1、河北定州中学 2017-2018 学年第二学期高三数学开学考试一、单选题1. 已知函数 的图象过点 ，且在 上单调，同时 的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当 ，且 时， ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题设可知该函数的周期是 ，则 过点 且 可得，故 ，由 可得 ，所以由可得 ，注意到 ，故 ，所以，应选答案 A点睛：已知函数 的图象求解析式(1) .(2)由函数的周期 求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .2. 抛物线 的焦点为 ，过焦点 倾斜角为 的直线与抛物线相交于两点 两点，若 ，则抛物线的方程为A. B. C. D. 【答案】C【解析】设直线方程为 ，
2、代入抛物线 可得 ，记 ，则由抛物线的定义可得 ，则抛物线方程为 ，应选答案 C。3. 若 满足条件 ，则目标函数 的最小值是A. B. 2 C. 4 D. 【答案】B【解析】画出不等式组 表示的区域如图， 最小值为原点到直线 距离的平方，即为，应选答案 B4. 已知复数 满足 ，则 的最小值A. B. C. 4 D. 【答案】B【解析】根据不等号式组画出可行域，得到可行域是一个封闭的三角形区域，z 表示的是区域内的点到原点的距离的平方，根据图像知道最小值就是原点到直线 x+y-2=0 的距离的平方.根据点到直线的距离得到结果为：2.故答案为：B.5. 已知函数 若 f（x 1）=f（x 2）
3、 ，且 x1x 2，关于下列命题：（1）f（x 1）f （x 2） ；（2）f（x 2）f （x 1） ；（3）f（x 1）f（x 1） ；（4 ）f （x 2）f （x 2） 正确的个数为（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】B【解析】函数 f（x）的定义域为 Rf（x） ,当 x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0函数 f（x）的单调递增区间为（，0） ，单调递减区间为（0，+）由 f（x 1）=f（x2） ，且 x1x 2，可知 x10，x 20，当 x1 时，由于 0，e x0，得到 f（x）0；同理，当 x1 时，f（x）0由上可知：x 1（，0
4、），x2（0，1）下面证明：x（0，1），f（x） f（x），即证 此不等式等价于 令 g（x）= ，则 g（x）=xe x（e2x1）当 x（0，1）时，g（x） 0，g（x）单调递减，g（x） g（0）=0即 x（0，1），f（x）f（x）由 x1（，0） ，可知 f（x 1）f （x2） ，故（1）错误；f（x1）f （x1） ，故（3）正确；由 x2（0，1） ，可知 f（x 2） f（x1） ，故（2）正确；f（x2）f （x2） ，故（4）错误正确命题的个数是 2 个故选：B点睛：求出函数 f（x）的导函数，判断函数的单调性，画出图象，结合椭题意可知 x1（，0），x2（0，1）
5、再证明x（0，1）， f（x）f（x） ，数形结合得答案6. 已知 x，y 满足 则 z=xy 的取值范围是（ ）A. B. 1，1 C. D. 1, 【答案】D【解析】根据题意画出可行域，是一个封闭的曲边三角形，老目标函数可化为 ,截距越大目标函数值越小，反之越大，故由图像知，当直线和弧相切时目标函数最大，根据点到直线的距离公式得到当过点（-1 ，0）时目标函数最小为 -1.故答案为：D.7. 已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x（， 0）时，不等式 f（x）+xf（x）0 成立，若a=f（） ，b=（2）f（2） ，c=f（1） ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）A. abc
6、 B. cba C. cab D. acb【答案】A【解析】令函数 F（x）=xf（ x） ，则 F（x）=f（x）+xf（x）f（x）+xf（x）0，F（x）=xf（x）， x（，0）单调递减，y=f（ x）是定义在 R 上的奇函数，F（x）=xf（x） ，在（，0）上为减函数，可知 F（x）=xf（x）， （0，+）上为增函数a=f（）=（）f（），b=2f（2），c=f（1）=（1）f（1），a=F（），b=F（2），c=F（1）F（3）F（2）F（ 1），即 abc故选：A点睛：构造函数 F（x）=xf（ x） ，对其求导分析可得 F（x）在（0，+ ）上为增函数，分析可得a=f（）=
7、（）f（） ，b=2f（2） ，c=f（1）=（1）f（1） ，结合单调性分析可得答案.8. 斜率为 的直线与双曲线 恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. 2，+） B. （2，+） C. D. 【答案】D【解析】斜率为 的直线与双曲线 恒有两个公共点， ，e= 双曲线离心率的取值范围是（ ，+）故选：D点睛：利用已知直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率的关系与直线与双曲线的交点的个数即可得出9. 设 ， 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l，m 下面命题正确的是（ ）A. 若 l，则 B. 若 ，则 lm C. 若 l，则 D. 若 ，则lm【答案】C对于 B，若
8、，则 l、m 位置关系不定，不正确；对于 C，根据平面与平面垂直的判定，可知正确；对于 D，则 l、m 位置关系不定，不正确故选 C10. 若圆（xa） 2+（yb ） 2=1（aR，bR）关于直线 y=x+1 对称的圆的方程是（x1） 2+（y3 ）2=1，则 a+b 等于（ ）A. 4 B. 2 C. 6 D. 8【答案】A【解析】两圆关于直线对称，则圆心也关于直线对称，即点（a，b）与点（1，3）关于直线 y=x+1 对称，据此可得：a=b=2，则 a+b=4故选：A11. 已知函数 ，则方程 的根的个数不可能为（ ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【答案】D【解析】方程 的根最多
9、三个:此时 的根为 0 个或 1 个或两个； 的根为两个； 的根为两个；即方程的根的个数可能为 4，5，6 个方程 的根为两个时： 或 ，此时 的根为 0 个的根为两个；即方程 的根的个数可能为 2，4 个方程 的根为一个时： , 此时 的根为 0 个, 方程 的根的个数为 0 个,综上根的个数不可能为 3 个，选 D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等12. 已知 ， 则 三者的大小关系是( )A
10、. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 ，所以 ,选 A.二、填空题13. 若函数 有四个零点,则实数的取值范围是_【答案】【解析】由 f（x）=0 得 x2（x4）2=a|x2|2a，作出 y=x2（x4）2 与 y=a|x2|2a 的函数图象，如图所示：f（x）有 4 个零点，且两函数图象均关于直线 x=2 对称，y=x2（x4）2 与 y=a|x2|2a 的函数图象在（2，+）上有两个交点，两函数图象都经过点（4，0），0 2a16，或2a 0，或直线 y=a（x2）2a 与 y=x2（x4）2 相切，若 02a16，解得8a0；若2a0，解得 a0；若直线 y=a（x2）2a 与
11、 y=x2（x4）2 相切，设切点为（x 0，y0），则 ，解得 a= 故答案为：（8，0）（0，+） 14. 已知函数 y=f（x）是定义在 R 上的偶函数，对于 xR，都有 f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x1，x 2 0，2且 x1x2 时，都有 给出下列四个命题：f（2）=0；直线 x=4 是函数 y=f（x）的图象的一条对称轴；函数 y=f（x）在4，6上为减函数；函数 y=f（x）在（8，6 上有四个零点其中所有正确命题的序号为_【答案】【解析】对于，对于任意 xR，都有 f（x+4）=f （x）+f （2）成立，令 x=2，则 f（2+4）=f（ 2）+f （2）=f（2
12、），f（2）=0，正确；对于 ，由知 f（x+ 4）=f （x） ，则 f（x）的周期为 4，又 f（ x）是 R 上的偶函数，f （x+4）=f（x），而 f（x）的周期为 4，则 f（x+4）=f（4+x），f（x）=f（ x4），f（4x）=f（4+x），直线 x=4 是函数 y=f（x）的图象的一条对称轴， 正确；对于 ，当 x1，x20，2，且 x1x2 时，都有 ，函数 y=f（x）在0，2上为减函数，而 f（x）的周期为 4，函数 y=f（x）在4，6上为减函数， 正确；对于 ，f（2）=0，f（x）的周期为 4，函数 y=f（x）在0，2上为增函数，在 2，0上为减函数，作出函
13、数在（8，6上的图象如图所示；函数 y=f（x）在（8，6上有 4 个零点，正确综上，以上正确的命题是故答案为点睛： 令 x=2 ，可得 f（2）=0，从而可判断 正确；由（ 1）知 f（x+4）=f （ x） ，所以 f（x）的周期为 4，再利用 f（x）是 R 上的偶函数，根据函数对称性从而可判断正确；依题意知，函数 y=f（x）在0 ，2上为减函数结合函数的周期性，从而可判断正确；由题意可知，y 作出函数在（8，6 上有的图象，从而可判断正确15. 若 满足约束条件 ，且 的最大值为 4，则实数 的值为_.【答案】【解析】由 z=2xy 得 y=2xz，若 z=2xy 的最大值 4，即
14、2xy4，先作出不等式组 的区域，然后作出直线 2xy=4， 即 A（2，0），此时 A 也在直线 kxy+3=0 上，则 2k=3，即 k= ，故答案为： 点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域 (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ 型）、 斜率型（ 型）和距离型（ 型） (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值，注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.16. 已知函数 的图象的一个最高点是 ，最低点的纵坐标为 2，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来
15、的 倍，然后向左平移 个单位长度可以得到 的图象，则_【答案】【解析】由题意得 因此 点睛：已知函数 的图象求解析式(1) .(2)由函数的周期 求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .三、解答题17. 已知函数 .()求函数 的对称中心；()求 在 上的单调区间.【答案】 （1） ；（2 ） .【解析】试题分析：(1) ，令 解得 x 即可() 求 在上的单调区间，则令 解得 x,对 k 赋值得结果.试题解析：()令 ，得 ，故所求对称中心为()令 ，解得又由于 ，所以故所求单调区间为 .点睛：三角函数的大题关键是对 f(x)的化简，主要是三角恒等变换的考查，化简成 类型，把 wx+ 看成整体进行分析.18. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）解不等式 ；
