我们称与 kx1 同
21、阶的无穷小量为 k 阶无穷小 。 类似的可以定义 k 阶无穷大量 。 关于 o 与 O的运算 ， 我们有如下三原则 ： 1 ） )()()( xgoxgoxgo = （ 0xx ）， 2 ） )()()()( 2121 xgxgoxgoxgO = （ 0xx ）， 3 ） )()( xgoxgOo = （ 0xx ）， 4 ） )()( xgoxgoO = （ 0xx ）。 注 这里的等式与通常等式意义不同 ， 它只表明极限运算的性质 ， 即从左边推出右边 ，反之不成立 。 1 ） 的证明 令 )()( xgox =a ， )()( xgox =b ，（ 0xx ）， 即 0)( )(lim0
22、= xgxxxa ， 0)()(lim0= xgxxxb 。 则 0)( )(lim)( )(lim)( )()(lim000= xgxxgxxgxxxxxxxxbaba ， 即 )()()( xgoxx = ba （ 0xx ）。 2 ） 的证明 令 )()( 1 xgOx =a ， )()( 2 xgox =b ，（ 0xx ）， 即 |)(|)(| 1 xgMx a ， 0)( )(lim20= xgxxxb 166 则 0)()( )()(lim210= xgxgxxxxba ， 即 )()()()(21 xgxgoxx = ba ， （ 0xx ）。 3 ） 的证明 令 )()( x
23、gOx =a ， )()( xox ab = ，（ 0xx ）， 即 |)(|)(| xgMx a ， 0)( )(lim0= xxxx ab 。 则 0)()( )()(lim)( )(lim00= xxgxxxgxxxxx abab ， 即 )()( xgox =b （0xx ）。 4 ） 的证明 类似于 3 ）， 省略 。 例 当 0x 时 ， 求 )cos(sin1 x 的等价无穷小量 。 解 )(21cos1 22 xoxx += )(sin)(sin21)cos(sin1 22 xoxx += )()(21 22 xOoxox += )()()()(21 22 xoxoxoxoxx
24、 += )(21 22 xox += 所以 )cos(sin1 x 221 x 。 7. 5 Taylor 公式 1. 积分余项的 Taylor 公式 我们已经得到积分余项的 Taylor 公式 ： ),()( 001 hxhxCxf n + + ， 则 =+=nknkkxRxxk xfxf000)()()(! )()( 其中 = +xxnnn dttxtfnxR0)(!1)( )1( ， hxx 时 )( 0xf 为严格极小值 。 证 Fermat 定理说 )( 0xf 是极值 ， 必有 0)( 0 = xf ， 本定理则给出判定极值点的充分条件 ， 由 Taylor 公式 )()(!2 )
25、()()()( 20200000 xxoxxxfxxxfxfxf += 174 2000 )()1(2 )()( xxoxfxf += 。 当 0xx 时 ， )1(o 为无穷小量 ， ),0(1 dd ， 使得当 );( 100 dxUx 时 ， )1(2 )( 0 oxf +与 )( 0xf 同号 ， 故当 )( 0xf 0 时 ， )()( 0xfxf ， );( 100 dxUx ， 即 )( 0xf 为严格极小值 ， 当 )( 0xf 0x 时严格不等式成立 。 先证 xx x 时 ， 0)( xf ， 所以 )(xf 在 ),0 + 严格上升 ， 故 0)0()( = fxf ，
26、即xx x 时 ， 110 + ， 即 )1ln(1 xxx + xx ， )11ln(1 xxxx + ， 也得 )1ln(1 xxx + 表明这三角形是正旋的 ， 即 )(xf 为凸函数 ； 0h ， 使 hx 1 ， ),(2 bahx + 。 由凸性有 h xfhxfxx xfxfh hxfxf )()()()()()( 22121211 + ， 令 0h ， 得 )()()()( 212121 xfxxxfxfxf 。 若 )(xf 严格凸 ， 在 ),( 21 xx 中任取一点 x ， 这时有 it ， 11=niit ， 则有 )()()()( 221111 nnnn xftxf
27、txftxtxtf LL + 。 )(xf 严格凸 ， ix ),2,1( ni L= 不全相等 ， 则上式严格不等号成立 。 证 2=n ， 这是凸函数定义 。 设 kn = 成立 ， 要证 1+= kn 也成立 ， 设 0it ， 1,2,1 += ki L ， 111=+=kiit 。 取 11 +=kii ttl ， ki ,2,1 L= ， 有 )( 112211 + kkkk xtxtxtxtf L )(1( 1122111 + += kkkkk xtxxxtf lll L )()()1( 1122111 + + kkkkk xftxxxft lll L )()()()()(1(
28、1122111 + + kkkkk xftxfxfxft lll L )()()()( 112211 += kkkk xftxftxftxft L 。 )(xf 严格凸时 ， )1,2,1( += kixi L 不全相等 ， 分两种情况 ， kxxx , 21 L 不全相等 ， 由归纳法假设 ， 可得严格不等号成立 ； kxxx , 21 L 相等 ， 但不等于 1+kx ， 则12211 + kkk xxxx lll L ， 严格不等号也成立 。 例 3 设 0ia ，（ ni ,2,1 L= ） 不全相等 ， 证明当 0x 时 0lnlnln 1111 +naaaaaaaax xnxxnx
29、nxnx LLL 。 证 要证的不等式等价于 n aan aaaanaanxnxxnxxnxnxx + LLL 1111 lnln1ln1 ， 178 令 xxxf ln)( = ， 1ln)( += xxf ， 01)( = xxf )0( x ， 所以 )(xf 是 ),0( + 上严格凸函数 ， 又 xia ),2,1( ni L= 不全相等 ， 有 )(1)(1 11 xnxxnxafnafnn aaf +xf ， 得 0x 时 ， 0)( xf 。 故 )(xf 在实轴上严格递增 。 注意 naanf111)1( L+= ， 称为 ),( 21 naaa L 的调和平均 ， n na
30、aaf L21)0( = 称为 ),( 21 naaa L 的几何平均 ， n aaaf nL+= 21)1( 称为 ),( 21 naaa L 的算术平均 ， ),min()( 21 naaaf L= ， ),max()( 21 naaaf L=+ 。 我们有 )()1()0()1()( +ia ， 0ib ， ni ,2,1 L= 。 证明 qniqipnipiniii baba11111 =， 其中 ix ， 0it ，11=niit ， 取= nipipiiaat1， piqii abx = ， 代入 ， 得 qnipiqqqnipinnabbababa11111111 )(+=LL
31、即 qniqipnipiniii baba11111 =。 4 拐点 定义 函数 )(xf 在 );( 0 dxU 上连续 ， 如果它在 0x 的左右侧凹凸性相反 ， 称 0x 为一个 拐点 。 定理 6 如果 0x 是 )(xf 的拐点 ， )( 0xf 存在 ， 则 0)( 0 = xf 。 证 )( 0xf 存在表明 )( xf 在 0x 附近存在 ， )(xf 在 0x 的左右凹凸性相反 ， 表明 )( xf 在 0x 的左右升降性相反 ， 即 0x 是 )( xf 一个极值点 ， 由 Fermat 定理 ， 0)( 0 = xf 。 定理 7 如果 )(xf 在 );( 0 dxU
32、二阶可导 ， 0)( 0 = xf 且 )( 0xf 存在不为零 ， 则 0x 是)(xf 拐点 。 证 对 )(xf 用 Taylor 公式 ， 。)(1()( )()()()(000000xxoxfxxoxxxfxfxf+=+= 所以 dd 1 ， 使得当 );( 10 dxUx 时 ， )1()( 0 oxf + 与 )( 0xf 有相同符号 ， 从而 )(xf 在 0x 左右符号相反 ， 即 )(xf 在 0x 左右凸凹性相反 ， 所以 0x 是拐点 。 5 函数作图 180 计算机作图是 , ba 把分得充分细 ， 在每个 ix 点上计算 )( ixf ， 描点 )(,( ii xf
33、x ， 当分辨率达到一定程度时 ， 我们就看见 )(xfy = 的图形 ， 本书中图全部是这样做出来的 。 作出图形后我们可以 直观地研究函数各种性质 。 手工作图不能这样 ， 计算量太大 。 反过来我们先把函数各种性质尽可能的搞清楚 ， 然后再作出草图 ， 具体步骤如下 ： 1 ） 求出函数的定义域 ； 2 ） 研究函数的有界性 ， 奇偶性 ， 周期性 ； 3 ） 解方程 0)( = xf ， 列表求出函数升降区间和极值点 ； 4 ） 解方程 0)( = xf ， 列表求出函数的凸凹区间和拐点 ； 5 ） 求出函数的斜渐近线与垂直渐近线 ； 6 ） 重要点上 （ 如 0=x 点 ） 函数值
34、。 例 1 用计算机作 2xey = 的图形 ， 并研究它 的奇偶性 ， 升降性和凸凹性 。 解 2xey = 定义域为 ),( + ， 且为偶函数 ， 它在概率上很重要 。 物理上做个实 验 ， 立着的平面上放一漏斗向下漏小绿豆 ， 则小绿豆在下面堆成一堆 ， 边缘曲线即是2xey = 。 由于 0lim 2 =xex， 所以 x 轴为一水平渐近线 ， 02 2 = xxey ， 其解为 0=x 。 x )0,( 0 ),0( + y + 0 - y 1 极大 0)12(2 22 = xexy ， 解为 21=x 。 181 x )21,0( 21 ),21( + y - 0 + y 6.0
35、 拐点 例 2 描绘 23)1()1()(+=xxxf 的草图 。 解 除 1=x 外 ， )(xf 在实轴上都有意义 。 =)(lim1xfx， 因此 1=x 是垂直 渐近线 。 又 1)(lim = xxfx， 5)(lim =xxfx， 所以 5= xy 是另一条渐近线 ， 斜的 。 0)1( =f 。 32)1()5()1()(+=xxxxf ， 0)1( =f ， 0)5( =f 。 4)1( )1(24)( + = x xxf ， 0)1( =f 。 x )5,( 5 )1,5( )1,1( 1 ),1( + y + 0 - + 0 + y - - - - 0 + y 极大 拐点 y -1 0 5 x y=x-5 -5 习题 ：
