1、试卷第 1 页，总 16 页2016 届河北省正定中学高三上学期期中考试数学试题及解析一、选择题1复数 ，则复数 的模是（ ）iz2zA B C D32【答案】B【解析】试题分析：因为 ，所以2(1)izii，故应选 21ziB【考点】、复数的概念；2、复数的四则运算；2等比数列 中， ，则 （ ）na6453aA B C 或 D88816【答案】C【解析】试题分析：由等比数列的性质知， ，所以 ，所以 或2354a24a48a，故应选 48aC【考点】1、等比数列的性质3若命题 ,命题 ,则 是 的（ ）:01xp2:qxpqA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要
2、条件【答案】A【解析】试题分析：因为 ，所以 ，所以 ，即命题01x(1)0x1x；而 ，所以:01px2，即命题 ,所以命题 可推出命题 ，但命:qx:px:02qx题 不能推出命题 ，所以 是 的充分不必要条件，故应:2qx:01选 A【考点】1、充分条件；2、必要条件4已知向量 ， ，则 可以为（ ）(1,)abA B C D(,),2)(2,1)(2,1)【答案】D【解析】试题分析：设 ，则由 可得： ，即 ，满足(,)bxyba0xyxy这个等式的只有选项 ，其中选项 ， ，选项 ， ，选项 ，DA2yxB2yxC，故应选 2xy【考点】1、平面向量的数量积；2、平面向量的坐标运算5
3、命题“存在 使得 ”的否定是（ ）,0Rx02xA不存在 使得 0B存在 使得,0x0xC对任意 2RD对任意 ,x【答案】C【解析】试题分析：由特称命题的否定为全称命题可知，命题“存在 使得,0Rx”的否定为：对任意 ，故应选 02x 02,xRC【考点】1、全称命题；2、特称命题6已知 ，则 的值是（ ）43sin()si357sin()6A B C D2524545【答案】D【解析】 试题分析： 因为 ，所以3sin()si3，即 ，所以43sincosins3354coi25，即 ，所以1i25i()6，所以应选 7 4in()in()in65sssD【考点】1、两角的正弦公式；2、三
4、角函数的诱导公式7设 均为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）,xy312xyxA4 B C9 D164【答案】D试卷第 3 页，总 16 页【解析】试题分析：因为 ，所以 ，即312xy301,2xy，所以 ，所以1,xy81y，应用基本228()0(1)99()10yyyy 不等式可得：，故应选 9(1)02(1)016xyyD【考点】1、基本不等式的应用8已知定义在 上的奇函数 满足对任意的 都有 成立；当R()fxx(4)(ffx时， ，则 在 上根的个数是（ ）0,2x()2|1|fx1()|f,A B C D3456【答案】B【解析】试题分析：因为对任意的 都有 成立，所以奇函数 是
5、x(4)(ffx()fx周期为 4 的周期函数当 时， ，则0,22,012|1|42f 在 上根的个数等价于函数 与函数 的图像的交点个1()|fx,()fx|yx数由图可知，其交点的个数为 个，故应选 5B【考点】1、函数的周期性；2、分段函数；3、函数与方程【思路点睛】本题主要考查了方程的根的存在性及个数判断、函数的周期性和函数的奇偶性，体现了化归与转化的数学思想，属中档题其解题的一般思路为：首先由题意可得奇函数 是周期为 4 的周期函数，然后将问题“ 在 上根()fx 1()|fx4,的个数”转化为“函数 与函数 的图像的交点个数” ，再分别作出两个函()fx1|yx数的图像并结合函数
6、图像得出所求的结果即可9函数 （其中 ）的图象如图所示，为了得到)sin()(Axf )2,0A的图象，则只要将 的图象（ ）gco(xfA向左平移 个单位长度 12B向右平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 6D向右平移 个单位长度【答案】A【解析】试题分析：由图像可知， ， ，所以 ，由 可1A7234T2T得 ，所以函数 ，又因为 ，所以2()sin)fx7()sin()16f，即 ，又因为 ，所以 ，73,6kZ,kZ23所以 ，由三角函数的图像的变()sin)si(2(2)cos)6fxxx换可知，将函数 向左平移 个单位长度可得到 ，(f1()1scos26yx故应选 A【考点】
7、1、函数 的图像变换；2、三角函数的诱导公式sin()yx10已知数列 满足 ，则 （ ）na110,1naa13aA B C D143566895【答案】C【解析】试题分析：因为 ，所以12nn，即21nnaa，等式两边开方可得： ，即11nna，所以数列 是以首项为 1，公差为 1 的等差数列，所11nnn试卷第 5 页，总 16 页以 ，所以 ，所以 ，故应1()1nan21na21368a选 C【考点】1、由数列的递推公式求数列的通项公式；2、等差数列11已知 为 的外心， , ，若 ，且OAB24ACOxAByC，则 （ ）4xyA B C D1224【答案】B【解析】试题分析：画出
8、草图，如下图所示因为 ，所以ACyBxO，又因为 为 的外心，点 分别为 的2AOxByACOA,E,中点， 分别为两中垂线，则,DE，21cosBD，8ACAEAC 所以 ，所以 ，故应2OxByO28(4)xy2OA选 【考点】1、三角形的外心的性质；2、平面向量数量积的应用；【思路点睛】本题考查了三角形的外心的性质、平面向量数量积的运算和向量模的求解，渗透着转化与化归的数学思想，考查学生综合运用知识的能力和分析计算能力，属中档题其解题的一般思路为：首先将已知 变形为ACyBxO，然后根据向量数量积的几何意义分别求出 ，2AOxByAC BAO，进而可得出关于 的代数式，最后利用 整体求解
9、即可得出所C ,x42xy求的结果12已知函数 ，其中 ，存在 ，使得22()(ln)faa0,aR0x成立，则实数 的值为（ ） 04()5fxA B C D11 12【答案】A【解析】试题分析：函数 可以看作是动点 与动点 之间距离()fx2(,ln)Mx(,2)Na的平方，动点 在函数 的图像上， 在直线 是图像2(,lnMlny,yx上，于是问题存在 ，使得 成立就转化为求直线 上的动点到曲线0x04()5fx的最小距离由 可得， ，令 ，解得 ，所以曲线上点2ly2y 1x到直线 的距离最小，且最小距离为 ，则 根(1,0)x25d4()5fx据题意，要使存在 ，使得 成立，则 ，此
10、时点 恰好为垂足，004()5f04()fxN由 ，解之得 ，故应选 21MNak1aA【考点】1、利用导数求曲线上过某点切线的斜率；2、直线方程【思路点睛】本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率和直线方程，渗透了数形结合和数学转化思想方法，属中高档题其解题的一般思路为：首先把函数 看作()fx是动点 与动点 之间距离的平方，然后利用导数求出曲线2(,ln)x(,2)Na上与直线 平行的切线的切点，进而得到曲线上点到直线距离的最小yyx值，最后结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于 ，于是由两直线斜率的关系45列式即可求出实数 的值a二、填空题13已知正方形 的边长为 2， 为 的中点，则
11、 _ABCDECDAEBD【答案】 2【解析】试题分析：在正方形 中，因为， ，所以1122EB211()() 4042ABDCACAB，故应填 2【考点】1、平面向量的数量积的应用14若 满足不等式组 ，则 的最小值是_,xy21xy1zxy【答案】 32【解析】试题分析：首先根据已知条件画出其约束条件如下图所示，然后将目标函数进行变形为： ，所以要使得目标函数 的最小值，1zxy12yxz12zxy试卷第 7 页，总 16 页由图可知，当其过点 时，取得最小值，且为 ，故应填 (1,)Bmin132z2【考点】1、简单的线性规划15由直线 ，曲线 以及 轴围成的图形的面积为_20xy3yx
12、【答案】 34【解析】试题分析：首先根据已知条件画出其所表示的图形的面积，然后将所求的面积分为两部分：第一部分为曲边梯形 ，第二部分为直角三角形 ，所以ABDBCD， ，所以所求的面积为134100Sxd21S，故应填 123【考点】1、定积分的几何意义；2、微积分基本定理【思路点晴】本题考查了定积分的几何意义和微积分基本定理，渗透着数形结合的数学思想，属中档题其解题的一般思路为：首先根据已知条件可画出其所表示的区域，然后对其进行适当分割，转化为求两部分面积即一个是曲边梯形和一个直角三角形的面积之和，再运用微积分基本定理和三角形的面积公式即可求出所求的答案其解题的关键是正确的表示所求的区域的面
13、积和适当的分割16等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且 ，nanS21()xf2014()sin3fa，则 =_20142015()cos6f2015【答案】 3【解析】试题分析：因为 ，20143()sinsin32fa，所以 ，2014015()cosc6fa 221()af，解之得 ，201420143()af223loga，所以 ，20142log3a22014223()()llog03所以 ，所以 ，故应201415014205 5aaS填 3【考点】1、等差数列的前 项和；2、等差数列的性质；3、三角函数求值n【思路点晴】本题主要考查了等差数列的性质、等差数列的前 项和和三角函数求
14、值，n考查学生综合知识运用能力，属中高档题其解题的一般思路为：首先由已知等式， ，可解出 ， 的值，2014()sifa20142015()cos6fa2a2014进而得出 的值，然后运用等差数列的性质可知 可求出2014 0145所求的结果三、解答题17设 的内角 的对边分别为 ，若ABC,abc，且 ，求 及 的面积2cosin2siin()AB12,os4CbABC【答案】 ， 4b15ABCS【解析】试题分析：首先由两角差的正弦展开公式和两角和的正弦公式可将已知等式化简成，然后正弦定理可得 ，进而可求出 的值，再在sin()si2inA 2cac中运用余弦定理公式即可求出边长 的大小，
15、进而得出 的面积bABC试题解析： 2cosin2siin()BcsiiicosiA即 ，inocsin2siAin()sin2siBCA2ca4c又 即 解得22cosabC21164-4b210b试卷第 9 页，总 16 页（舍去）或 3b4b1251ABCS【考点】1、三角函数的恒等变换；2、正弦定理；3、余弦定理18某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润 50 元供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损 10 元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利 30 元（1）若商店一天购进该商品 10 件，求当天的利润 （单位：元）关于当天需求量y（单位：件
16、， ）的函数解析式；n*nN（2）商店记录了 50 天该商品的日需求量 （单位：件） ，整理得下表：n若商店一天购进 10 件该商品，以 50 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求该商品一天的利润 的分布列及平均值X【答案】 （1） ；（2）利润 的分布列为：*601,0,32nnNy X利润 的平均值为：X（元） 913123863804505605E【解析】试题分析：（1）根据题意可利用利润等于获利与亏损之差，分段求出当时，利润 的表达式；当 时，利润 的表达式；（2）首先分别写出nyny日需求量为 8、9、10、11、12 的利润值，然后根据已知表格分别求出其出现的频率即所求
17、的概率，再将其列成表格得到该商品一天的利润 的分布列并计算其平均值X试题解析：（1）当 时， ，当105(10)(601ynn时， ，所以函数解析式0n5()32yn；*6,3210N（2）日需求量为 8、9、10、11、12 的利润分别为 380、440、500、530、560其概率分别为 ，3,5利润 的分布列为：X利润 的平均值为：X（元） 913123863804505605E【考点】1、频率分布表；2、离散型随机变量的分布列；3 数学期望19设数列 的前 项和为 ，已知 ，且 成等比数列，nanS1,na221,nnaS*N（1）求数列 的通项公式；n（2）设 ，数列 前 项和为 ，
18、求证 21nbanbnT2n【答案】 （1） ；（2）n21n22113()3nT n 11( )21nn【解析】 试题分析：（1）首先由 成等比数列，可得出 ，221,nnaS 12nnSa然后运用公式 可得出 ，由此可得出1nnaS()是首项为 1，公差为 2 的等差数列， 是首项为 2，公1,3521, 2,462,na差为 2 的等差数列，进而得出数列 是等差数列，从而得出其通项公式；（2）结na合（1）可得： ，然后结合不等式 并对其进行求和即2nb211()bnn可得出所证明的结论试题解析：（1）由已知得： ，又 ， ，2214nnSa0na12nnSa，当 时， ， ，12,aa1()， ，n12,是首项为 1，公差为 2 的等差数列； 是首项为1,352,n 2,462,na2，公差为 2 的等差数列； 是首项为 1，公差为 1 的等差数列， na（2）因为 ，所以 ，所以21nb2()nb
