1、 数学（文）试题（2016.4.20）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数 ,则 （ ）1zi2zA B C D2i 22i2. 若集合 ,则“ ”是“ ” 的（ ）20,a1ABaA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D即不充分也不必要条3. 下列命题中正确命题的是（ ）(1) 从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测 ,这样的抽样是10分层抽样；(2) 若两个变量的线性相关性越强,则它们的相关系数的绝对值越接近于 ；1(3) 在
2、残差图中, 残差点分布的带状区域的宽度越狭窄, 其模型拟合的精度越高；(4) 对分类变量 与 的随机变量 的观测值 来说, 越小, 判断“ 与 有关系”的把握越大；XY2KkXY其中真命题的序号为A B C D 4. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 的值是（ ）kA B C D76545. 设 ,记不超过 的最大整数为 ,令 ,则 （ ）xRxxx151,22A是等差数列但不是等比数列B是等比数列但不是等差数列C既是等差数列又是等比数列D既不是等差数列也不是等比数列6. 由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示, 其中府视图是中心角为 的扇形, 则该几何体的体积为60（ ）A B C D
3、22337. 设 为 的外接圆的圆心, 若 ,则 （ ）OC1AOBAA B C D30 45 60 908. 若函数 在区间 上单调递增, 则实数 的取值范围是（ ）sincoaxf63aA. B C D2,2,3,3,9. 已知三棱锥 中, , 则该三棱锥的外接球表面SAC1,5,10SBASB积为（ ）A B C D64614410. 已知定义在区间 上的函数 的图象关于直线 对称, 当 时,30,2yfx3x3x, 如果关于 的方程 有解, 记所有解的和为 ,则 不可能为（ ）cosfxxfaSA B C D543294311. 如图, 已知双曲线 的左、右焦点分别为 是双曲线右支上2
4、10,xyab12,6,FP的一点, 与 轴交于点 的内切圆在边 上的切点为 ,若 ,则双曲线的离心率是2FP1,APF1PQ（ ）A B C D323212. 已知函数 在定义域 上为单调函数, 且对任意 ,都有 .fx00xlog3fx若 是方程 的一个解, 则 所在的区间可能是（ ）0x0xA B C D3,4231,20,1第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 从某地高中男生中随机抽取 名同学, 将他们的体重(单位： )数据绘制成频率分布直方图(如图).若10kg要从身高在 三组内的男生中, 用分层抽样的方法选取 人参加一项活动, 再
5、从60,7,89 6这 人选两人当正负队长, 则这两人体重不在同一组内的概率为 14. 过平面区域 ,内一点 作圆 的两条切线, 切点分别为 ,记20xyP2:1OxyAB,当 最小时, 点 坐标为 APB15. 设 是数列 的前 项和, , 则数列 的通项公式 nSna11,naSnana16. 设非空集合 , 若对 中任意两个元素 ,通过某个法则“ ”, 使 中有唯一确定的元素 与AbAc之对应, 则称法则“ ” 为集合 上的一个代数运算, 若 上的代数运算“ ” 还满足：A（1）对 ,都有 ；,abcabc（2）对 ,使得 .称 关于法则“ ” 构成一个群. 给,aAeb,aeabeA出
6、下列命题：实数的除法是实集上的一个代数运算； 自然数集关于自然数的加法不能构成一个群； 非零有理数集关于有理数的乘法构成一个群；正整数集关于法则 构成一个群.ba其中正确命题的序号是 (填上所有正确命题的序号)三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. （本小题满分 12 分）如图, 在海岛 上有一座海拔 千米的山,山顶设有一个观察站 ，上午 时，A1P1测得一轮船在岛北偏东 ，俯角为 的 处，到 时 分又测得该船在岛北偏西 ，俯角为 的30B060处.C（1）求船的航行速度是每小时多少千米？（2）又经过一段时间后，船到达岛的正西方向的
7、 处，问此时船距岛 有多远？DA18. （本小题满分 12 分）某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况, 随机在这两条流水线上各抽取 件产品作为样本称出它们的重量( 单位： ),重量值落在 的产品为合格品, 否则为40g49510不合格品, 下表是甲流水线样本频数分布表, 如图是乙流水线样本频率分布直方图.（1） 根据上表数据作出甲流水线样本频率分布直方图；（2） 若以频率作为概率, 试估计从甲、乙两条流水线分别任取 件产品, 该产品恰好是合格品的概率分别1是多少？(3) 由以上统计数据完成下面 列联表, 并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流2水线的选择有关？” 甲
8、流水线 乙流水线 合计合格品不合格品合计附：下面的临界价值表供参考： 2PKk0.15.0.50.2.10.50.172638416378928参考公式： 22nadbcKd19.（本小题满分 12 分）已知四边形 满足 是 的中点, ABCD1, ,2BADCBaEC将 沿 翻折成 ,使面 面 为 的中点.BAE1E1EF1（1）证明： 面 ；1F（2）求四棱锥 的体积；CD20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的一个焦点为 ,而且过点2:10xyEab130F.13,2H（1）求椭圆 的方程；E（2）设椭圆 的上下顶点分别为 是椭圆上异于 的任一点, 直线 分别交 轴于点12,AP12
9、A12,PAx,若直线 与过点 的圆 相切, 切点为 .证明：线段 的长为定值, 并求出该定值.NMOT,NGTOT21. （本小题满分 12 分）已知函数 .lnfx（1）求函数 的图象在 处的切线方程；2gxf1（2）证明： ；ln1请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图, 交圆于 、 两点 , 切圆于 为 上一点且 ,连接 并延长交圆于点 ,EPCPD,GCEPDGA作弦 垂直 ,垂足为 .ABF（1）求证： 为圆的直径；（2）若 ,求证： .ABE23. （本小题满分 10 分）选修
10、4-4：坐标系与参数方程已知直线 的参数方程： 为参数), 曲线 的参数方程： 为参数),l1cos(inxtyC2cos(inxy且直线交曲线 于 两点.C,AB（1）将曲线 的参数方程化为普通方程, 并求 时, 的长度；4AB（2）已知点 ,求当直线倾斜角 变化时, 的范围.10PP24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知实数 ,且 ,若 恒成立 .ab29ababm（1）求实数 的最小值；m（2）若 对任意的 恒成立, 求实数 的取值范围.xx河北省南宫市第一中学 2016 届高三第三次复习诊断自测卷数学（文）试题参考答案一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1-
11、5.DBDAB 6-10.ACACA 11-12.AC二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13. 14. 15. 16. 154,21,2nanA三、解答题.30126（2） ,39063,sinsi180sin10ABDACDCAACBC .sinsisicos3si301BB ,在 中, 据正弦定理得 ,23103102AACDsinsiADCA此时船距岛 为 千米 .91318. 解：（1）甲流水线样本的频率分布直方图如下：（2）由 表知甲样本中合格品数为 ,81430由题中图知乙样本中合格品数为 ,故甲样本合格的频率为 ,乙0.69.543630.754样本合格的频率为 ,据此可
12、估计从甲流水线任取 件产品, 该产品恰好是合格品的概率为 ,从36.941乙流水线任取 件产品, 该产品恰好是合格品的概率为 .10(3) 列联表如下： 2甲流水线 乙流水线 合计合格品 30366不合格品 1414合计 4080,有 的把握认为 “产品的包装质量与两条自动包装流水线22863.7.60K9的选择有关.19. 解：（1）连结 交 于 连结 ,因为 为菱形, 面EDACOFAECD1,OFBEA.ACF（2）取 的中点 ,连结 ,因为 为等边三角形, 则AEM1B1,2ADCBaAE,又因为面 面 ,所以 面 ,所以13Ba1E1M.2sin234aV20. 解：（1）由题意得
13、,解得 ,221,b24,1ab椭圆 的方程为 .E214xy（2）由（1）可知 ,设 ,直线 ,令 ,得 ；120,1A0Pxy011:yAx001Nxy直线 ,令 ,得 ；则02:yPx0M,而 ,20011OMNyyAA2 2220 0001,4, 44 1x xyxyOMNyA由切割线定理得 ,所以 ,即线段 的长度为定值 .2TONOTT21. 解：（1）因为 ,所以 ,又因为 ,所ln0gxx2,1xgg4g以切点为 ,故所求的切线方程为： ,即 .441yx30y（2）因为 ,故 在 上是增加的, 在 上是减少的,1xff011, 设 ,则 ,故 在 上是增max minlnf
14、ln2xG2lnxGG0,e加的, 在 上是减少的 , 故 ,所以,eax maxinef对任意 恒成立.l12fx0x22. 解：（1）因为 ,由于 为切线, 所以 .又由于,PGDPGDPDAB.由于 ,PDEABEA 90,690FEA故 为圆的直径.B（2）连接 、 ,由于 是直径, 故 ,在 和 中,BCDAB90DACBRtDAtCB, 从而 ,于是 ,又因为,ARtt,故 .由于 为直角.C,EPE于是 为直径 , 由（1）得 .EEAB23. 解：（1）曲线 的普通方程为 ；当 时, 直线 的参数方程 为参数), C21xy4l21(xty将 的参数方程代入 ,得 ,解得 ,所以 .l21xy230tt12,3tt1243ABt（2）直线 的参数方程代入得 ,l22cosincos0ttA,21222,0i1,1si1iPABt PA
