1、2016 年宁波市五校联考数学试卷数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分满分 150 分， 考试时间 120 分钟参考公式：球的表面积公式:S = 4R2， 球的体积公式：V= R3 ， 其中 R 表示球的半径；4柱体的体积公式: V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高；锥体的体积公式：V= Sh ，其中 S 表示锥体的底面积， h 表示棱锥的高；31台体的体积公式: 其中 S1，S 2 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的)2(h高一、选择题：(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，满分 40 分，每小题只有一个是正确的，请选择其中你认为最正确的一个)1某
2、几何体的三视图如图所示，则在该几何体中，直角三角形的个数为( )A1 B2 C3 D4 2已知函数 ，则( ) 1()0xD为 有 理 数为 无 理 数A ， 是 的一个周期；x)B ，是 的一个周期；()1(xC ，是 的一个周期；0Dx)D ， 的最小正周期不存在()(x3已知 为单位向量， ，则 在 的投影为( ),ab|2|ababA B CD 16363234 已知函数 ，数列 的通项公式是 ， ,那么“函数()yfxna()nafN正视图 侧视图2 2 1俯视图书图1 1（第 1 题图）图8ABCDEFGH在 上单调递增”是“ 数列是递增数列的( )()yfx1,)naA充分不必要
3、条件； B必要不充分条件；C充要条件； D既不充分也不必要条件5设整数 满足约束条件 ， ，则 231xy取值范围是（ ）,xy0854xyA 2,6 B 3,1 C D ,0,6 设 ，则( )140)2xA在这四个数中至少存在两个数 ，满足 ；,xy1sin()2xyB 在这四个数中至少存在两个数 ，满足 ；, 3coC在四个数中至多存在两个数 ，满足 ；,xytan()xyD在这四个数中至多存在两个数 ，满足 , 3si()7过 抛物线上一点 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线相交于2:8yx(2,4)P、 两点，则直线 的斜率是（ ）ABABA B C D138如图，在各棱长均为 2
4、 的正三棱锥 中，平面 与棱 、 、 、 分别相交于点 、 、 、 ，DEFG则四边形 的周长的最小值是 ( ) EFGHA1 B 2 C3 D4二、填空题：(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分)9设全集 ，则2 2|0,|,|3UxRxAxyBxy， 。AB()UB10已知数列 中， ，则数列 的第 2 项是 nx10,21log()nnxnx所有项和 T11已知双曲线的中心在原点，对称轴在坐标轴上，离心率为 ，且经过点 ，则(,1)P该双曲线的标准方程是 ；渐近线方程是 12函数 在 内的一条对称轴方程是 ，2()cos()13fxx0,在 内单调递增
5、区间是 0,13已知函数 ，若函数 有三个不同的零点，2()4xmfx()gxf则实数 的取值范围是 m14已知点 是正方体 表面上一动点，且满足 ，设P1ABCD|2|PAB与平面 所成的角为 ，则 的最大值是 1D15正三棱锥 的每一条棱长均为，若 ，O(0,1)OPxAyBzOCxyz且满足 ，则动点 的轨迹所围成的区域的体积是 2xyz三、解答题：（本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）16、 （本题满分 14 分）在 中， 为边 上一点， ，已知 ， ，ABCDABDC4B1C(1) 若 ，求角 的大小；63(2)若 的面积为 ，求边 的长117（
6、本题满分 15 分）在等腰梯形 中， ， ， ， 是 的中点，ABCD/B12ADC60BNBC将 绕 旋转 ，得到梯形90(1)求证 平面 ；/N(2)求二面角 的余弦值18 （本题满分 15 分）已知函数 ， 2()xfa(1)若 ，试确定 在 上单调性；并给出证明1a(f0,1)(2)当 时，问是否存在一个常数 ，使得对于任意给定的正数 ，总存1,()axc在实数 G，使得当 时，有 |()|fx19 （本题满分 15 分）已知 分别是椭圆 ： 的上下焦点，其中 为抛物线 :12,F1C21yxab(0)1F2C的焦点，点 是 与 在第二象限的交点，且 4xyM12 15|3M(1)求椭
7、圆 的标准方程；1(2)与圆 相切的直线 与椭22()xy:()0lykxt圆相交于 两点，若椭圆上存在一点 满足,ABP，求实数 的范围OP20 （本题满分 15 分）已知数列 满足 且na132，13(,)2n Nn(1)求数列 的通项公式；na(2)求证：当 时， 3121.6na2016 年宁波市五校联考数学试卷数学（理科）试题参考答案一、选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，满分 40 分，每小题只有一个是正确的，请选择其中你认为最正确的一个)1某几何体的三视图如图所示，则在该几何体中，直角三角形的个数为( D )侧视图（第 1 题图）正视图22 1俯视图书图书室图书室图1
8、18642246815105 51015A 1 B2 C 3 D4 2已知函数 ，则( B ) 1()0xD为 有 理 数为 无 理 数A ， 是 的一个周期；x)B ，是 的一个周期；()1(xC ，是 的一个周期；0Dx)D ， 的最小正周期不存在()(x3已知 为单位向量， ，则 在 的投影为( C ),ab|2|ababA B C D16363234 已知函数 ，数列 的通项公式是 ， ，那么“函数()yfxna()nafN在 上单调递增”是“ 数列是递增数列的( A )()yfx1,nA充分不必要条件； B必要不充分条件；C充要条件； D既不充分也不必要条件5设整数 满足约束条件，
9、则 231xy取值范围是（C ）,xy0854xyA 2,6 B 3,1 C D 3,0,解：，可行域内的整数点如图所示，目标函数在点 处取到最小xyyx (,3)值 ，在点 处取到最大值 ，所以选 C13(,7)86 设 ，则( B )1234,0,)xA在这四个数中至少存在两个数 ，满足 ；,xysin()2xyB 在这四个数中至少存在两个数 ，满足 ；, 3co图8ABCDEFGHC在这四个数中至多存在两个数 ，满足 ；,xy3tan()xyD在这四个数中至多存在两个数 ，满足 ,si()解: 把区间 三等分，每个区间的长度为 ，于是由 知至少有两(0,)261234,(0,)x个数在同
10、一区间内，即存在 在同区间内这两个数的差的绝对值小于 ，即 ，,xy 6|6xy所以选 B7如图，过 抛物线上一点 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线2:8C(2,4)P相交于 、 两点，则直线 的斜率是（ B ）AAA B C D13解：选 B，设 ， 代12(,)(,)xy:(2)4ykx入 得：24y于是830kk1364yk得 ，同理164y22121128ABykxy8如图，在棱长为 2 的正四面体 中，平面 与棱 、 、 、 分别ABCDBCB相交于点 、 、 、 ，则四边形 的周长的最小值是( ) EFGHEFGA1 B 2 C3 D4解：选 D， 如图所示，周长最小，等于 4
11、 二、填空题：(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分)9设全集 ，则2 2|340,|,|3UxRxAxyBxyAB()UCB|13x|2x864224615105 51015图14D1 C1CB1BDA1AP10已知数列 中， ，则数列 的第 2 项是 nx10,21log()nnxnx所有项和 T3， 13 解: ，共有 3 项，所有项和为 131230,xx11已知双曲线的中心在原点，对称轴在坐标轴上，离心率为 ，且经过点 ，则2(2,1)P该双曲线的标准方程是 ；渐近线方程是 23xy0xy12函数 在 内的一条对称轴方程是 ，2()cos()13f
12、x0,在 内单调递增区间是 0,2()cs()cos(2)6fxxx一条对称轴方程可以是 或 中的一条，递增区间51251,213已知函数 ，若函数()4xmfx有三个不同的零点，则实数 的取值范围是 ()gxf1,214已知点 是正方体 表面上一动点，且满足P1ABCD，设 与平面 所成的角为 ，则 的最大值|A1 是 解: ，如图，建立坐标系，设正方体的棱长为 ，则42的轨迹是以点 为圆心，以 为半径的球面与正方体的PQ43交线，即如图所示的圆弧 ， ， ，要使EMGPFN与平面 所成的最大，只要 圆弧 上，且1DABCE在 上， 的最小值为P0423Q从而 的最大值为， 的最大值为 ta
13、n4COGAHFEB15正三棱锥 的各棱长均为，若OABC，且满足(0,1)Pxyzxyz，则动点 的轨迹所围成的区域的体积是 12P解：动点 的轨迹所围成的区域是介于平面 与平面ABC之间的部分， 1sin6023324AOBAVOBhS三、解答题：（本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）16、 （本题满分 14 分）在 中， 为边 上一点， ，已知 ，ABCDABDC4B1C(1) 若 ，求角 的大小；63(2) 若 的面积为 ，求边 的长1解:( 1）在 中，由正弦定理得BCD ,sinsiin4BCDA则 ，则 ，613sinsi4B3si2B所以
14、或 ，3DC3 5 分又 ，所以 或 A6A 7 分(2) 由已知得 ，即 得， 1BCDS 1sin26B23BD 9 分又由余弦定理得 得 ，22cosDCBCBDA53 12 分又 ，所以 A 2 14 分17（本题满分 15 分）在等腰梯形 中，BCD， ， ， 是 的中点，将/A1260ABCNB绕 旋转 ，得到梯形90D(1)求证 平面 ；/N(2)求二面角 的余弦值（1 ）证明 平面/,/BCAA同理 平面D又 平面 平面/平面NCB平面 A 6 分（2 ） 在等腰梯形 中， ， ， ， 是 的中D/BC12AD0BCNB点，得 ACB又平面 平面 且 ， 平面于是 ， ， 8
15、分如图建立空间直角坐标系，设 ，则 ，1A(0,) ， ， ，(1,0)B(,30)C(,3),2N于是 ， ；,设平面 的法向量为 ，则 即 取 ，N(,)nxyz0nBCA30xzy1z， ，所以 ，3x1y3,18642246815105 51015 10 分因为 平面 ，平面 平面 ，又易知四边形 是菱形，所以ACBCANBABND，平面 平面 ， 平面 ，设 ，则BDNDC O交点 为 的中点，所以平面 的法向量为 ，O 3(,0)4O 12 分所以 ，由图知二面角 为钝角，所以二面角5cos,|nBOAACN的余弦为 ACN5 15 分18 (本题满分 15 分）已知函数 ， 2)()xfa(1)若 ，试确定 在 上单调性；并给出证明1af(0,1(2)当 时，问是否存在一个常数 ，使得对于任意给定的正数 ，总存在实,()xc数 G，使得当 时，有 |()|fx解：任取 12,(0,)x12121212212()()()()()xaxxffaa 2 分因为 ， ，所以a12,(0,)x121121121122() ()0axxx1fxf函数在 上单调递增(0,) 7 分(2)存在常数 ，1c
