1、浙江省慈溪市慈溪中学 2016 届高三上学期期中考试理数试题一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 已知全集 ，集合 ， ，那么 =（ ）UZ1,2A1,234BU()UCABIA B C D3x3,4【答案】D【解析】试题分析： ， ， 或 或 或 ，1,2A1,234B,B2,1,34,2 ，故选 D()3,4UCI【考点】集合的关系2给出下列 3 个命题，其中正确的个数是 （ ）若“命题 为真” ，则“命题 为真” ；pqpq命题“ ”的否定是“ ”；0,lnx00,lnxx“ ”是“ “的充要条件 tan
2、si20xA1 个 B2 个 C 3 个 D0 个【答案】C【解析】试题分析： 为真 真且 真 为真，正确；：根据全称命题的否定pqpqp是特称命题可知正确；： ，故正确；，故sinta0sico0sin20coxxxx选 C【考点】命题真假判断3若空间中 n个不同的点两两距离都相等，则正整数 的取值（ ） A大于 5 B等于 5 C至多等于 4 D至多等于 3【答案】C【解析】试题分析： ：平面上 3 点构成正三角形，符合题意， ：空间中 4 点构成正四面体，n符合题意， ：显然任三点不共线，考虑四个点构成的正四面体，第 5 个点必为正四面体的外接球的球心，但其半径与正四面体的棱长显然不相等
3、，故不成立，故选 C【考点】空间几何体的结构特征4若函数 的图象在区间 上至少有两个最高点，两个最低点，则 的取值0sin2xxf 21,0 范围为（ ）A B C D33【答案】D【解析】试题分析： ，由题意得 ，故选 D21cos2sinxx12【考点】三角函数的图象和性质试卷第 2 页，总 11 页5已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值是 （ ）ab32121baA B C D616395049【答案】B【解析】试题分析： ，因此12 83239abababab，当且仅当 时，等号成立，故选850(1)249ab2B【考点】基本不等式求最值【思路点睛】用基本不等式求函数的最值，关键在于将
4、函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值，在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件6定义 ，设实数 ， 满足约束条件 ，则 的取,max,abxy2xymax4,3zy值范围是（ ）A B C D 7,108,106,87,8【答案】A【解析】试题分析：若 ： ，如下图所示，画出不等式组所表示4320xyxy4zxy的可行域，当 时， ，当 ， 时， ；若 ：2xymax10z1min7320xy，画出不等式所表示的可行域，当 ，
5、时， ，当 ， 时，3z2xyma8z1，综上， 的取值范围是 ，故选 Amin7z7,【考点】线性规划的运用7已知异面直线 ， 成 角， 为空间中一点，则过 与 ， 都成 角的平面（ ）ab60AAab45A有且只有一个 B有且只有两个 C有且只有三个 D有且只有四个【答案】B【解析】试题分析：分析题意可知，若平面与 ， 都成 角，则 ， 与该平面的垂线夹角也为 ，ab45ab45故原问题等价于求直线 ，使得 与 ， 都都成 角，如下图所示，把异面直线 ， 平移到相交，c ab使交点为 ，此时 ，过 点作直线 平分 ， ，将直线P60ABPCAPB30CBP从 旋转至与平面 垂直的位置，根据
6、对称性从而可知满足题意的直线 有两条，故选 BcC c【考点】异面直线的夹角【思路点睛】异面直线所成的角(或夹角)：1定义：设 ， 是两条异面直线，经过空间中任一点 作abO直线 ， ，把 与 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 与 所成的角，即平移法；2范围：/a/bab0,28已知函数 ，当 时，关于 的方程 的所有解的和2,0()1)xffx,10x1()5fx为（ ） A9801 B 9950 C10000 D10201【答案】C【解析】试题分析： ，当 时， ， 时，2,0()1)xffx(0,1x2()fx(1,，2()1fx当 时， ，令 ，,n2()fxn2(1)5xnx则 ，
7、，221()05xx 2(1405 ， ， ，122n122nx12,nxn，所求的所有的解的和为 ，故选 C12x10(9)0()k【考点】1分段函数；2函数与方程【思路点睛】1分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值；2分段函数是一个函数而不是几个函数， “分段求解”是解决分段函数的基本原则；3不理解分段函数的概念是出错的根本原试卷第 4 页，总 11 页因二、填空题（本大题共 7 小题，9-12 题：每小题 6 分，13-15 题：每小题 4 分，共 36 分.）9已知双曲线 C 的离
8、心率为 2，它的一个焦点是 ，则双曲线 C 的标准方程为 ，(0,2)渐近线的方程是 【答案】 ， 213xy3yx【解析】试题分析：由题意得， ， ，故双曲线的标准2c2132ceabca方程为 ，渐近线方程为 213xy3yxb【考点】双曲线的标准方程10 已知 ，则 ；不等式 的解集为 ln,0()1,xf()fe()1fx【答案】 ， (,)(0,【解析】试题分析： ， ，若 ：1ln,0(),xf()(1)fef0x，若 ： ，1()ln0fxxex0()1fx即 的解集为 (,)(,【考点】分段函数及其运用11 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为
9、1，两两夹角为 ；120二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 的线段,且这两条线段与原线3段两两夹角为 ；依此规律得到 级分形图120 n（1 ） 4 级分形图中共有_条线段；（2 ） 级分形图中所有线段长度之和为 n【答案】 （1） ， （2） 4591()3n【解析】试题分析：根据题意可知，每一级分级共有 条线段，每条线段的长度为 ，每一级132n1()3n分形线段的总长度为 ，4 级分形中共有线段 条，11()()nn0123(45级分形图中所有线段长度之和n为 012123()23()()3()()91()3nn n 【考点】数列的综合运用12已知非零向量
10、， ， 满足 ， ， ，则 的最小值是 abc1a2ba()3cab|c，最大值是 【答案】 ， 13【解析】试题分析：根据题意可知， 22()()3|cos,3cabcabcab， 的最小值是 ，最大值是 |3os,1,|,|1【考点】平面向量数量积及其综合运用13已知某几何体的三视图（单位：cm）如右图所示，则该几何体表面积是 2cm【答案】 1243【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为长方体 截去三棱锥 ，如下1ABCDPAEF图所示，从而可知其表面积 (63)2(43)S22145()3试卷第 6 页，总 11 页【考点】1三视图；2空间几何体的表面积14设 是抛物线 ： 的焦点
11、，过 的直线 交抛物线 于 ， 两点，当 时，以FC24yxFlCAB6A为直径的圆与 轴相交所得弦长是 AB【答案】 25【解析】试题分析：设 ， ， ，以 为直1(,)Axy2(,)B121264AxxAB径的圆的圆心到与 轴相交所得弦的弦心距为 2，所求弦长为 35【考点】1抛物线的性质；2圆的性质【方法点睛】弦长的计算：方法一：设圆的半径为 ，圆心到直线的距离为 ，则弦Rd长 2lRd方法二：设直线的斜率为 ，直线与圆的交点坐标为 ， ，则弦长k1(,)Pxy2(,)Q212122PQxyk15已知 的三边长为 ， ， 满足 ， ，则 的取值范围是 ABCabca2cba【答案】 3(
12、)2，【解析】试题分析： ， ， ，2c()2bcca又 ， ，问题等价于不等式组 有解，caba2abc ，232abba即 的取值范围是 a()3，【考点】不等式的性质的综合运用【方法点睛】使用不等式性质时应注意的问题：在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件如“同向不等式”才可相加， “同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“ 的符号”等也需要注意c三、解答题 （本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16 （本题满分 15 分）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知ABCCabccos(3sin)co0
13、C（1）求角 的大小； B（2）若 ，求 的取值范围1ab【答案】 （1） ；（2） 31【解析】试题分析：（1）利用两角差的余弦公式将条件中的式子进行三角恒等变形，即可求得，从而求得 的值；（2）利用余弦定理以及条件中的式子将 表示成关于 的函数，再利用tanBBba三角形的三边关系即可求解试题解析：（1）由已知得 ，即cos()cso3sinco0ABA， ， ；sin3sin0Ain0tan3B由余弦定理，有 ， ， ， ，22csba1acs2221()4b又 ， ，即 0114b【考点】1三角恒等变形；2余弦定理17 （本题满分 15 分）如图，四棱锥 中，侧面 是边长为 2 的正三
14、角形，底面 是PABCDPABCD菱形， ，点 在底面 上的射影为 的重心，点 为线段 上的点60ADC MP（1）当点 为 的中点时，求证： 平面 ；MPB/PDACM（2）当平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 时，求 的值CD32BP【答案】 （1）详见解析；（2） 或 143【解析】试题分析：（1）设 ， 的交点为 ，连结 ，根据条件可证明 ，再根据线面ABII/DMI平行的判定，即可得证；（2）设 的中点为 ，分别以 ， 为 轴， 轴，过 点垂直平面CDOACxyO的直线为 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面 与平面 的一个法向量后即可建立ABCDz DMB关于 的方程，从而求解试题
15、解析：（1）设 ， 的交点为 ，连结 ， ， 分别为 ， 的中点，II P ，/PMI试卷第 8 页，总 11 页又 平面 ， 平面 ；（2）设 的中点为 ，分别以 ， 为 轴，MIAC/PDACMDOACx轴，y过 点垂直平面 的直线为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ，OBz(3,0)A)0,23(B),1(， ，设 ，则)0,1(D)362,(P(01)BPCMP， ， ，2(3,)(,2)DC(3,0)设平面 的法向量 ，则 且 ，CM(,mxyzMmCD，令 ，11112326()030xy 1x则 ，设平面 的法向量为 ，则 且 ，(,)4mCB2(,)nyzCMnB，令 ，则
16、，222236()(1)030xyzy 21x(,32) 或 ， 或 |cos,mn2344186 14BMP3【考点】1线面平行的判定与性质；2空间向量求二面角18 （本题满分 15 分）设椭圆 ： ， ， 分别是椭圆的左右焦点，过椭圆右焦点 的1C2143xyF2 2F直线 与椭圆 交于 ， 两点l1MN（1）是否存在直线 ，使得 ，若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由；l2Ol（2）若 是椭圆 经过原点 的弦，且 ，求证： 为定值AB1C/NAB2|MN【答案】 （1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）首先说明直线 斜率必定存在，再将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达
17、定理l以及平面向量数量积的坐标表示，即可建立关于直线 斜率 的方程，从而求解；（2）利用（1）中联立lk得到的方程，利用弦长公式求得 及 ，证明其余斜率 无关即可2|AB|N试题解析：（1）由题可知，直线 l与椭圆必相交，当直线斜率不存在时，经检验不合题意，设存在直线 为 ，且 ， ，由 得l(1)0ykx1(,)Mxy2(,)Ny2143()xyk， ， ，22(34)84kx212834k21x222212112418()(1)34kkOMNyxkx，故直线 l的方程为 或 ；2534k (1)yx()yx（2）设 ， ， ， ，由（1）可得： 1(,)xy2(,)y3(,)Ax4(,B2
18、222221211841|()33kMNkkx k，由 消去 ，并整理得： ，21()34k3xyk224k， 为定值2234(1)|1|ABx228(1)|3|4ABkMN【考点】1直线与椭圆的位置关系；2韦达定理；3平面向量数量积的坐标表示；3椭圆中的定值问题19 （本题满分 15 分）设函数 2()12fxxa（1）当 时，求 的最小值；af（2）对 ， 恒成立，求 的取值范围xR()0a【答案】 （1） ；（2） ,1【解析】试题分析：（1）对 的取值分类讨论将绝对值号去掉后利用二次函数的性质即可求得每个分段x上的最值，从而求解；（2）根据条件由 ， ，得 ，再以此为前提去掉(0)f(
19、1)0f21a中的绝对值号，求 的最小值，即可求解()fx()f试题解析：（1）当 时， ，1a22 482xxfxx时， ，当且仅当 时，等号成立，2x22()48()4fx时， ，当且仅当 时，等号成立，当 时， 的最小值为 ；00x0x()fx0试卷第 10 页，总 11 页（2）由 ， ，即 ， ，得 ，又当 时，(0)f(1)0f2a21a21a若 ： ，x247()30xx若 ： ，1a2()1f若 ： ，x210xa综上可知 时，对对 ， 恒成立故 xR()f2,1a【考点】1二次函数的性质；2分类讨论的数学思想；3恒成立问题【思路点睛】关于恒成立问题可通过参变分离将其转化为函数
20、最值问题来考虑，常见的重要结论有：1设 在某个集合 上有最小值， 为常数，则 在 上恒成立的充要条件是()fxDm()fxmD；min2设 在某个集合 上有最大值， 为常数，则 在 上恒成立的充要条件是()fx ()fxma20 （本题满分 14 分）设 ，圆 ： 与 轴正半轴的交点为 ，与曲线*nNnC22(0)nxyRyM的交点为 ，直线 与 轴的交点为 yx1(,)yM,Aa（1）求证： ；12na（2）设 ， ，求证： 123nnSa123Tn 2735nST【答案】 （1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）根据点 在圆 上，在直线 上，即可求得 ，再利用函数的单1(,)NnnCMNna调性即可得证 ；（2）首先证明不等式 ，进而可证得1na1(2)12xx，累加求和即可得证32试题解析：（1）由点 在曲线 上可得 ，又点在圆 上，则 ，Nyx(,)NnnC221()nnR，从而直线 的方程为 ，由点 在直线 上得：nRM1nyaR1(,)MN，将 代入，化简得： ， ， ，1nnxya 1nRnn1n
