1、2016 届浙江省台州市书生中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合 U=x|x 1 或 x0，A=x|0x2，B=x|x 21，则集合 A（ UB）等于（ ）Ax|x0 或 x1 Bx |1x2 Cx|0x1 Dx|0x22已知 m，n 是两条不同的直线， ， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A若 ，则 B若 mn，m，n，则 C若 mn，m，n，则 D若 mn，m ，则 n3若数列a n的前 n 项和 Sn 满足 ，则 a5=（ ）A16 B C8 D4
2、 “a=1”是“x（0，+） ，ax+ 1”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5设奇函数 f（x）在（0，+ ）上为单调递减函数，且 f（2）=0，则不等式 的解集为（ ）A （，2 （0，2 B2，0 2，+） C （ ，22，+ D2，0）（0，26已知点 O 是ABC 的外接圆圆心，且 AB=3，AC=4若存在非零实数 x、y，使得 ，且x+2y=1，则 cosBAC 的值为（ ）A B C D7已知 F1、F 2 分别是双曲线 C1： =1（a0，b0）的左右焦点，且 F2 是抛物线C2：y 2=2px（p0）的焦点，双曲线 C1 与抛物线 C
3、2 的一个公共点是 P，若线段 PF2 的中垂线恰好经过焦点 F1，则双曲线 C1 的离心率是（ ）A2+ B1+ C2+ D1+8已知函数 f（x）= ，当 x0，10时，关于 x 的方程 f（x）=x 的所有解的和为（ ）A55 B100 C110 D120二、填空题：本大题有 7 小题，9-12 每题 6 分，13-15 题每题 4 分，共 36 分把答案填在答题卷的相应位置9若经过点 P（ 3，0）的直线 l 与圆 M：x 2+y2+4x2y+3=0 相切，则圆 M 的圆心坐标是 ；半径为 ；切线在 y 轴上的截距是 10设函数 ，则 = ；若 f（f（a） ）=1，则 a 的值为 1
4、1在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边长分别为 a，b，c，已知 ab=2，c=4，sinA=2sinB ，ABC 则的面积为 ，sin（2AB ）= 12某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则其体积是 cm 3，其侧视图的面积是 cm213已知实数 x，y 满足 则 z=2|x|+y 的取值范围是 14已知 x，y 为正数，且 x+ +3y+ =10，则 x+3y 的最大值为 15已知函数 f（x）=x 2+ax+1，若存在 x0 使|f （x 0）| ，|f（x 0+1）| 同时成立，则实数 a 的取值范围为 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 74 分解答应写出文字说明，证
5、明过程或演算步骤16在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，且 = （1）求角 B；（2）求 sinAcosC 的取值范围17如图 1 所示，直角梯形 ABCD 中，BCD=90，AD BC，AD=6，DC=BC=3过 B 作 BEAD 于E，P 是线段 DE 上的一个动点将ABE 沿 BE 向上折起，使平面 AEB平面 BCDE连结PA，PC，AC （如图 2） （）取线段 AC 的中点 Q，问：是否存在点 P，使得 PQ平面 AEB？若存在，求出 PD 的长；不存在，说明理由；（）当 EP= ED 时，求平面 AEB 和平面 APC 所成的锐二面角的余弦值18已知二次函
6、数 f（x）=x 2+bx+c（b，cR ） （1）若 f（ 1）=f（2） ，且不等式 xf （x）2|x 1|+1 对 x0，2恒成立，求函数 f（x）的解析式；（2）若 c0，且函数 f（x）在1，1上有两个零点，求 2b+c 的取值范围19已知 A，B 是椭圆 的左，右顶点， B（2，0） ，过椭圆 C 的右焦点 F 的直线交椭圆于点 M，N，交直线 x=4 于点 P，且直线 PA，PF， PB 的斜率成等差数列，R 和 Q 是椭圆上的两动点，R 和 Q 的横坐标之和为 2，RQ 的中垂线交 X 轴于 T 点（1）求椭圆 C 的方程；（2）求MNT 的面积的最大值20设 Sn 为等差数
7、列a n的前 n 项和，其中 a1=1，且 =an+1（nN *） （）求常数 的值，并写出a n的通项公式；（）记 bn= ，数列b n的前 n 项和为 Tn，求最小的正整数 k，使得对任意的 nk，都有|T n |成立2015-2016 学年浙江省台州市书生中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合 U=x|x 1 或 x0，A=x|0x2，B=x|x 21，则集合 A（ UB）等于（ ）Ax|x0 或 x1 Bx |1x2 Cx|0x1 Dx|0x
8、2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】化简 B=x|x21=x|x1 或 x1，先求 UB，从而求 A（ UB） 【解答】解：U=x|x 1 或 x0，B=x|x 21=x|x1 或 x1， UB=x|x=1 或 0x1，又A= x|0x2，A（ UB）= x|0x1，故选：C2已知 m，n 是两条不同的直线， ， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A若 ，则 B若 mn，m，n，则 C若 mn，m，n，则 D若 mn，m ，则 n【考点】平面与平面之间的位置关系【分析】在 A 中， 与 相交或平行；在 B 中， 与 相交或平行；在 C 中，由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理
9、得 ；在 D 中，n 或 n【解答】解：由 m，n 是两条不同的直线， ， 是三个不同的平面，知：若 ，则 与 相交或平行，故 A 错误；若 mn，m，n ，则 与 相交或平行，故 B 错误；若 mn，m，n，则由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得 ，故 C 正确；若 mn，m，则 n 或 n，故 D 错误故选：C3若数列a n的前 n 项和 Sn 满足 ，则 a5=（ ）A16 B C8 D【考点】数列递推式【分析】利用递推公式与等比数列的通项公式即可得出【解答】解： ，当 n=1 时，a 1=4a1，解得 a1=2当 n2 时，a n=SnSn1=（4a n）（4 an1） ，化为
10、，数列a n是等比数列，首项为 2，公比为 则 a5=2 = 故选：D4 “a=1”是“x（0，+） ，ax+ 1”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可，【解答】解：当 a=1 时，x（0，+） ，不等式为 x+ 成立当 a=2 时，2x+ ，满足“x（0，+） ，ax+ 1”，但此时 a=1不成立“a=1”是“x（0，+） ，ax+ 1”的充分不必要条件故选：A5设奇函数 f（x）在（0，+ ）上为单调递减函数，且 f（2）=0，则不等式 的解集
11、为（ ）A （，2 （0，2 B2，0 2，+） C （ ，22，+ D2，0）（0，2【考点】函数单调性的性质【分析】由题设条件，可得出函数 f（x）在（0，2）的函数值为正，在（2，+）上的函数值为负，再利用函数奇函数的性质对不等式进行化简，解出不等式的解集，选正确选项【解答】解：函数 f（x）在（ 0，+）上为单调递减函数，且 f（2）=0函数 f（x）在（0，2）的函数值为正，在（ 2，+）上的函数值为负当 x0 时，不等式 等价于 3f（x）2f（x）0又奇函数 f（x） ，所以有 f（x）0所以有 0x2同理当 x0 时，可解得2 x0综上，不等式 的解集为2，0）（0，2故选 D
12、6已知点 O 是ABC 的外接圆圆心，且 AB=3，AC=4若存在非零实数 x、y，使得 ，且x+2y=1，则 cosBAC 的值为（ ）A B C D【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】对等式 两边分别乘以 ， 便可得到 ，根据 O 为ABC 外接圆的圆心，便可得到 ，从而可以得出 ，然后联立 x+2y=1 即可解出 x，y，cos BAC，并需满足 x，y 非零，这便可得出 cosBAC【解答】解：如图，由 得：；， =8； ，联立 x+2y=1 解得， 或 ；x，y 都不为 0； 故选：A7已知 F1、F 2 分别是双曲线 C1： =1（a0，b0）的左右焦点，且 F2 是抛物线C
13、2：y 2=2px（p0）的焦点，双曲线 C1 与抛物线 C2 的一个公共点是 P，若线段 PF2 的中垂线恰好经过焦点 F1，则双曲线 C1 的离心率是（ ）A2+ B1+ C2+ D1+【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【分析】P 作抛物线准线的垂线，垂足为 A，连接 PF2，在直角F 1AP 中利用勾股定理，结合双曲线、抛物线的定义，即可求出双曲线的离心率【解答】解：设点 P（x 0，y 0） ，F 2（c，0） ，过 P 作抛物线准线的垂线，垂足为 A，连接 PF2，由双曲线定义可得|PF 2|=|PF1|2a由抛物线的定义可得|PA|=x 0+c=2c2a，x 0=c2a在直
14、角F 1AP 中，|F 1A|2=8ac4a2，y 02=8ac4a2，8ac 4a2=4c（c 2a）c 24ac+a2=0e 24e+1=0e1e=2+故选：A8已知函数 f（x）= ，当 x0，10时，关于 x 的方程 f（x）=x 的所有解的和为（ ）A55 B100 C110 D120【考点】分段函数的应用【分析】根据函数的解析式分别求出各段上方程的根的和，找出规律作和即可【解答】解：x0，1）时， f（x）=（x1） 2+2（x 1）+1=x 2，令 f（x）=x ，得：x 2x+ =0，x 1+x2=1；x1，2）时，f（x）=（x 1） 2+1=x22x+2，令 f（x）=x
15、，得：x 23x+ ；x 3+x4=3，x3，4）时，f（x）=（x 2） 2+2=x24x+6，令 f（x）=x ，得：x 5+x6=5，xn，n+1）时，f（x）=（xn） 2+n，令 f（x）=x ，得：x 2n+1+x2n+2=2n+1，x9，10时，f（x）=（x 9） 2+9，令 f（x）=x ，得：x 19+x20=19，1+3+5+19=100，故选：B二、填空题：本大题有 7 小题，9-12 每题 6 分，13-15 题每题 4 分，共 36 分把答案填在答题卷的相应位置9若经过点 P（ 3，0）的直线 l 与圆 M：x 2+y2+4x2y+3=0 相切，则圆 M 的圆心坐标
16、是 （ 2，1） ；半径为 ；切线在 y 轴上的截距是 3 【考点】圆的一般方程【分析】根据圆的标准方程即可求出圆心坐标和半径，根据直线相切即可求出切线方程【解答】解：圆的标准方程为（x+2） 2+（y1） 2=2，则圆心坐标为（2，1） ，半径 R= ，设切线斜率为 k，过 P 的切线方程为 y=k（x+3） ，即 kxy+3k=0，则圆心到直线的距离 d= = = ，平方得 k2+2k+1=（k+1） 2=0，解得 k=1，此时切线方程为 y=x3，即在 y 轴上的截距为3，故答案为：10设函数 ，则 = 2 ；若 f（f（a） ）=1，则 a 的值为 【考点】函数与方程的综合运用【分析】
17、利用分段函数由里及外逐步求解即可第二问，通过分类讨论求解方程的解即可【解答】解：函数 ，则 =f（3 ）=f（1）=2；f（f（a） ）=1，a 时， 1=f（3a 1）=3（3a1）1，解得 a= 当 a1 时，2 a1，f（f（a ） ）=1，不成立；当 时， f（f（a ） ）=1 ，2 3a1=1，解得 a= ， （舍去） 综上 a= 故答案为： 11在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边长分别为 a，b，c，已知 ab=2，c=4，sinA=2sinB ，ABC 则的面积为 ，sin（2A B）= 【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数【分析】由 sinA=2sinB 结合正弦定理
18、可得：a=2b，又 ab=2，即可解得 b，a，由余弦定理可得 cosB，求得sinB，利用三角形面积公式可求面积；由已知求得 sinA，可求 cosA，利用两角和的正弦函数公式及二倍角公式化简所求后即可得解【解答】解：sinA=2sinB，c=4，由正弦定理可得：a=2b，又 ab=2，即可解得：b=2，a=4，由余弦定理可得：cosB= = = ，可得：sinB= = ， = = A 为锐角，sinA=2sinB= ，cosA= = ，sin（2AB ）=sin2AcosB cos2AsinB=2sinAcosAcosB（1 2sin2A）sinB=2 （12 ）= 故答案为： ， 12某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则其体积是 4 cm 3，其侧视图的面积是 cm2【考点】由三视图求面积、体积【分析】判断得出该几何体是三棱锥，求解其体积： SCBDAB，BCD 边 BD 的高为 ，再利用直角三角形求解面积即可【解答】解：根据三视图得出：该几何体是三棱锥，AB=2，BC=3，DB=5，CD=4，AB面 BCD， BCCD，其体积： SCBDAB= =4，BCD 边 BD 的高为 = =侧视图的面积： 2=故答案为；4，13已知实数 x，y 满足 则 z=2|x|+y 的取值范围是 1，11 【考点】简单线性规划
