1、2016 届河北省正定中学高三上学期第五次月考数学（理）试题一、选择题1已知 ，若 为实数，则 （ ）aR12aiaA B C D2122【答案】C【解析】试题分析：由复数的四则运算可知：，根据复数的定义，要使它为实数，应5)1()2()(21iaiai 有 ，所以 ，故选 C01【考点】复数的定义和复数的四则运算2下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间 内单调递增的是（ ）(0,1)A B C Dyxsinyxlgxyxye【答案】D【解析】试题分析：A 中函数 定义域为 ，所以它是非奇非偶函数，不合,0题意；B 中 ()sinfxx，所以它是偶函数，不合题意；C 中函数 ，sinx
2、12lgl()1xyx由复合函数的单调性法则可知它是定义域内的减函数，也不符合题意；故选 D【考点】奇偶函数的定义和函数的单调性3已知实数 、 满足 ，则 的最大值为（ ）xy021x2zxyA B C D 12 4【答案】C【解析】试题分析：作出约束函数的可行域，如图，目标函数 化为斜截式yxz2，所以当 最大时，截距 最小，作直线 ，当直线 平移21zxyz2zL1:00L到过点 P（0，-1） 时，满足题意，所以 ，故选 Cmax【考点】线性规划4直线 与圆 有两个不同交点的一个充分不必要条0xym210xy件是（ ）A B C D014m31m【答案】A【解析】试题分析：圆 的圆心为（
3、1，0） ，半径 ，直线与22xy 2r圆有两个交点即相交的充要条件是 ，解得 ，所以直线与圆2d)1,3(有两个交点的充分不必要条件应该是 的真子集，故选 A)1,3(【考点】直线与圆的位置关系和充要条件的应用5已知 ，则 （ ）sin2costanA B C D22【答案】B【解析】试题分析： 两边平方可得sincos3，左边化切并整理得2c2sin2即 ，所以 ，故选 B01tanta01tan22tan【考点】同角三角函数基本关系式、三角求值6执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的 值分别为（ ）5,6pq,iA5，1 B5，2 C15，3 D30，6【答案】D【解析】试题分析：运
4、行程序，可得： 否； 否；,51ai ,10,2ai否； 否； 否； 是；所以输出的,15,3ai ,20,4ai, 36a,i 的值分别为 30，6，故选 D【考点】程序框图中的条件循环结构7将函数 的图象向左平移 个单位后的图象关于原点()sin)(|)2fx6对称，则函数 在 上的最小值为（ ）0,A B C D32121232【答案】A【解析】试题分析：函数 的图象向左平移 个单位后的()sin)(|)fx6图象对应的函数解析式为 ，所以有 )3(2sin62i xy，由 可得 ，所以 ，结合图象可知sin()033当 时， ，故选 A2x 2)sin()(mixf【考点】三角函数的图
5、象与性质，三角求值8在菱形 中，对角线 ， 为 的中点，则 （ ）ABCD4AECDECA8 B10 C12 D14【答案】C【解析】试题分析：特殊化处理，用正方形代替菱形，边长为 ，以 A 为原点，建2立如图所示坐标系，则 A（0，0） ， ，所以），（） ，（ 2E，所以 ，)2,(),2(EAC 12AC故选 CxA BCDyE【考点】平面向量的数量积运算9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A6 B5 C4 D55【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为长方体截去两个三棱锥后剩下的部分，如图根据三视图可知，长方体的长、宽、高分别为 2，1，3，所以几何体的体积，
6、故选 B516321312V【考点】三视图及棱柱、棱锥的体积公式10某校高三理科实验班有 5 名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校若这三所高校中每个学校都至少有 1 名同学报考，那么这 5 名同学不同的报考方法种数共有（ ）A144 种 B150 种 C196 种 D256 种【答案】B【解析】试题分析：间接法处理，所有的排法有 种，从中减去 5 人只参加了24352 个学校考试的排法 种和 1 个学校考试的排法 3 种，所以共有 243-9023152A90-3=150 种，故选 B【考点】排列、组合中的分组、分配问题11设 为椭圆 的左、右焦点，且 ，若椭圆12
7、,F21(0)xyab12|Fc上存在点 使P得 ，则椭圆的离心率的最小值为（ ）21|cA B C D21323【答案】D【解析】试题分析：设 ，由圆锥曲线的共同特征可得),(0yxP，所以 ，即2020021 cxeaeaPF 2220aecx，所以 ，又 ，解得 ，所以离心率22c312113的最小值为 ，故选 D3【考点】椭圆的几何性质和圆锥曲线的共同特征【思路点晴】 为椭圆上的一点是本题的关键条件，根据圆锥曲线的共同特征把转化成基本量 ， ， 与 的关系式，结合椭圆的范围，即可得21|PFcace0x到 的不等式，从而求出其最小值e二、填空题12在 的展开式中含 的项的系数是 6(1
8、)2)x 3x【答案】-55【解析】试题分析： 的展开式中 项由 和6()x336)(2xC两部分组成，所以 的项的系数为 26)(x-C）（ 3 5-【考点】二项式定理及其应用13已知数列 满足 15a， ，则 na的最小值为 n12n【答案】 274【解析】试题分析：递推式 变形为 ，所以1nan2112132()()()n naaa，所以2(1)1524n-15215nn （ ），因为函数 在 上单调递减， 上单调Nfna,)( )(f3,3递增，又 ， ，所以 na的最小值为为 73）f 742(）f 427【考点】数列的递推公式和叠加法求通项公式以及数列的函数特性14已知正方体 的棱
9、长为 1，点是线段 的中点，则三棱锥1ABCD1BC外接球体积为 1E【答案】 96【解析】试题分析：如图，三棱锥 即为三棱锥 ，易求得1ADE1DAEA=ED=ED1，三角形 ADD1为直角三角形，所以顶点 E 在平面 ADD1内的射影恰好为 AD1的中点 F，球心 O 在 EF 上，设球的半径为，则在 中， ，即 ，解得RAOFt2222-R，所以三棱锥 外接球的体积为 431DE16943VAA1DBCEB1C1D1F O【考点】多面体与球的组合体，球的截面性质及球的体积公式【思路点晴】变换三棱锥 的顶点为三棱锥 E-ADD1，观察其结构特征，从而1AED确定外接球的球心位置恰好在高 E
10、F 上，根据球的截面性质求出球的半径，问题便迎刃而解15 是双曲线 的右焦点， 的右支上一点 到一条渐近线的距离为F2:14yCxCP2，在另一条渐近线上有一点 满足 ，则 QFP【答案】4【解析】试题分析：双曲线的右焦点 F（ ，0） ，渐近线方程为 ，点 P 到渐5xy2近线的距离恰好跟焦点到渐近线的距离相等，所以 P 必在过右焦点与一条渐近线平行的直线上，不妨设 P 在直线 上，由方程组 得)5(2xy)5(2142xy，所以 ，由方程组 得 ，所543yx），（ 54-3)(xy5y以 ，所以 由于），（ -2Q，)54,2(FP，),105(PQ，所以 FP4【考点】向量共线的应用，
11、双曲线的方程与简单几何性质【方法点晴】要求 的值，就得求出 P、Q 两点的坐标，可直接设出 P 点坐标用点到直线的距离公式，也可结合双曲线的几何性质发现 P 的轨迹，解方程组即得 P、Q 两点坐标，从而求出两个向量的坐标，问题就解决了三、解答题16设函数 ，其中 ，若关于 不等式 的整()21)xfea1x()0f数解有且只有一个，则实数 的取值范围为（ ）aA B C D3(1,2e3(,2e3(,42e3(,42e【答案】A【解析】试题分析：设 ，由题意可知存在唯一的整数 ，axyxg),1() 0x使 在直线 的下方，由于 ，所以当 时，)(0xgay)12(eg21x， 单调递减；当
12、时， ， 单调递增，所以(2x0xg，且 ， ， ，直线21min)(egx 3()ge()1()30e过定点 ，斜率为 ，结合图象可知，要使唯一的整数(xay,0a满足0x，直线 的斜率应介于 和 的斜率之间，即xe)12( xay，解得 ，故选 DPNPMKae231-【考点】导数的综合应用和数形结合【思路点晴】利用转化的数学思想把不等式的解转化为两个函数图象的关系，利用导数研究函数 的单调性和极值axyxeg),12() )(xg从而做出图象，利用数形结合找到参数 满足的条件，使得问题迎刃而解17在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 依次成等差数列，ABC,abc,ABC且 求 的取值范
13、围3,bac【答案】 32,【解析】试题分析：由三角形内角和定理和等差中项易求 ， ，根3BAC2据正弦定理把边 ， 用角 的三角函数表示出来，通过三角恒等变换构造正弦型函acA数，把问题转化为求正弦型函数在给定区间上的值域问题，求角 的取值范围时，不要忽略 为锐角三角形ABC试题解析：解： 角 成等差数列 , 3根据正弦定理的 2sinisinabcBC2i,aAcsisii()3A32(inco)23in6又 为锐角三角形，则 ABC2,33sin()(,162,ac【考点】等差中项、正弦定理、三角恒等变换及正弦型函数值域18已知数列 的各项均是正数，其前 项和为 ，满足 n nnS4(*
14、)nnaN（1）求数列 的通项公式；na（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证：21(*)lognnbN2nb nT34nT【答案】 （1） ；（2）证明见解析na【解析】试题分析：（1）根据 写出 的表达式，消去和，得4(*)nnSaN1nS到数列 的递推公式，可发现数列 为等比数列，求得通项公式 ；（2）把nana代入 化简，可得数列 的通项公式，即得数列n21(*)lognbnb的通项公式，结合其结构特征采用裂项法求和即得到 的表达式，问题的2n nT到证明试题解析：解：（1）由 ，得 ，解得4nnSa114Sa12而 ，即11()()nn naSna2n可见数列 是首项为 2，公比为
15、的等比数列a1； 1()nnn（2） 21log()nnban， 21()n故数列 的前 项和2nb11111()()() 3435462nT nn222nn1()44【考点】数列的递推公式、等比数列的通项公式和裂项法求和19某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体 1000 名学生中随机抽取了 100 名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 50 以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在 名和 名的学生进行了调查，得到右表中数
16、据，150:910:根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过 005 的前提下认为视力与学习成绩有关系?（3）在（2）中调查的 100 名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这 9 人中任取 3 人，记名次在 的学生人数为 ，求 的150:X分布列和数学期望附： 22()()(nadbcKd【答案】 （1）820；（2） 在犯错误的概率不超过 005 的前提下认为视力与学习成绩有关系；（3）分布列见解析，数学期望是 1【解析】试题分析：（1）在频率分布直方图中用矩形的面积表示频率，可以求得前三组的频率进而求得频数，结合等差数列可求后四组的频数，从而得到视力在 50 以下的频率和频数；（2）由 列联表求得 的值，对视力与学习成绩的相关性作出判22断；（3）根据分层抽样的原则先求出两组中抽取的人数，转化为一个超几何概型，从而求出 的分布列和数学期望试题解析：（1）设各组的频率为 ，(1,345,6)if由图可知，第一组有 3 人，第二组 7 人，第三组 27 人，因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为 27,24,21,18 所以视力在 50 以下的频率为 003+007+027+024+021=082，
