1、赣州市 20152016 学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试题 2016 年 1 月（考试时间 120 分钟. 共 150 分）第卷(选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数 2i1的共轭复数是A. 3 B.1i2 C. 3i2 D. 3i22. 2|450x， |x，则 ()RAB A ., B.(, C.1, D.1,3.等比数列 na中， 248S，则 6S A. 32 B.3 C. 2 D.264.已知命题 1:,log0pxx都 有 ，命题 :qxR，使得 x成立，则下
2、列命题是真命题的是 A. q B.p C. p D. pq5.从 3个英语教师和 5个语文教师中选取 4名教师参加外事活动，其中至少要有一名英语教师，则不同的选法共有 A. 1323155A B. 1323155C C. 37 D.433A 6.变量 ,xy满足约束条件201xy，则目标函数 zxy的最小值为 A.2 B.3 C.4 D.57.若 ,lmn是不相同的空间直线， ,是不重合的两个平面，则下列命题正确的是A . ,l B. m， lC.l， m， ， D. ,lnml 8.将函数 2sin()03yx的图像分别向左、向右各平移 3个单位后，所得的两个图像的对称轴重合，则 的最小值为
3、 A .3B. 4C.6D. 29.已知双曲线21(0,)xyab的一条渐近线的方程为 yx，则该双曲线的离心率为 A. 32 B. 62 C.3 D. 310.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为 65，则空白处应填入的条件是A . 9i B. 6i C. 9i D. 8i11.已知圆 O的半径为 2， ,AB是圆 O上任意两点，且 120AOB， PQ是圆 O的一条直径，若点 C满足 31R,则 C的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.612.已知函数 2()ln(,)gxmxn在 2x处取得极大值，则 m的取值范围为A. 1,0,8 B. 18 C.1,0(,)8 D.0,第
4、卷(非选择题，共 90 分)二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.102x)的展开式中 3x的系数为_.14.已知对任意 nN，点 2 211(,()nnnaa在直线 yx上,若 1， 0则 =_.1,3,5出 i=i+ 11(2)si 出 s i =1,s0 出 否 是15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .16.已知 ()fx是定义在 R上且周期为 4的函数，在区间 2,上，2,-0()1mfnx，其中 ,mn，若 13f，则 143()mxnd .三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17 （本小题
5、满分 12 分）已知函数 233()sincos022xfx（1）若函数 f图像的一条对称轴是直线 4，求函数 fx的最小正周期（2）在 ABC中，角 ,的对边分别为 ,abc，且满足 23Af， 1a，4求 b的值 18 （本小题满分12分）为了解某地脐橙种植情况，调研小组在该地某脐橙种植园中随机抽出 30棵，每棵挂果情况编成如图所示的茎叶图（单位：个）：若挂果在 175个以上（包括 175）定义为 “高产” ， 挂果在 个以下（不包括 ）定义为“非高产” （1）如果用分层抽样的方法从“高产”和“非高产”中抽取 5棵，再从这 棵中选 2棵，那么至少有一棵是“高产”的概率是多少?（2）用样本估
6、计总体，若从该地所有脐橙果树（有较多果树）中选 3 棵，用 表示所选3棵中“高产”的个数，试写出 的分布列，并求 的数学期望19.（本小题满分 12 分）已知四棱锥 PABCD中， 面 为矩形，面， 12AB， M为 P的中点，1 742110 865654320 99885421 9998771918171615PDSNM CBAN、 S分别为 ABCD、 上的点，且 14ANCSB.（1）证明： M；（2）求 与平面 所成角的余弦值20.(本小题满分 12 分)从抛物线 C： 2(0)xpy外一点 P作该抛物线的两条切线 PAB、 （切点分别为 AB、 ） ，分别与 轴相交于 CD、 ，若
7、 AB与 y轴相交于点 Q，点 0,4Mx在抛物线 上，且 6MF（ 为抛物线的焦点）.（1）求抛物线 的方程；（2）求证：四边形 PQ是平行四边形.21.(本小题满分 12 分)已知函数 lnfx（1）求函数 2gfx的图像在 1x处的切线方程（2）证明： l1（3）设 0mn，比较 fmfn与 2mn的大小，并说明理由请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上22.（本小题满分 10 分）如图， AB是圆 O的直径， C是半径 OB的中点， D是 B延长线上一点，且D
8、，直线 M与圆 相交于点 ,T（不与 ,A重合） ， N与圆 O相切于点 N，连结,CT（1）求证： O；（2）若 40B,，试求 DT的大小23.（本小题满分 10 分）NBCO DTMA已知曲线 C的极坐标方程是 24cos()103以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是cos()3intty为 参 数（1）将曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线 相交于 A、 B两点，且 |32A，求直线的倾斜角 的值24.（本小题满分 10 分）已知 ab、 为正实数，若对任意 0,x，不等式 21abx 恒成立.（1）求 的最小值；
9、（2）试判断点 1,P与椭圆21xyab的位置关系，并说明理由.赣州市 20152016 学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题15.C BDAB； 610.CADD A； 1112.CB.二、填空题13. 195； 14.2n； 5. 263； 16.8.三、解答题17.解： 23 1()sincossincos322xfx xsi63 分（1）由 ()42kZ得： 43k，因为 0，所以 435 分函数 fx的最小正周期为 2T6 分（2） sin36Af， A7 分又 4C， 26sini()sin34BA9 分由 iiab10 分所以 26sn2i3A12 分18.
10、解：（1）根据茎叶图，有 “高产” 1棵， “非高产 ”18棵，用分层抽样的方法，每棵被抽中的概率是 513062 分所以选中的“高产”有 126棵， “非高产”有 1836棵，用事件 A表示至少有一棵“高产”被选中，则2357()0CPA4 分因此至少有一棵是“高产”的概率是 1 （2）依题意，抽取 30棵中 2棵是“高产” ，所以抽取一棵是“高产”的频率为 3055 分频率当作概率，那么从所有脐橙果树中抽取一棵是“高产”的概率是 25，又因为所取总体数量较多，抽取 棵可看成进行 次独立重复试验，所以 服从二项分布 2(3,)5B6 分的取值为 0， 2， 3， 037()(1)2PC， 1
11、2354()()PC，26()55， 2859 分所以 的分布列如下： 023P27154615811 分所以 360222E（或 2635E）12 分19.解：证法一：（1）如图，取 AB中点 ，连接 MD、 1 分因为 MPB为 中 点 ，所以 /EP2 分ACD又 面 ，SN面所以 ，所以 3 分因为 12 ，所以 45AD4 分SFAB过 作 交 于N则，所以 NS所以 ED5 分FEPDSNM CBAEDM又 ， SN平面 EDM所以 S6 分证法二：设 1PA，以 为原点，射线 AB， ， P分别为 ,xyz轴正方向建立空间直角坐标系则 (0,) ， (,10) ， 1(,)2，
12、(,0)N， 3(10)2S3 分（1）证明： ,2D， ,SN4 分因为 1+0SNM5 分所以 6 分(2) (,)2，设 (,)nxyz为平面 DM的一个法向量，则 0DnN，所以102xy8 分取 2x，得 (,1)9 分设 S与平面 M所成角为 |20|31sin|co,5SNn10 分1011 分所以 S与平面 DM所成角的余弦值为 1012 分20. 解：（1）因为 462pF所以 4p，即抛物线 C的方程是 8xy3 分（2）由 28xy得2， 44 分设221,AB，则直线 P的方程为 21184xyx， 5 分GB 2B1y xF2F1P NMOzyxFEPDSNM CBA
13、则直线 PB的方程为 2284xyx，6 分由和解得： 1212,，所以 121,8xP7 分设点 0,Qt，则直线 AB的方程为 ykt8 分由28xykt得 280xkt 则 1212,t9 分所以 4Pkt，所以线段 PQ被 x轴平分，即被线段 CD平分，在中，令 0y解得 12，所以 1,0，同理得 2,0x，所以线段 CD的中点坐标为 12,4x，即 ,k10 分又因为直线 PQ的方程为 2tyx，所以线段 CD的中点 2,0k在直线 PQ上，即线段 CD被线段 平分11 分因此，四边形 是平行四边形12 分21. 解：(1) 因为 ln21gxx所以 12x， 1 分又因 4，所以
14、切点为 ,42 分故所求的切线方程为： 1yx，即 30yx3 分（2）因为 1fx，故 f在 0,上是增加的，在 1, 上是减少的，malnf， min|x4 分设 Gx2，则 21lG，故 Gx在 0,e上是增加的，在 ,e 上是减少的，故 max12e，minax|Gf所以 l12对任意 0,x恒成立 7 分（3） lnln1,mff21nm0mn， 10 ,故只需比较 ln与 m的大小8 分令 tn，设 211llttGt ，则 3243 22111ttttt9 分因为 t，所以 ()0Gt，所以函数 ()Gt在 ,上是增加的，故 ()110 分所以 t对任意 t恒成立11 分即1lnm,从而有 21ffnm12 分22.证明：（1）因 MD与圆 O相交于点 T，由切割线定理 2NT， 2NDBA2 分得 ABT3 分设半径 0Or，因 ，且 2rCO，则 23D， 32r3 分所以 TMC4 分所以 O5 分（2）由（1）可知， DOT，且 CDMT7 分故 DT ，所以 8 分
