1、河北定州中学 20152016 学年度第二学期数学练（五）一、选择题：共 12 题 每题 5 分 共 60 分1一个球从 32 米的高处自由落下，每次着地后又回到原来高度的一半，则它第 6 次着地时，共经过的路程是 米2设 是 CA的外心， a， b， c分别为角 A， ， C对应的边，已知 220bc，则的范围是（ ）A,4B1,24C12,4D1,43已知数列 na的各项都是正数， 1a，对任意的 k， 21ka、 k、 21成等比数列，公比为kq； 2、 1k、 2k成等差数列，公差为 d，且 1，则数列 d的通项公式为（ ）A B C32D4某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”
2、气象观测仪器的垂直弹射高度：在 C处（点 在水平地面下方， 为 C与水平地面 A的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点 A、两地相距 10米， 60，其中 到 的距离比 到 的距离远 40米 地测得该仪器在C处的俯角为 5， 地测得最高点 的仰角为 3A，则该仪器的垂直弹射高度为（ ）A 2106米 B 1406米 C 210米 D 2106米5已知函数 3sin2cosfxxm在,上有两个零点，则 m的取值范围为（ ）A,12B,1C3,12D3,126在等腰 C中， 90A， ， ， A，则 的值为（ ）A43B 3C 3 D437数列 201， 5， ， 214， ；从第二项
3、起，每一项都等于它的前后两项之和，则该数列的前5项之和等于（ ）A B 0 C 1 D 08 C中，若 sin3cosincosA，则（ ）A 3B 2bac C A是直角三角形D 22abc或 C9等差数列 n中， 479123aa，则能求出值的是（ ）A 12S B 13S C 15S D 14S10若 0xy， m，则下列不等式正确的是（ ）A B xmyn C n D 11已知数列 na的前 项和为 31nS（ ） ，则 5a（ ）A 24 B 60 C 62 D 48612平面内已知向量 2,，若向量 b与 方向相反，且 b，则向量 b（ ）A , B 4 C 4, D 2,评卷人
4、得分二、填空题：共 4 题 每题 5 分 共 20 分13给出下列命题：函数 axxf23)(既有极大值又有极小值，则 30a或 ；若 e8，则 )(f的单调递减区间为 )2,(；过点 ,aA可作圆 322ay的两条切线，则实数 的取值范围为 13a或 ;双曲线12bx)0,(b的离心率为 1e，双曲线12aybx的离心率为 2e，则 21的最小值为 .其中为真命题的序号是 .14已知抛物线 )(2pxy的准线与圆 5)3(2yx相切，双曲线)0,(2bayx的一条渐近线方程是 3,它的一个焦点是该抛物线的焦点，则双曲线实轴长 15已知函数 )Rbf在 1,-上是减函数，则 b的取值范围是 1
5、6若曲线 92xy与直线 0myx有一个交点，则实数 m的取值范围是 . 评卷人 得分三、解答题：共 8 题 共 70 分17设函数 21)ln()(xf，数列 na满足： *)(,1Nnafn（1 ）求证: 21x时， f；（2 ）求证:na（ *N） ；（3 ）求证: 83)(11iiii（ n） 18已知关于 x的不等式 ba|的解集为 42|x（1 ）求实数 ba,的值；（2 ）求 tt12的最大值19在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点 为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C为sinco4曲线 C上的任意一点的直角坐标为 ),(y，求 x的取值范围20已知矩阵12aA
6、的一个特征值 所对应的一个特征向量1e，求矩阵 A的逆矩阵 1321如图，已知圆上是弧 =弧 BD，过点 的圆的切线 CE与 BA的延长线交于点 E（1 ）求证： BCAE； （2 ）求证： D222正项数列: *),4(,1Nma ，满足: *),(,1321 Nkmaak 是公差为 d的等差数列， km,1 是公比为 2 的等比数列（1 ）若 821kda，求数列 , 的所有项的和 mS；（2 ）若 06,，求 的最大值；（3 ）是否存在正整数 ，满足 )(3121121 mkk aaaa ?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由23设 Rba,，函数 xexfln)(，其中 e是自然对
7、数的底数，曲线 (xfy在点 )1(,f处的切线方程为 01(bye（1 ）求实数 ,的值；（2 ）求证:函数 )f存在极小值；（3 ）若,2x，使得不等式0lnxmex成立，求实数 m的取值范围24在平面直角坐标系 xOy中，椭圆)(12bay的离心率 2e，且点 )1,(P在椭圆C上（1 ）求椭圆 的方程；（2 ）若点 BA,都在椭圆 C上，且 AB中点 M在线段 OP（不包括端点）上求直线 的斜率；求 面积的最大值参考答案1 94【解析】试题分析：由题设第一次着地经过的路程是 32米，第二次着地、第三次、第四次、第五次、第六次经过的路程分别为 1,24,8162米,因此第六次着地后共经过
8、的路程是 943米, 故答案应填： 94考点：1、数列求和的方法； 2、运用所学知识分析解决实际问题的能力2 C【解析】试题分析：设 是 CA的三边中垂线的交点，故 是三角形外接圆的圆心，如图所示，延长 A交外接圆于 D 是 的直径， D90A，CcosDA，cosD，11C2222 21C 4bcbb220cb， ，令14f，所以当时，有最小值14 0f， f，所以124fb，所以 CA的范围是1,24考点：1、向量的数量积；2、二次函数.【方法点睛】设 是三角形外接圆的圆心，延长 A交外接圆于 D A是 的直径， CD90A，CcosD，cos，1122A214b根据 b的范围求得4fb，
9、所以 C的范围是,243 B【解析】试题分析： 21ka， k， 21成公比为 kq的等比数列， 21ka， 2k， 3ka成公比为 1kq的等比数列，21kq， k，又 2a， 1， 成等差数列， 212a得21kk，1k，k， 1kk kq，1kkq，又 10a， 2d，可求得： 12q， 1，所以，1kq，1k221ka， 22222131 11kakk ，21kaq，所以， 2kd考点：1、等比数列；2、等差数列.【方法点睛】 1ka， k， 21成公比为 kq的等比数列，可知 21ka， 2k， 3ka成公比为 1k的等比数列. 21kq， ka，又 2a， 1k， 成等差数列，故
10、122a，把k， ， 2k均用 21k表示，化简得 k，构造等差数列 1kkq，求出q从而 22222131kaaa ，21ka，易知 21kkd4 B【解析】试题分析：由题意，设 C=Ax，则 B40， 在 CA内，由余弦定理：22C=OS，即 2=10xx，解得 =420在HA中，040,315H， 0936H，由正弦定理：sinsin，故该仪器的垂直弹射高sin.考点：解三角形的实际应用.5 A【解析】试题分析：3sin2cos2=sin26fxxmxm，函数在0,2上有两个零点，所以sin26y与直线 y有两个不同的交点，结合图像可得 的取值范围为1,.考点：1、函数的零点；2、三角恒
11、等变换.6 A【解析】试题分析：以 为原点， CA为 x轴， 为 y轴，建立直角坐标系，则20,2,0,1,03BDE， ， ， ， ，,213， ， ，,24D13AA， ，.考点：向量数量积的坐标运算.7 C【解析】试题分析：根据数列的规律可知该数列的前几项为 2014，2015， ， 42015-42015， ， ， ， ， ，可知该数列为周期为 6的数列，一个周期的和为 0，S,故选 C.考点：周期数列求和.8 D【解析】试题分析： sinC3cosincosA，因为 inCsisincosinABAB,代入整理得 3co-=0，解得 =0或 3co-i0，故=2或 3，选 D.考点：
12、解三角形.9 C【解析】试题分析： 47912152aa，故 156a，故能求出值的是 15S.考点：1、等差数列的性质； 2、等差数列的前 n项和.10 D【解析】试题分析：A 不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变；B 不正确，因为同向不等式相加，不等号方向不变；C 不正确，因为因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变.考点：不等式的性质.【方法点睛】严格依据不等式的基本性质:性质 1:如果 ,abc,那么 a (不等式的传递性).性质 2:如果 ab,那么 +cb (不等式的可加性 ).性质 3:如果 ， 0,那么 bc；如果 ab, 0c,那么 c.性质 5:如果 0a,cd,那
13、么 cd.11 C【解析】试题分析： 54543162S.考点：数列前 n项和.12 B【解析】试题分析：因为向量 b与 a方向相反，故设 =2,0bx， 25bx，解得 2x，故向量 -4,2.考点：1、向量共线；2、向量的模.13 （ 1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）依据题设条件证明平面 PCD内的直线 平面 PBC即可；（2 ）可利用相似三角形想方设法在平面 AEC找一条直线与 B平行试题解析：证明：（1）因为 ,/A， 所以 DB 又 P，平面 ,平面 PB，所以 C平面 ，又 CD平面 ，所以平面 PCD平面 B（2 ）连接 B交 A于 O，连 E因为 /D，
14、所以 所以 :1:2 又 PE，所以 /O平面 ,C平面 所以 B平面 A，考点：1、线面平行的判定； 2、线面及面面垂直的判定14 2,8【解析】试题分析：当 0a时，直线 3axy单调递增且过定点 )3,0(，而抛物线的开口向上，不等式)(32bx在 ),不恒成立,故 ,此时 b,否则不合题设, 所以欲使不等式在 恒成立（当且仅当 a,即 92时才能满足）,注意到 ba,是整数,所以当 9,1a或 1,3ba时， 92成立，故 8或 ,答案应填： 28考点：1、一次函数、二次函数的图象和性质； 2、不等式恒成立的转化与化归； 3、分类整合的思想、推理证明的思想和意识【易错点晴】本题借助不等
15、式恒成立考查的是分类整合的数学思想和函数的图象与性质，属于较难的问题解题时一定要充分借助一次函数、二次函数的图象，并对参数 ba,进行合理的分类，从而将问题进行分析和转化解题过程中还运用了题设中 ba,为整数这一条件，并以此为基点建立关于 ba,的等式求出了参数 ba,的值解本题的关键是如何理解题设中“对任意 ),0x不等式 0)(32x恒成立” ，并能建立与此等价的关于 ba,的等式15 23【解析】试题分析：由 xy可得231)2()21( xyxy，当且仅当 21xy，即yx2时取等号，故 2的最小值为3，答案应填：3考点：1、基本不等式的灵活运用； 2、分式变形的运用和技巧16【解析】
16、试题分析：由 AOCB可得 0CB时，即 OCB，故圆心在 B上且 AC，注意到 2|A，故32,4,6,3A，12cos| C，答案应填： 1考点：1、向量的几何形式的运算和数量积公式； 2、圆的有关知识和解直角三角形17 （ 1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】试题分析：（1）借助导数运用函数的单调性进行推证；（2 ）运用数学归纳法进行推证；（3）运用不等式的缩放进行推证试题解析：解：（1）令1ln2Fxfxx，则2Fx，又12，可得 0即 在,为减函数，故12xF，即1,2xfx当 1n时， 1,2a成立（2 ）假设 *kN时，1ka，当 时，1 1ln2k kf，
17、根据归纳假设12ka，由（1）得：1lnlnln2k，即： 12ka，即 1时命题成立综上所述对 *N命题成立（3 ）由1,2nnfaxfx，可得：12af，从而1iia，又 10ia，故21111iiii ii，则有：222311nii niaaa218nn考点：1、函数及函数的求导运算； 2、数列与函数的关系及应用； 3、数学归纳法及推理论证的能力18 （ 1） ,3ba；（2 ） 4【解析】试题分析：（1）借助绝对值不等式的解集求解；（ 2）运用柯西不等式求解试题解析：（1）因为 bax|，所以 abxa，故 24，解之可得 13ba，即ba,的值分别为 1,3；（2 ）将 代入 tt2
18、可得 ttt 143123，由柯西不等式可得6)4)()43( 22 t，故 41432tt ，（当且仅当 t，即 1取等号）,即 bat的最大值为 4.考点：1、绝对值不等式的解法； 2、柯西不等式的灵活运用19 0,1【解析】试题分析：运用极坐标与平面直角坐标的互化，将极坐标方程化为直角坐标，再运用参数方程化为三角函数的最值求解试题解析：解：曲线 C为 4cos2in曲线 的直角坐标方程为20xy即 2215xy，所以曲线 是以 ,为圆心， 为半径的圆故设 cossin则1510cos4xy 的取值范围是 ,考点：1、极坐标方程与直角坐标的互化； 2、圆的参数方程与直角坐标方程的运用； 3
19、、三角函数的最值及运用20123【解析】试题分析：运用矩阵的运算法则及特征向量的概念求解即可试题解析：解：由题意： 1Ae，132a，13,2a， 30A，11332 考点：1、矩阵及逆矩阵的概念及求解方法； 2、矩阵的特征向量及有关概念和求解方法21 （ 1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）运用弦切角定理可获证；（ 2）借助三角形的相似推证试题解析：证明: （1 ）因为弧 AC=弧 BD,所以 ABC,又因为 ABCE(弦切角等于同弧所对圆周角),所以 E;（2 ）在 BCD和 中,因为 , DE,所以 ,所以AE,即 ,注意到 ,所以 2.考点：1、圆中的有关定理和运用
20、； 2、相似三角形的性质及应用22 （ 1） 84；（2） 103；（3）存在 4k满足题设【解析】试题分析：（1）依据题设确定所求数列中的项的特征，再利用数列和的定义求解；（2 ）运用函数极值的定义进行证明；（3）分离参数 m，运用存在型不等式恒成立的转化途径求分出来的函数的最值，再确定题设中参数 的范围试题解析：解：（1）由已知*8,2,16nkkNa，故 231,()kaa 为：2，4 ，6，8 ，10，12 ，14，16； 111,mkaa 公比为2，则对应的数为 2，4 ，8，16 ，从而 1,m 即为：2，4，6，8 ，10 ，12，14，16，8，4； 此时0S（2 ）*1231
21、,kaakN是首项为 2，公差为 2 的等差数列，故*nkN，从而 2，而 111,mk 首项为 2，公比为 2 的等比数列且mkka，故有 2；即 1mk,即 必是 2 的整数幂又 k，要 最大， 必需最大， 016k，故 的最大值为 102， 所以 11034210210，即 的最大值为 1033（3 ）由数列 3,kaa 是公差为 d的等差数列知， 1kad，而11,mkaa 是公比为 2 的等比数列，则 kmka12，故 kmada112)(，即2kd，又 11113kkma ， 1，则12a，即1232mkmkkaa，则)(621kmkm，即 611kkm显然 ，则186，所以 ，将
22、 ,2345，代入验证知，当 4k时，上式右端为 8，等式成立，此时 ，综上可得：当且仅当 时，存在 4k满足等式考点：1、数列求和的定义及等差、等比数列的知识； 2、数列最值的求解和推理论证的能力及运用； 3、存在型问题的求解方法；4、转化化归的能力、运算求解的能力和分析问题解决问题的能力23 （ 1） 0ab；（2）证明见解析；（3）1ln,e【解析】试题分析：（1）依据题设建立关于 ba,方程组求解；（ 2）运用函数极值的定义进行证明；（3）分离参数 m，运用存在型不等式恒成立的转化途径求分出来的函数的最值，再确定题设中参数 m的范围试题解析：解：（1）xfe， 1fea，由题设得： 10eab，（2 ）由（1 ）得 lnxf，(0)xfe，21xfe，函数 f在 0,是增函数， 0,1fe，且函数 fx图像在 0,上不间断，01,2x，使得 0fx， 结合函数 f在 ,是增函数有：函数 fx存在极小值 0fx （3 ）1,2，使得不等式ln0xem成立，,x，使得不等式 lx成立（*）令1ln,2hex，
