1、2016 届浙江省宁波市“十校”高三联考数学（理）试题一、选择题1设 ，则“ ”是“ ”（ ）aR1aA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】试题分析： ，故是必要不充分条11001aa件，故选 B【考点】1.解不等式；2.充分必要条件2已知集合 ， ，则集合 且2|1Mx|3,xNy|xM为 xN（ ）A. B C D(0,34,34,0)4,0【答案】D.【解析】试题分析：由题意得， ， ，而所求集合即为,M(,3N，故选 D4,0RMCN【考点】1.函数的性质；2.集合的关系3如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直
2、角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A B. C. D. 2102313【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，该多面体为如下几何体，最长的棱长为，故选 C843C【考点】空间几何体三视图4已知抛物线 ，过焦点 的直线 交抛物线于 ， 两点（点 在第一象限）24xyFlAB，若直线 的倾斜角为 ，则 等于（ ）l30|ABA B C D352232【答案】A.【解析】试题分析：根据抛物线的性质可得， ，故选 A1|cos603AFB【考点】抛物线的标准方程及其性质5已知命题 ：函数 的最小正周期为 ；命题 ：若函数p2()|cos1|fxq为奇函数，则
3、关于 对称，则下列命题是真命题的是（ ）(2)fx(,0)A B C Dqq()p()p【答案】D.【解析】试题分析： ： ，周期为 ，故 是假命题； ：p()|cos2|fxq的图象为 的图象向右平移 2 个单位得到，故 的图象关于 对(2)fx ()fx(2,0)称，故 是真命题， 是真命题，故选 Bqq【考点】1.函数的性质；2.复合命题判断6设 是公差为 的无穷等差数列 的前 项和，则下列命题错误的是（ nS(0)dna）A若 ，则数列 有最大项0nSB若数列 有最大项，则n0dC若数列 是递增数列，则对任意 ，均有nS*nN0nSD若对任意 ，均有 ，则数列 是递增数列*N0nS【答
4、案】C.【解析】试题分析：由 可知 A，B 正确；C：21 1()()ndana递增 对任意 恒成立， ，故无法得到 故 C 错nS1nS*00nS误；D：条件等价于 ， ，故 递增，D 正确；故选 C0d1nS【考点】等差数列的前 项和7已知 为三角形 内一点，且满足 ，若 的OABC(1)0OABOAB面积与 的面积比值为 ，则 的值为 （ ）13A. B. C. D. 3221312【答案】D.【解析】试题分析：由题意得， ，故选 A3OABCS【考点】平面向量的线性运算8已知函数 ， ， ，若24()(0)1xfx2(0)gxbxbR图象上存在 ， 两个不同的点与 图象上 ， 两点关于
5、 y轴对称，则()fxABAB的取值范围为（ ）bA B C D(425,)(425,)(425,1)(425,1)【答案】D.【解析】试题分析：设 函数图象上任一点 ，其关于 轴的对称点()gx2(,)xby为 ，2(,xb由题意可知方程 在22 24(1)()0xxx上有两个不等实根， ，即实(0,)2()8()0104251()bb数 的取值范围是 ，故选 Db(425,)【考点】函数与方程二、填空题9已知圆 ，则圆心坐标为 ；此圆中过原点的弦2:350Mxyy最短时，该弦所在的直线方程为 . 【答案】 ， . (1,3)【解析】试题分析：将圆的一般方程化为标准方程： ，故圆22(1)(
6、3)xy心坐标为 ，当弦长最短时，圆心与原点的连线与弦所在直线垂直，故(,)，直线方程是 ，故填： ，133kk30xy(1,3).0xy【考点】圆的标准方程.10已 知 单 调 递 减 的 等 比 数 列 满 足 ： ， 且 是 ， 的 等 差na2348a32a4中 项 ，则公比 ，通项公式为 . q【答案】 ， . 126()n【解析】试题分析：由题意得， ，324333()(2)8aaa 或 （舍） ，通项公式 ，2481020aq 631()2nnq故填： ， .16()n【考点】等比数列的通项公式及其运算11 已知函数 ， ，则函数 的最小值为 21()3sicosfxxxR()f
7、x， 函数 的递增区间为 . f【答案】 ， ， . 2,63kkZ【解析】试题分析：，故211cos2()3sincossinin()16xfxx x最小值是 ，令 ，2663kkkk，故单调递增区间是 ， ，故填： ，kZ,3Z2， .,63kZ【考点】1.三角恒等变形；2.三角函数的性质.12 已知实数 ， ，且点 在不等式组 表示的平面区域内，则mn(1,)21mxny的取值范围为 ， 的取值范围为 . 2n2【答案】 ， . 3,41,【解析】试题分析：由题意得， ，画出不等式所表示的平面区域，作直线21mn： ，平移 ，从而可知当 ， 时， ，当l20mnlnmin3(2)， 时，
8、 ，故 的取值范围是 ，而 的几max(2)4n2,42何意义为点 与原点距离的平方，故取值范围是 ，故填： ， .,) 1,1,【考点】线性规划.13已知 ， ，且有 ， ，则 . x(0,)2ysin6sixytan3txycosx【答案】 . 1【解析】试题分析： ，2sin6sixy，23tan3t3cos2scocoxy yxx ，故22222 1sisinssx填： .1【考点】同角三角函数基本关系.14已知双曲线 的左、右焦点分别是 ， ，过 的直线21(0,)xyab1F2交双曲线的右支于 ， 两点，若 ，且 ，则该双曲线PQ12|PF223|PQ的离心率为 . 【答案】 75
9、【解析】试题分析：由双曲线的性质可知， ， ，1|2c2|Fca， ，2|3QFca1|3Qca 22222214()45()(3)os 5170caP caca ，故填： .7()5705cae【考点】双曲线的标准方程及其性质.15如图，正四面体 的棱 在平面 上， 为棱 的中点.当正四面体ABCDEBC绕 旋转时，直线 与平面 所成最大角的正弦值为 . ABCDE【答案】 . 36【解析】试题分析：不妨设正四面体棱长为 ，取 中点 ，连 ， ，从而2CDFAE即为直线 与 所成角的最大值，在 中，AEFAE， ，故填： .31cos62 23sin1()6F36【考点】立体几何中的最值问题
10、.三、解答题16在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且向量ABCCabc与向量 共线.(54,)macb(cos,)nB（1）求 ；os（2）若 ， ， ，且 ，求 的长度.05a2AD【答案】 （1） ；（2） .4193【解析】试题分析：（1）根据条件中的向量共线得到 ， ， 满足的一个式子，BC再进行三角恒等变形即可求解；（2）将已知条件中的式子变形，两边平方利用余弦定理求解.试题解析：（1） 与 共线，(45,)macb(cos,)n，54cosinsiaCACbB ，insB，s()si5ico ， ；（2） ， ， ，且 ，i0A4co10b5ca4cos5B ，即 ，解得
11、 或 （舍） ，2saB42a 3a ， ，DC13AC2219BDACAC，将 和 代入得： ，2142ccos9a3a5c209B .0=3BD【考点】1.三角恒等变形；2.正余弦定理解三角形17如图，三棱柱 中， ， 分别为 和 的中点，1ABCDM1CAB，侧面 为菱形且 ， ， 11A160BA2D1C（1）证明：直线 平面 ；/MDABC（2）求二面角 的余弦值1【答案】 （1）详见解析；（2） .4【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面 法向量 ，证明ABCm即可；（2）求出两个平面的法向量，利用空间向量的数量积即可求解.MDm试题解析： ，且 为中点， ， 11A
12、CD12D，15C又 ， ， ， ，又 ，B12BA1CB1AB平面 ，1A取 中点 ，则 ，即 ， ， 两两互相垂直，1F1F1以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系如图， B1BCxyz ， ， ， ， ， ，1(2,0)(,)(,30)A1(,30)1(2,)C(,01)D，3,M（1）设平面 的法向量为 ，则 ，ABC(,)mxyz30BAxy，取 ， ，0mz(3,101(,)2MD，32MD ，又 平面 ， 直线 平面 ；（2）设平面ABC/ABC的法向量为 ， ， ，1AC1(,)nxyz(1,3)1(,0)， ， 取 ， 又由（1）知平1130mACxyz
13、 10mAx(,3)n面 的法向量为 ，设二面角 为 ， B(,)1BCA 二面角 为锐角， ，二面角1BCcos|24mn的余弦值为 1AC4【考点】空间向量解立体几何题18对于函数 ，若存在区间 ，使得 ，()fx,()Amn|(),yfxA则称函数 为“可等域函数” ，区间 为函数 的一个“可等域区间” ，已知函fx数 .2()(,)fxaxbR（1）若 ， ， 是“可等域函数” ，求函数 的“可等域区01|(|gfx()gx间” ；（2）若区间 为 的“可等域区间” ，求 ， 的值.,a()f ab【答案】 （1） ， ；（2） 或 .0,31ab3+529【解析】试题分析：（1）对
14、， 的取值情况分类讨论，利用二次函数的性质可建立mn相关方程组，从而求解；（2）根据对称轴的位置对 ， 的取值情况分类讨论，建立ab相关方程组，从而求解.试题解析：（1） ， ， 是“可等域函数” ，0b1a2()|gx， ，结合图象，由 得22()|=()|gxx0n()gx， ， ，函数 的“可等域区间”为 ， ，03,1,3当 时， ，不符合要求；12mn()1gx（2） ，区间 为 的“可等域222()()fxaxbba1,a()fx区间， 即10当 时，则 得 ；当 时，则0()1f22无解；()1fa当 时，则 得 . 2a()1fa3+529b【考点】1.二次函数的性质；2.分类
15、讨论的数学思想19已知椭圆 的左右顶点 ， ，椭圆上不同于 ，2:1(0)xyEab1A21A的点 ， ， 两直线的斜率之积为 ， 面积最大值为 .2AP12A4912P6（1）求椭圆 的方程；E（2）若椭圆 的所有弦都不能被直线 垂直平分，求 的取值范围:(1)lykxk【答案】 （1） ；（2）2194xy,2,【解析】试题分析：（1）根据题意可列出关于 ， ， 的方程，从而求解；（2）abc联立直线 与椭圆的方程，首先求得能够垂直平分时 的取值范围，再取补集即可CDk求解.试题解析：（1）由已知得 ， ， ， , 两直线的斜1(,0)Aa2(,)(,)Pxy1A2P率之积为 ，49 ，又 的面积最大值为 ，12249APybkxa1226ab
