1、2016 届河南省中原名校高三上学期第二次联考文科数学试题一、选择题(本大题共 12 小题 ,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合 ，则（ ）A. B. C. D.解： 等价于， ， ， 。又 ， ，所以 。选 C.考点：绝对值不等式，对数不等式的解法，集合运算。2.在等差数列 中，如果 ，则数列 的前 9 项的和是（ ）135792aaA. 54 B.81 C. D.解析：在等差数列 中， ,又因为 ，所以 ，数列 的前 9 项的和 。选 D.考点：等差数列前 n 项和，等差中项.3. 设向量 ，且 ，则 x 的值是（ ）A.10 B.
2、-10 C. D.解析：因为 ，所以 2x+4 (-5）=0，即 x=10，选 A.考点：向量垂直，坐标运算。4.下列有关命题的说法正确的是（ ）A.命题“ ”的否命题是：“ ”B.命题“ ”是“ ”充分不必要条件C.命题“若 ，则存在 ，使得 ”的逆否命题是真命题D.命题“若 ，则 ”逆命题是真命题。解析：A. 命题“ ”的否命题是：“ ”A 错误。B.原命题成立，逆命题不成立，命题“ ”是“ ”充分不必要条件，正确。C.当 时，命题“若 ，则存在 ，使得 ”的逆否命题是假命题，错误。D.当 a、b 异号时命题“ 若 ，则 ”逆命题是假命题。错误。故选 B.考点：量词，命题的四种形式，充分、
3、必要条件。5.已知实数 满足 ，则函数 的最小值为（ ）A. B.2 C. D.4解析：选C。 ， （当且仅当时，等号成立） 。考点：基本不等式。6.函数 的图像不可能是（ ）解析：选 D.当 时， ，C 选项有可能。当 时，所以 D 图像不可能。选 D。考点：函数定义域，函数图像。7.若 ，则下列不等式正确的是（ ）A. B. C. D. 解析：因为 等价于 ，又因为 ，所以，所以 ，A 错误。因为 所以，B 错误。因为 ，所以函数 是减函数，所以 ，所以 C 错误。因为 ，所以函数 是增函数，所以 正确。 选 D.考点：对数运算，初等函数的单调性的应用。8.函数 （其中 ）的图像如图所示。
4、为得到的图像，则只要将 的图像（ ）A.向右平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度C.向左平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度解析：选 B.根据图像可得：因为 ，取 k=0,得： ， ，所以向右平移 个单位长度。考点：三角函数解析式，三角函数图像变换。9.已知角 满足 ,则 等于（ ）A. B. C. D. 解析：因为 ，所以 ，所以。选 C.考点：三角变换求值。10.已知函数 的图像在点 A 处的切线与直线 2x-y+2=0 平行，若数列的前 n 项和为 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 解析：因为 ，所以 ，又函数 的图像在点 A处的切线与直线 2x-y+2=0 平行
5、，所以 ，所以 。所以 ，所以。选 A.考点：导数的几何意义，数列裂项相消法求和。11.已知函数 ，数列 是公差不为 0 的等差数列，则 （ ）A.0 B.1 C.1008 D.2015 解析：因为函数 是奇函数，又 , 且，所以 ，又因为数列 是公差不为 0 的等差数列， ，故 。选 B.考点：函数对称性，等差数列的性质，等差中项。12.设 是定义在 R 上的奇函数，且 ，当 ，有 恒成立，则不等式 的解集是（ ）A. B. C. D. 解析：选 D。当 ，有 恒成立，则 ， 在时递减， 化为 ， ，画出 在时的示意图，知 。同理由 是定义在 R 上的奇函数，则 是偶函数，如图， 在 时递增
6、， 化为 ， ，所以 。综上：不等式 的解集是 。考点：奇函数，导数，数形结合能力,转化能力。二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分把答案填写在题中的横线上 )13.设 ，变量 x，y 满足条件 ，则 z 的最大值为 。解析：作出不等式组表示的平面区域即可行域如图所示。把 变形为 ，则得到斜率为-2，在 y 轴上的截距为 z，且随 z 变化的一组平行直线，由图可以看出，当直线 经过可行域上的点 A 时，截距 z 最大，解方程组 ，得 A 点坐标为（5,2） ，所以 。考点：线性规划。14.在 中，AB=2 ，AC=3 ， ,则 BC= 。解析：因为 且 AB=2，所以
7、 ,即 .在 中， ,即 9=4+|BC| .解得 .考点：向量的数量积，余弦定理。15.已知函数 f(x)对应关系如表所示,数列an 满足 a1=3,an+1=f(an),则 a2015= .x 1 2 3f(x) 3 2 1解析:由题意知 a2=f(a1)=f(3)=1,a3=f(a2)=f(1)=3,a4=f(a3)=f(3)=1,所以数列an是周期为 2 的数列,所以 a2015=a1=3.答案: 3考点：递推公式，周期数列，识表能力。16.设函数 的定义域为 D，如果 ，存在唯一的 ，使（C 为常数）成立。则称函数 在 D 上的“均值” 为 C。已知四个函数： 上述四个函数中，满足所
8、在定义域上“均值”为 1 的函数是 。(填入所有满足条件函数的序号)解析： 对于 ，由 得 ，即 ，时 y 都有唯一解。对于 ，由 得，即 ，当 时， y 无解。对于 ，由 得 ，即 ，时 y 都有唯一解。对于 ，由 得，即 siny=1-sinx，如 sinx=-1 时 y 不存在。所有填 。考点：函数的定义，阅读理解能力。三 解答题(本大题共 6 个小题，满分 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10 分）已知等比数列 中，（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）若数列 的前 n 项和为 ，求数列 的前 n 项和 .解析：（1）因为在等比数列 中， ，所以 ，解得：
9、，.4 分所以数列 的通项公式 。.5 分（2 ）由（1 ）得，数列 的前 n 项和为 = ，.7 分所以数列 的前 n 项和= + + + = = .10 分考点：等比数列的通项公式，前 n 项和，分组求和。18.（ 12 分）已知函数 f(x)=ex-e-x (xR 且 e 为自然对数的底数).(1)判断函数 f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数 t，使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)0 对一切 x 都成立？若存在，求出 t；若不存在，请说明理由.解析：(1) 且 y=ex 是增函数， 是增函数，所以 f(x)是增函数.由于 f(x)的定义域为 R，且 f(-x)=e-x-e
10、x=-f(x)，所以 f(x)是奇函数.4 分(2)由(1)知 f(x)是增函数和奇函数，f(x-t)+f(x2-t2)0 对一切 xR 恒成立f(x2-t2)f(t-x)对一切 xR 恒成立.6 分x2-t2t-x 对一切 xR 恒成立 t2+tx2+x 对一切 x R 恒成立对一切 xR 恒成立即存在实数 使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)0 对一切 x 都成立.12 分考点：函数的奇偶性，单调性，抽象不等式，恒成立问题。19.（ 12 分）为了保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围 1km 内不能收到手机信号，检查员抽查某一考点，在考点正西约 km 有一
11、条北偏东方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以 12km/h 的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多少时间该考点才算合格？解析：如图所示，考点 A，检查开始处为 B，设公路上 C、D 两点到考点的距离为 1km，在中， , ,由正弦定理得：.3 分,.5 分所以 ,BA=AC=1.在 中，AC=AD, .所以 为等边三角形，CD=1., 在 BC 上需要 5min，CD 上需要 5min。.11 分答：最长需要 5min 检查员开始收不到信号，并持续至少 5min 才算合格。.12 分考点：正弦定理,建模能力，应用能力。20.(12 分）设 满足 .（1 ）
12、求函数 的对称轴和单调递减区间。（2 ）设 三内角 A,B,C 所对边分别为 a，b，c 且 ， 求 在（0 ， A上的值域。解析：（1），.2 分因为 ，所以 ，所以 ，.4 分对称轴为 ，所以函数 的单调递减区间为 。.6 分（2 ）因为 ，由正弦定理得， ，可变形得， , .8 分所以 又 ，所以 ， .10 分所以 ，所以所求的值域为 。.12 分考点：三角变换，三角函数图像和性质，求角。21.（ 12 分）已知函数 ，（1 ）求函数 的单调区间。（2 ）若函数 在 内有且仅有一个零点，求 m 的取值范围。解：（1）由题可得： .2 分若 ，则 ，若 ，则 或函数 的单调增区间为 ，减区间为 .5 分（2 ）因为函数 ， ，由（1）可知，函数 的单调增区间为 ，减区间为 ，.7 分，若 时，函数 有且仅有一个零点，则 ，且 或，或 ，解得 或 。即 m 的取值范围是 或 。.12 分考点：导数，单调区间，零点，最值，数形结合能力。
