1、江西省重点中学协作体 2016 届高三第一次联考 数学（理科）试卷命题人：临川一中 南昌二中 注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
2、1已知集合 , , （ ）2|60Ax|3BxyABA. B. C. D. ,31,53,1)2下列函数是以 为周期的奇函数的是（ ）A. B. C. D. sinyxcos2yxtan2yxsin2yx3已知为虚数单位， 为实数，复数 在复平面内对应的点为 ，则a(1)ziM“ ”是“点 在第四象限”的 （ ）0aMA充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A 1 B 2 C 3 D 45若等比数列 的各项均为正数，且 ，则na68192a21220logllogA. 50 B. 60 C
3、. 100 D. 1206 已知实数 x， y满足 1xa，其中 ，则实数 1yx的最小值为（ 320(1)xd）A 32 B 52 C 3 D 43 7从集合 中随机选取一个数记为 ，从集合 中随机选取,1,k2,1B一个数记为 ，则直线 不经过第四象限的概率为（ ）bbkxyA. B. C. D. 1241628已知双曲线 与抛物线 有相同的焦点，则该双曲线的渐近2myx()R8xy线方程为（ ）A. B C D3yx3yx13yx3yx9已知圆锥的底面半径为 ,高为 ,在它的所有内接圆柱中 ,侧面积的最大值是（ R2）A. B C D214212R210若执行右边的程序框图，输出 S的值
4、为 的展开式中的常数项，31()x则判断框中应填入的条件是（ ）A 9?k B 8?k C 7?k D 6?k11已知直线 被椭圆 截得的弦长为 7，:l23yx2:1(0)xyab则下列直线中被椭圆 截得的弦长一定为 7 的有（ ） 123yx23yxA. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条12.直线 分别与直线 ，曲线 交于 A，B 两点，则 的最小yaln|值为A. B. 1 C. D. 4435102第 卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置13 _sin96014 已知 ， ，若 ，则 = (1
5、,3)a(,)bt(2)ab|ab15 2015 年 12 月 26 日，南昌地铁一号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁游览八一广场、滕王阁、秋水广场。每人只能去一个地方，八一广场一定要有人去。则不同的游览方案有_种。16 下面的数组均由三个数组成，它们是： ， ， ，(1,2)(,42)(3,85)， ， ，若数列 的前 n 项和为 ，则(4,162)(5,37)(,nabccnS_ 0S三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分前 5 题每题满分 12 分，最后一道选做题满分 10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内17在 中，角 ， ，
6、的对边分别为 ， ， 。ABCCabc（）若 ， ， 成等比数列， ，求 的值。abc3cosBosiniAC（）若角 ， ， 成等差数列，且 ，求 面积的最大值。218 2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策。为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取 70 后和 80 后作为调查对象，随机调查了 100 位，得到数据如下表：生二胎 不生二胎 合计70 后 30 15 4580 后 45 10 55合计 75 25 100（）以这 100 个人的样本数据估计该市的总体数据, 且以频率估计概率，若从该市 70 后公民中随机抽取 3 位,记其中生二胎的人数为 ，求随机变量
7、的分布列和数学期望。X（）根据调查数据，是否有 90% 以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由；参考数据： 2()PKk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0052.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879（参考公式： ，其中 ）22()(nadbcnabcd19如图，在三棱柱 中， ， ，1ABC1BABC190为 的中点， 。DD（）求证：平面 平面 ；1（）在线段 （不含端点）上，是否存在点 ，使得二面角 的余弦值为CE1BD？若存在，求出 的值，若不存在，说明理由。7141|E20 如图，抛物线 :2xpy(0)的焦点为 (0,1
8、)F，取垂直于 y轴的直线与抛物线交于不同的两点 1P， 2，过 1， 2P作圆心为 Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且12PQ。A1BACB1 C1D EF P2xOyNBAMP1Q（）求抛物线 和圆 Q的方程；（）过点 F作直线，与抛物线 C和圆 Q依次C交于 M， A， B， N，求 |MAB的最小值。21已知函数 ， .(e 为自然对数的底数）2()(0)xfaeb(gx（）若 ，求 的最小值；1b)Ff()若函数 有两个不同的零点 ， ，记 ，()(xfgx1x2120x对任意 ， ，试比较 与 的大小，并证明你的结论0,aR0()f0()g请考生在第(22) ，(23) ，(24
9、)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图， 内接于直径为 的圆 ，过点 作圆 的切线交 的延长线于点 ，ACBOACBP的平分线分别交 和圆 于点 ，若 .ED、 102P（）求证： ；（）求 的值.223 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立xyx极坐标系，圆锥曲线 的极坐标方程为 ，定点 ， 是圆C2213sin(0,3)A21,F锥曲线 的左、右焦点 直线经过点 且平行于直线 1FF（）求
10、圆锥曲线 的直角坐标方程和直线的参数方程；（）若直线与圆锥曲线 交于 两点，求 CNM, N124 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 .（）解不等式 ；()|1|fxx()3fx（）若 的最小值为 ，设 ， ，且 ，求 的最小值m0ababm2ab江西省重点中学协作体 2016 届高三第一次联考 数学（理科）试题 参考答案一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 C 2D 3B 4B 5A 6D 7C 8A 9C 10B 11C 12 A 10 【 答案 】B【解析】 ,2231()Sx程序执行过程中， S， K的值依次为 1,2SK；32lo
11、g,S； 342log,； 345logl,；4563l,； 345672l ；782456ll,K；程序结束，输出 3S，则判断框中应填入的条件是 8?k，故选 B。11 【 答案 】C【解析】直线 与直线关于原点对称，直线 与直线关于 轴对称，3yx2yxx直线 与直线关于 轴对称，故有 3 条直线被椭圆 截得的弦长一定为 7。2yC12 【 答案 】A【解析】作与 平行的直线与 相切，得到切点为 。所以当3yx2lnx(1,2)时， 。2amin4|B二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13. 14. 5 15 65 1619913215 【 答案 】65【解
12、析】4 个人去 3 个地方游览，每人只能去一个地方，共有 种方案，若八一广场4381没有人去，有 种方案，故八一广场一定要有人去。则不同的游览方案有 81-16=654216种。三解答题：( 本大题共 6 小题，共 70 分)17解：（） ， 1 分3cos5B4sin5由 ， ， 成等比数列，有 ，又由正弦定理得 ，3 分ab2bac2sinisnBAC ssiosini()iniACACA6 分2n15ii4B（）由角 ， ， 成等差数列，有 ，7 分3又 ，由余弦定理有 ，b22cosaBac由基本不等式得， （当且仅当 时等号成立） 10 分42acac （当且仅当 时等号成立） 12
13、 分13sinABCS18 （ ）由已知得 70 后“生二胎”的概率为 ，并且 ，2 分23X2(3,)B所以 3 分3321()()kkPX(0,)其分布列如下X 0 1 2 3P 27949827（每算对一个结果给 1 分）所以， 。8 分3E（）2 22()10(3451)(72nadbcK11 分103.706所以有 90% 以上的把握认为“生二胎与年龄有关” 。12 分19解：（）取 中点为 ，连接 ， ，ABOD1B因为 ，所以 ，又 ， ，11A11OBD所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，2 分11A由已知， ，又 ，所以 ，因为 ，BCODBC11所以 平面 ，又 平面 ，所
14、以平面 平面 ；OD1ABAC5 分（）由（）知 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点， 的方向为 轴的方B1Ox向， 为单位长度 1，建立如图所示的空间直角坐标系 。| xyz由题设知， ， ， ， ， ，1(0,3)(,0)(,0)D(1,)A(,20)C， ， ，1(,2)CB13B设 ，则 ，71CE(0)1(1,23(1)BEC分设平面 的法向量 ，1BD1(,)mxyz则 ，得 ，令 ，则 ， ，10130z113xy(,31)m同理，设平面 的法向量 ，E2(,)nxyz则 ，得 ，10nBD2230(1)(1)z令 ，则 ， ， 9 分2z23xy,31)n设二面角 的大小为 ，1
15、EB则 2317cos| 47mn解得 ，11 分13所以在线段 上，存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ，此时1CE1BD714。 12 分1|3E20解：（）因为抛物线 :C2xpy(0)的焦点为 (0,1)F，所以 12p ，解得 p，所以抛物线 的方程为 24xy。2 分由抛物线和圆的对称性，可设圆 Q： 2()xybr， 12PQ， 12P是等腰直角三角形，不妨设 1P在左侧，则 1245QP， 2(,)rb，代入抛物线方程有24rbr。4 分由题可知在 1， 2处圆和抛物线相切，对抛物线 2xy求导得 2x，A1xOBACB1 C1yzD E所以抛物线在点 2P处切线的斜率为 24r
16、k。由 1245Q知 1rk，所以 r，代入24rbr，解得 3b。所以圆 的方程为 22(3)8xy。6 分（）由题知直线的斜率一定存在，设直线的方程为 1ykx。圆心 (0,3)Q到直线的距离为 21dk， 22| 4ABr。8 分由21xyk得 2()10ky，设 1(,)Mxy， 2(,)Ny，则 214，由抛物线定义知， 12|4k。10 分所以 22|16()1MNABk 设 2()tkt，则 221|616()48ABttt()t所以当 1t时即 0时， |N有最小值 16. 12 分21解：（1）当 时， ，1ab2()()xFxfge则 ，2()xFe由 ，得 ，)(01ln
17、2x由 ，得 ，()21xe所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，()yF,l)l,)所以函数 的最小值为 5 分x13(n24F（2） 6 分00()fg下面证明:依题有： ， ，两式相减得：22xaeb112xaeb，整理得212121()()xxaebex21212121212121 ()()()xxxxxxbeaebe则 ，于是2121xaee，8 分21212121 0()xxxx bef 而21212121xxxxe令 ，则设 ，10 分210t2()ttGe则 ，221() 10tt ttGte 在 上单调递增，则yt(0,)，于是有 ，2()tte2tte即 ，且 ， ，1
18、tt 10t 1tt即 又 ，所以 恒成立。12 分0()fx0()gx00()fxg法二：要证 ，令 （ ） ，则 ，21tte2()1ttge022(1)ttteg令 ，则 ，()0tth1()02tth()0thte 在 上单调递减，21ttge(,而 ， 。2200()limli1ttt tttee2()1ttge22解：（） 是圆 的切线， ，PAOPABC又 是公共角， ，2 分 ， . 4 分2ACPBABC（）由切割线定理得， ， ，2P20C又 ， 6 分51又 是 的平分线， ， ，ADDABB ， ， 8 分0CB又由相交弦定理得， 。10 分50EC23解 ： （）圆锥曲线 的极坐标方程为 ，2213sin其普通方程为 ，2 分2:143xy， ， ， ， ，(0,3)A1(,0)F2(,)3k:(1)lyx直线的参数方程为 （为参数）.5 分132xty（）将直线的参数方程 （为参数） ，代入椭圆方程得： ，132xty 25410t ， . 10 分125t15FMN24解：（）因为 ，当 时，()1fxx2,1,xx32,2得 ,当 ，均满足，当 时， ，则1x1x1x32,x，综上 ，所以， 的解集为 ； 1()3f 2.5 分（）由于当 ， 取得最小值 ，则 ，下面做乘法：x()fm=ab0,ab
