1、2016 届浙江省东阳中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题：1. 已知全集 ，集合 ， ，则RU082xS43xTCU或TSA B C D42x42322. 若 ，下列不等式中不成立的是 0baA B C D2ab1|bba13. 已知 是非零向量，则“ ”是“ ”成立的,|/A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分条件又不必要条件4. 已知 ，则 等于 43)tan1)(t(A2 B C1 D25. 已知定点 ，曲线 C： ，P 是曲线 C 上的动点，当 是)0,()0(,22xy POA等腰三角形时，符合条件的点 P 个数是 A B C D6. 设函数 ，则函数
2、 的零点个数()1,),fxnnN2()loggxfx是A1 B2 C3 D无数个解：C 。数形结合求解。7. 若正数 满足 ，则 的取值范围是,xy221xyyxyA B C D3(0,(,(,28. 棱长为 2 的正方体 ，点 M 在与正方体的各棱都相切的球面上运1AD动，点 N 在 的外接圆上运动，则线段 MN 长度的最小值是1CA B C D3223232二、填空题9.设 的值域为 R，则实数 的取值范围是_.2,()xafa10.已知双曲线 的左右焦点分别为 ，P 是双曲线上一点，21(0,)yba12,F且 ， ，则双曲线的离心率是_.12PF1|4PFa11. 已知点 满足 ，当
3、 时，若(,)Mxy102yx,0ab的最大值为 12，则 所满足的关系式是axby,ab_；在此条件下 的最小值是_.3112. 右图是某几何体的三视图，若这三个正方形的边长均为1，则这个几何体的体积是_ ，表面积是_.13.设数列 的前 n 项和为 ，且 ，则 的值是nanS14()2nna312nSa_；若对任意正整数 ，恒有 成立，则实数 的取值范围是1(pp_.14.已知 O 是 内一点， ，且ABC150,120AOBC，若 ，则 _ ；|2,|1,|3mOAnBC|的值是_.3mn15. 已知点 ，P 为线段 上任意一点，过点 P 作直线 ， 与(0,),(,)AB l以 C 为
4、圆心、以 为半径的圆交于两点 M、N，若 M 恰为线段 PN 的中点，则实数 的13 m取值范围是_.三、解答题16.已知函数 在区间 上的最大值为 ()2cos(incs)fxxm0,42， （1 ）求实数 的值；（2 ）在 中，三内角 所对的三边分别为 ，mABC,ABC,bca且 ，求 的取值范围。3()1,24fBacb17. 设等差数列 的公差为 ，且 成等比数列，其中 表示数列 的na2124,SnSna前 项和， （1）求数列 的通项公式；（ 2）若 ，数列 的前nn nb1()nab项和为 ，求证：nT453nT18. 在三棱柱 中，已知1ABC平面1AABC， ，E、F 分别
5、1,B为棱 BC、 的中点，G 为棱 上的一点，1C且 平面 AEG， （1 ）求证：1/CF；（2）求二面角 的大小的余弦值。EA1AGE19. 如图所示，曲线 是以原点 O 为中心、 为焦点的椭圆的一部分，曲线 是1C12,F2C以 O 为顶点、 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线 和2FC的一个交点，且 为钝角。若 ，2C2117|2A， （1）求曲线 和 的所在的椭圆和抛物线的方程；（ 2）过 作一条与 x 轴25|AF1C2 F不垂直的直线，分别与曲线 和 依次交于 B、C、D、 E（从上到下）四点，若 G 为 CD的中点、H 为 BE 的中点，问 是否为定值？若是，求出此定值；若不
6、是，请2|GFEH说明理由。20. 已知 ， （1 ）当 时，求 的值域；（2）设22(log)fxaa0()fx，当 时，对任意 ，总有 成立，()2)xh012,x11|ah求 的取值范围。a东阳中学 2015 年下期高三数学（理科）期中试卷答案一、1. A. 由题意知， ，24xS或 43xT2. D。 3. C。 4. A。5. D。当点 P 在 上时，有三个点；当点 P 在 上时，有一)0(21y )0(2y个点符合条件，故共有 4 个点。6. C。数形结合求解。7. D。设 ，则 ，则 ，即xyu2()51xyxy22514uxyu，解得 。又注意到 ，得 ，解得 或2340u30
7、01，故得 。12xy8. D。易求得球的半径为 ，球心到平面 的距离为 ， 的外接圆半径21ACB31ACB为 ，所以球心到此外接圆上点的距离为 ，故线段 MN 长度的最小值为 。23332二、9. 或 10. 1a2511. ； 。点 M 构成的区域是顶点为 的三角形，由图4b5(1,0)2,(4)可知当点 M 在 时 取最大值，所以 ；因为 ，(3,)axy34ab31)25ab且当 ，即 时， 的最小值是2a16515212. ； 原几何体为一个正方体截去两个三棱锥。313. ; p14. ；由条件 ，得|823OABCmOAnBC，即 ，解得 ，22mnB4303mn所以 3115.
8、 。只要考虑极端情形：当点 P 在 A 点时，设直线 AC 与圆相交于6M、 N 两点，只要 时，适当绕点 P 转动总有一个位置满足 ，故|AM |MNA，即 ， ，解得 ；当点 P 在 B 点时，|ArC2203()m4同样可得 ，即 ，解得 。综上可知 m 的取值范围3|B16是 。26m三、16.解：（1） ， ()2sin()14fxx（2 ） ，由正弦定理得 3 31sin2iisn()sin()6acbBACAA 1,)17.解：（1 ）设数列 首项为 ，由题意得 ，即 ，na1214S211(4)()aa解得 ，故有a2（2 ）由上可知 ，所111() ()()nnn nnbc以
9、 12 2232nT 1()3n显然有 。综上可得45c4153nT18. 解：（1 ）因为 平面 AEG ，所以 AG，所以 G 是 的中点。1/CF1/CF1C取 AC 中点 H，连 GH，易得 GH， EH，所以 平面 EGH，从而有1AAEG。1A（2 ）过 H 作直线 AG 的垂线交 AG 于 K 点，连 EK，易证 是二面角HKE的平面角的补角。不妨设 ，GE2B在 中，易求得 ，所RtK1,5以 ，即 ，故tan56cosE二面角 的大小的余弦值是1AG另解：（1）因为 平面 AEG ，所以1/CFAG，所以 G 是 的中点。/CF以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴 ，AC 为
10、 y 轴建立空间坐标系，不妨设 ，则 ，所以 ，2B1(,0)(,2)(0,)A(1,0)(,2)EG。因为 ，所以 EG。1(,)EGCA（2 ）可求得平面 AEG 的法向量为 ；平,2m面 的法向量为 ，所以可求得1G(,)n。6cos19. 解：（1 ）设椭圆的方程为 ，由椭圆的定义得 。21xyab3a设 ，则 ，相减得 。由抛物线12(,),0)(,AxyFc227()()5cyx2xc的定义得 ，从而可得 或 （舍） ，则所求椭圆方程25|31,2c31,x为 ，抛物线方程为2198xy24yx（2 ）设 ，直线 ，代入椭圆134(,)(,)(,)(,)BxECDy(1)kx，得
11、，所以22960kk2122664,8989ky同理可代入抛物线 ，得 ，4yxy3434yk所以 为定值。342123412| |GFBECDHy20.解：（1 ） ，当 时，值域为 。2()xxfaa0(,1)a（2 ）只要 即可。min()h设 ，则1(,2xu12()hxugu当 时，若 ，即 时， 在区间 上单调递增，所0aa45a1,2以 ，解得 ，所以1(2)2g若 ，即 时， 在区间 上单调递减，在区间a145a()gu1,2a上递增，所以 ，所以1,2()11)22ag5748若 ，即 时， 在区间 上单调递减，所以a05a(gu,，解得 ，舍去。 综上可知 .11()2g75748a
