1、赣州市 20162017 学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， .若 ，则 的取值范围为（ ）2|650Ax|1BxaABaA B C D(0,),)(4,)4,)2.已知复数 （其中 ， 为虚数单位）是纯虚数，则 的模为（ ）iaRi iA B C5 D52 53.已知变量 成负相关，且由观测数据算得样本平均数 ， ，则由该观测数据算得的线性回,xy 3x.5y归方程可能是（ ）A B C D 0.42.32.4yx29.0.4yx4
2、.已知 为 内一点，且 ， ，若 三点共线，则 的值为（ OC1()AOADt,BOt）A B C. D14132235.若双曲线 的渐近线与圆 相切，则该双曲线 的离心率2:(0,)xyCab2430xyC为（ ）A B2 C. D233236.中国古代数学著作算法统综中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一个走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ）A 48 里 B24 里 C.12 里 D6 里7.函数
3、的图象大致是（ ）sin(0)l|xyA B C. D8.如图，有一建筑物 ，为了测量它的高度，在地面上选一长度为 的基线 ，若在点 处测得OP40mAB点的仰角为 ，在 点处的仰角为 ，且 ，则建筑物的高度为（ ）P30453AOBA B C. D20m20m20340m9.阅读如下程序框图，如果输出 ，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）5kA B C. D25S26S25S24S10.将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，若 在()cosfx34()ygx()ygx上为减函数，则正实数 的最大值为（ ）,46A B1 C. D32211.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过
4、点 的直线交抛物线于 两点（ 在第一象限），2:4CyxFlF,AB过点 作准线 的垂线，垂足为 ，若 ，则 的面积为（ ）lE60AAEA B C. D4323432312.设函数 是函数 的导函数， ，且 ，则 的解()fx()fxR(0)1f1()()fxf4()fx集为（ ）A B C. Dln4(,)3ln2(,)33(,)2(,)3e第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.在 的展开式中，含 项的系数为 1027()x2x14.如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为 15.已知非零常数 是函数 的一个零点，
5、则 的值为 tanyx2(1)cos)16.已知数列 的前 项和 ，若 ，则 naS1()n40S三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， .ABCCabc22cabc（1）证明： 是正三角形；ABC（2）如图，点 的边 的延长线上，且 ， ，求 的值.D2BCD7AsinBAD18. （本小题满分 12 分）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征.教育部考试中心确定了 2017 年普通高考部分学科
6、更注重传统文化考核.某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取 80 名同学的成绩，然后就其成绩分为 五个等级进行数据统计如下：ABCDE、 、 、 、根据以上抽样调查数据，视频率为概率.（1）若该校高二年级共有 1000 名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为 的人数；B（2）若等级 分别对应 100 分、80 分、60 分、40 分、20 分，学校要求“平均分达 60 分ABCDE、 、 、 、以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为 的学生中，按分层抽样抽取 7 人，再从中任意抽取
7、3 名，AB、求抽到成绩为 的人数 的分布列与数学期望.X19. （本小题满分 12 分）如图甲所示， 是梯形 的高， ， ， ，现将梯形 沿BOACD451OC3DOABCD折起如图乙所示的四棱锥 ，使得 ，点 是线段 上一动点.PB3PEPB（1）证明： 和 不可能垂直；DEPC（2）当 时，求 与平面 所成角的正弦值.2BDE20. （本小题满分 12 分）已知圆 ，经过椭圆 的左、右焦点 ，且与椭圆 在第2219:()4Exy2:1(0)xyCab12,FC一象限的交点为 ，且 三点共线，直线 交椭圆 于两点 ，且 .A1FE， ， lMN， (0)OA（1）求椭圆 的方程；C（2）当
8、 的面积取到最大值时，求直线 的方程.MNl21. （本小题满分 12 分）已知函数 .()ln2,fxaxR（1）若函数 存在与直线 平行的切线，求实数 的取值范围；y0ya（2）设 ，若 有极大值点 ，求证： .21()gxfx()g1x12lnx请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 的方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 是参数，xOy1l3yxC13cosinxy）.以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.0x（1）分别写出直线 与曲线 的极坐标方程；1lC（2）
9、若直线 ，直线 与曲线 的交点为 ，直线 与 的交点为 ，求2:sin()301lCA1l2B.|AB23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设实数 满足 .,ab29（1）若 ，求 的取值范围；|9|1|3a（2）若 ，且 ，求 的最大值.,02zbz赣州市 20162017 学年度第一学期高三理科数学参考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B C B B C A D D B A B12.提示：观察 3()3fx，由已知可设函数 3()2e1xf.二、填空题：13.45； 14. 8； 15. 2； 16. 40.16.提示：由
10、条件得 51941,aa ，401234041()()()S 2()2.三、解答题17.解：（1）由 22abcabc得2()()()0b3 分所以 ，所以 4 分即 ABC是正三角形5 分（2）因为 是等边三角形， 2BCD，所以 D， 10Ao7 分所以在 中，由余弦定理可得： 22cosACDA，可得 2744csCo，解得 19 分在 AB中， 3，由正弦定理可得 sin321sin47DB12 分18.解：（1）由于这 80人中，有 名学生成绩等级为 B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为 的概率为 38022 分则该校高二年级学生获得成绩为 B的人数约有 153 分（2）由于这 8
11、0名学生成绩的平均分为:1923160246094 分且 56，因此该校高二年级此阶段教学未达标6 分（3）成绩为 A、 B的同学分别有 9人， 1人，所以按分层抽样抽取 7人中成绩为 A的有 3人，成绩为 B的有 4人7 分则由题意可得：0347C()5PX，1237C8()5PX，21347C()5PX，3047C1()5PX10 分所以 81290E12 分19.解：如图甲所示，因为 BO是梯形 AD的高， 45BA，所以 AO1 分因为 1BC， 3D，可得 3， 2C2 分如图乙所示， 1P， 2， P，所以有 22，所以 O3 分而 O， ，所以 平面 D4 分又 BD，所以 B、
12、 、 两两垂直故以 为原点，建立空间直角坐标系（如图）， 则 (0,1)P， (,0)C， (,3)5 分 zyx OE DCBP（1）设 (,01)Ex其中 1，所以 (,31)Ex， (1,)PC，假设 D和 S垂直，则 0EP，有 0，解得 2x，这与 矛盾，假设不成立，所以 D和 SC不可能垂直6 分（2）因为 2PB，所以 21(,)37 分设平面 CE的一个法向量是 ,nxyz，因为 (1,0)D， ()，所以 0nC， DE，即23xyz9 分取 (,15)n10 分而 (0,31)PD，所以 3cos,15PDn所以 与平面 CE所成角的正弦值为 12 分20（1） Oy xF
13、2F1 AE如图，圆 E经过椭圆 C的左、右焦点 1， 2F，所以 2219(0)4c，解得 c1 分因为 1F， ， A三点共线，所以 1A为圆 E的直径， 所以 22 分因为 221F，所以 24aA 所以 4 分由 22bc，得 所以椭圆 C的方程为214xy5 分（2）由（1）得，点 A的坐标为 (,)，因为 (0)MNOA所以直线 l的斜率为 2，设直线 l的方程为 2yxm6 分联立 214yxm，得 220x7 分设 12(,)(,)MxyN，由 2()4()m，得 2m因为 21m所以 2213MNkxm9 分又点 A到直线 l的距离为 6d，21123MNS24(4)m10
14、分当且仅当 ，即 2时，等号成立11 分所以直线 l的方程为 yx或 2yx12 分21（1）因为 1()2,0fa1 分因为函数 yx存在与直线 xy平行的切线，所以 ()2f在 (0,)上有解2 分即 1ax在 上有解，也即 12ax在 (0,)上有解，所以 ，得 1故所求实数 的取值范围是 (,)4 分（2）因为 2()ln2gxfxxa因为 11a5 分当 a时， ()gx单调递增无极值点，不符合题意6 分当 或 时，令 0，设 210xa的两根为 1x和 2，因为 1x为函数 ()的极大值点，所以 1，又 22,a，所以 ,，所以 11()0gxx，则21xa8 分要证明 21lna
15、，只需要证明 211ln因为3311 11ll ln2xxxx x， 10，令3()ln2h， (0,)9 分所以231()lnxh，记231()lnxp， (0,1)x，则2px当 30时， ()0p，当 31x时， ()0px，所以 max()1lnp，所以 h11 分所以 h在 0,上单调递减，所以 ()10x，原题得证 12 分22（1）直线 1l的极坐标方程为 32 分曲线 C的普通方程为 2()xy，又 cos,inxy，所以曲线 的极坐标方程为 s205 分（2）设 1(,)A，则有2c3，解得 12,37 分设 2(,)B，则有2sin()03，解得 22,39 分所以 12|5A10 分23.(1) 由 9ab得 b，即 |92|ab，所以 |3，解得 2，所以 的取值范围 (,)5 分(2) 因为 ,0ab, 所 2332)()7ababzab 当且仅当 3时，等号成立故 z的最大值为 710 分（注：也要可用导数求解）
