1、2015-2016 学年浙江省嘉兴市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题部分，共 40 分）1已知全集 U=R，集合 A=x|（） x1，B=x|x 26x+80，则 AB 为（ ）Ax|x0 Bx|2 x4 Cx|0 x2 或 x4 Dx|0x2 或x4【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合【分析】分别求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，找出两集合的交集即可【解答】解：由 A 中不等式变形得：（） x1=（） 0，即 x0，A=x|x0，由 B 中方程变形得：（x 2） （ x4）0，解得：2x4，即 B=x|2x4，则 AB=x|2x4，故选：B【点
2、评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+）上为增函数的是（ ）Ay=lnx By=x 3 Cy=x 2 Dy=sinx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据奇函数图象的对称性，奇函数、偶函数的定义，以及正弦函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项【解答】解：Ay=lnx 的图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项错误；By=x 3 为奇函数，x 增大时，x 3 增大，即 y 增大，该函数在（0，+）上为增函数，该选项正确；Cy=x 2 是偶函数，不是奇函数，该选
3、项错误；Dy=sinx 在（ 0，+）上没有单调性， 该选项错误故选：B【点评】考查奇函数图象的对称性，奇函数、偶函数的定义，以及正弦函数的单调性，要清楚每个选项的函数的图象3设 、 为两个不同的平面，直线 l，则“l ”是“” 成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】直线与平面垂直的性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题【分析】面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直根据题意由判断定理得 l若 ，直线 l 则直线 l，或直线 l，或直线 l 与平面 相交，或直线 l 在平面 内由 ，直线 l 得不到 l，
4、所以所以“ l”是“ ”成立的充分不必要条件【解答】解：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直因为直线 l，且 l所以由判断定理得 所以直线 l，且 l若 ，直线 l 则直线 l，或直线 l，或直线 l 与平面 相交，或直线 l 在平面 内所以“ l”是“”成立的充分不必要条件故答案为充分不必要【点评】解决此类问题的关键是判断充要条件可以先判断命题的真假，最好用来表示，再转换为是什么样的命题，最后转化是什么样的条件4已知平面内三点 A，B，C 满足| |=| |=1，| |= ，则 为（ ）A B C D【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；平面向量及
5、应用【分析】由余弦定理可得：cosB，再利用数量积运算性质可得： 【解答】解：由余弦定理可得：cosB= = ， =1 cosB=故选 B【点评】本题考查了余弦定理、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5已知函数 f（x）=Asin （x+ ） （0，| | ）的部分图象如图所示，则 f（ ）=（ ）A B0 C 2 D1【考点】由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】由图象可得 A，由周期公式可得 ，代入点计算可得 值，进而可得函数的解析式，代值计算可得【解答】解：由图象可得 A=2，周期
6、T= =2 （ ），解得 =2，代入点（ ，0）可得 0=2sin（ +） ，结合| 可得 = ，f（ x）=2sin （2x+ ） ，f（ ）=2sin（2+ ）=2sin =1故选：D【点评】本题考查三角函数的图象和解析式，属基础题6设a n是等比数列，下列结论中正确的是（ ）A若 a1+a20，则 a2+a30 B若 a1+a30，则 a1+a20C若 0a 1 a2，则 2a2a 1+a3 D若 a1 0，则（a 2a1） （a 2a3）0【考点】等比数列的通项公式【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】设等比数列a n的公比为 qA由 a1+a20，可得 a1
7、（1+q）0，则当 q1 时，a 2+a3=a1q（1+q） ，即可判断出正误；B由 a1+a3 0，可得 a1（1+q 2）0，由 a10则 a1+a2=a1（1+q） ，即可判断出正误；C由 0a 1 a2，可得 0a 1a 1q，因此 a10，q1作差 2a2（a 1+a3）=a 1（1q） 2，即可判断出正误；D由 a10，则（a 2a1） （a 2a3）= q（1q） 2，即可判断出正误【解答】解：设等比数列a n的公比为 qA a1+a20，a 1（1+q ）0，则当 q 1 时，a 2+a3=a1q（1+q）0，因此不正确；Ba 1+a30，a 1（1+q 2） 0，a 10则
8、a1+a2=a1（ 1+q）可能大于等于 0 或小于 0，因此不正确；C0a 1a 2，0a 1a 1q，a 10，q1则 2a2（a 1+a3）=a 1（1q） 20，因此正确；D a10，则（a 2a1） （a 2a3）= q（1q） 2 可能相应等于 0 或大于 0，因此不正确故选：C【点评】本题考查了不等式的性质、等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7已知 F1，F 2 分别是椭圆 + =1（ab0）的左右焦点，点 A 是椭圆的右顶点，O为坐标原点，若椭圆上的一点 M 满足 MF1MF2，|MA|=|MO|，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【考点】椭圆的
9、简单性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】过 M 作 MNx 轴，交 x 轴于 N，不妨设 M 在第一象限，从而得到 M（， ） ，由此利用 MF1MF2，能求出椭圆的离心率【解答】解：F 1，F 2 分别是椭圆 + =1（ab0）的左右焦点，点 A 是椭圆的右顶点，O 为坐标原点，椭圆上的一点 M 满足 MF1MF2，|MA|=|MO|，过 M 作 MNx 轴，交 x 轴于 N，不妨设 M 在第一象限，N 是 OA 的中点， M 点横坐标为，M 点纵坐标为 ，F1（ c，0） ，F 2（c，0） ， = = ，=（ ， ） （ ）= =0，4c2=a2+3b
10、2=a2+3a23c2，4a 2=7c2， 2a= ，椭圆的离心率 e= 故选：D【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用8若平面点集 M 满足：任意点（x，y） M，存在 t（0，+） ，都有（tx，ty） M，则称该点集 M 是“ t 阶聚合”点集现有四个命题：若 M=（x，y）|y=2x，则存在正数 t，使得 M 是“t 阶聚合”点集；若 M=（x，y）|y=x 2，则 M 是“阶聚合”点集；若 M=（x，y）|x 2+y2+2x+4y=0，则 M 是“2 阶聚合”点集；若 M=（x，y）|x 2+y21是“t 阶聚合”点集，则 t 的
11、取值范围是（ 0，1 其中正确命题的序号为（ ）A B C D【考点】集合的表示法【专题】计算题；转化思想；定义法；集合【分析】首先，对于，直接判断即可，对于 ：取（2，4） ，代人验证即可，对于 ：取（1，1）验证即可，对于：则直接根据“t 阶聚合”点集进行求解【解答】解：对于：M=（x，y）|y=2x，（ tx，ty）M，正确；对于：M=（x，y）|y=x 2，取（ 2，4） ，而点（1，2）M，错误；对于：取（1，1）为集合 M 上的一点，则（2，2）M ，错误；对于：x 2+2y21，根据题意，得t2（x 2+2y2） 1，t（0，+ ） ，t（0，1正确；故选：C【点评】本题重点考查
12、了集合的元素特征，属于信息给予题，难度中等准确理解给定的信息是解题的关键二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分9函数 f（x）= sinxcosx 的最小正周期为 ，f（x ）的最小值是 【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的求值【分析】化简可得 f（x）= sin2x，由周期公式可得周期，由振幅的意义可得最小值【解答】解：化简可得 f（x） = sinxcosx= sin2x，函数的最小正周期 T= =，当 sin2x=1 时，函数取最小值 故答案为：；【点评】本题考查三角函数的周期
13、性和最值，属基础题10已知等差数列a n是递增数列， Sn 是a n的前 n 项和，若 a1，a 5 是方程 x210x+9=0 的两个根，则公差 d= 2 ，S 5= 25 【考点】等差数列的前 n 项和；等差数列的通项公式【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由题意解一元二次方程可得 a1 和 a5，由通项公式可得 d，再由求和公式可得【解答】解：等差数列a n是递增数列，a 1，a 5 是方程 x210x+9=0 的两个根，解方程可得 a1=1，a 5=9，故公差 d= =2，由求和公式可得 S5= = =25故答案为：2；25【点评】本题考查等差数列的通项公式和求
14、和公式，涉及一元二次方程的根，属基础题11设不等式组 表示的平面区域为 M，则平面区域 M 的面积为 1 ；若点P（x，y）是平面区域内 M 的动点，则 z=2xy 的最大值是 2 【考点】简单线性规划【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式【分析】由约束条件作出可行域，由三角形面积公式求得平面区域 M 的面积；化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（1， 1） ，联立 ，解得 C（1，3） ，联立 ，解得 B（2，2） ，平面区域 M 的面积为 ；化 z=2xy，得 y=2x
15、z，由图可知，当直线 y=2xz 过 B 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 222=2故答案为：1，2【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题12一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是 ，表面积是 +1+ 【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何【分析】由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面 PAC面 ABC，PAC是边长为 2 的正三角形，ABC 是边 AC=2，边 AC 上的高 OB=1，PO= 为底面上的高据此可计算出表面积和体积【解答】解：由三视图可知：该几何体是
16、如图所示的三棱锥，其中侧面 PAC面 ABC，PAC 是边长为 2 的正三角形，ABC 是边 AC=2，边 AC 上的高 OB=1，PO= 为底面上的高于是此几何体的体积 V=SABCPO= 21 = ，几何体的表面积 S=SPAC+SABC+2SPAB= 2+21+2 = +1+ 故答案为： ， +1+ 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键13已知实数 x，y 满足 4x2+y2+3xy=1，则 2x+y 的最大值为 【考点】基本不等式【专题】整体思想；综合法；不等式【分析】由题意和基本不等式整体变形可得 2x+y 的不等式，解不
17、等式可得【解答】解：实数 x，y 满足 4x2+y2+3xy=1，4x2+y2+4xy=1+xy，（ 2x+y） 2=1+2xy1+（ ） 2，解关于 2x+y 的不等式可得 2x+y ，故答案为： 【点评】本题考查基本不等式以及一元二次不等式的解集，属基础题14已知圆心在原点，半径为 R 的圆与 ABC 的边有公共点，其中 A（4，0） ，B （6，8） ，C（2，4） ，则 R 的取值范围是 【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】求出原点到直线的距离为 = 原点与 B 的距离为 10，即可求出 R 的取值范围【解答】解：由题意，直线 AC 的方程为 y
18、= （x4） ，即 2x+y8=0，原点到直线的距离为 = ，原点与 B 的距离为 10，R 的取值范围是 故答案为： 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，比较基础15正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P，Q 分别是棱 AB，A 1D1 上的点，PQAC，则 PQ 与BD1 所成角的余弦值得取值范围是 ，1 【考点】异面直线及其所成的角【专题】空间角【分析】由题意画出图形，根据 P，Q 分别是棱 AB，A 1D1 上的点，且 PQAC，得到当 P与 B 重合，Q 与 D1 重合时 PQ 与 BD1 所成角最小为 0，当 P 与 A 重合，Q 与 A1 重合时PQ
19、 与 BD1 所成角最大，为图中的 B1BD1，设出正方体棱长通过解直角三角形求得角的余弦值，则 PQ 与 BD1 所成角的余弦值得取值范围可求【解答】解：如图，P， Q 分别是棱 AB，A 1D1 上的点，且 PQAC，当 P 与 B 重合，Q 与 D1 重合时，满足 PQAC，此时 PQ 与 BD1 重合，所成角最小，所成角的余弦值最大为 1，当 P 与 A 重合， Q 与 A1 重合时，此时 AA1 在平面 BB1D1D 上的射影与 BD1 所成角最大，即 PQ 与 BD1 所成角最大，也就是图中的 B1BD1设正方体的棱长为 a，则 ， ， PQ 与 BD1 所成角的余弦值得取值范围是
20、 ，1故答案为： ，1【点评】本题考查异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16在 ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c ，且 a2+b2c2=ab（）求 cos 的值；（）若 c=2，求ABC 面积的最大值【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】 （）由已知及余弦定理可得 cosC 的值，利用 C 为锐角，可求范围，从而利用二倍角的余弦函数公式可求 cos 的值；（）利用基本不等式可求 ab 的最大值，由（）及同角三角函数基本关系式可求 sinC的值，利用三角形面积公式即可求ABC 面积的最大值【解答】 （本小题满分 14 分）
