1、专题十五 数系的扩充与复数的引入 目 录CONTENTS考点 数系的扩充与复数的引入1考点 数系的扩充与复数的引入必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力必备知 识 全面把握(1)复数形如 a bi(a， b R)的数叫做复数，复数通常用字母 z表示，即 z abi(a， b R) 全体复数构成的集合叫做复数集 ，一般用大写字母 C表示其中 a， b分别叫做复数 a bi的实部与虚部考点 数系的扩充与复数的引入1复数的有关概念(2)复数的分类复数 a bi(a， b R)， 时为实数； 时为虚数， 时 为纯虚数，即复数 a bi(a， b R)(3)复数相等如果两个复数的 实部和
2、虚部分别相等 ，那么我们就说这两个复数相等如果 a， b， c， d R， 那么 .特别地，考点 数系的扩充与复数的引入1复数的有关概念两个实数可以比较大小，但对于两个复数，如果不全是实数，就只能说相等或不相等，不能比较大小(4)共轭复数当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为 共轭复数虚部不等于 0的 两个共轭复数也叫做互为共轭虚数 复数 z的共轭复数用 表示，即如果 z a bi，那么 a bi(a， b R)共轭复数 z a bi(a， b R)的性质：考点 数系的扩充与复数的引入1复数的有关概念(1)复平面直角坐标系中，表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴， y轴叫
3、做虚轴 实轴上的点表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 x轴的单位是 1， y轴的单位是 i.复数集 C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数 z a bi一一对应复平面内的点 Z(a， b)考点 数系的扩充与复数的引入2复数的几何意义8(2)复数的表示代数表示 ：把复数 z表示成 a bi(a， b R)的形式，叫做复数的代数形式复数的向量表示 ：设复平面内的点 Z表示复数 z a bi.连接 OZ，则向量 由点 Z唯一确定；反过来， 点 Z(相对于原点来说 )也可以由向量 唯一确定，即复数 z a bi一一对应平面向量 考点 数系的扩充与复数的引入2复数的几何意义9考点
4、数系的扩充与复数的引入2复数的几何意义(3)复数的模设复数 z a bi(a， b R)对应的向量为 ，向量 的 模 r叫做复数 z abi(a， b R)的模 (或长度 )，记 作 或 .由模的定义可知 |z| |a bi| r (显然 r0， r R)当 b 0时，复数 a bi表示实数 a，此时 r |a|.复数的模的性质 设 z1， z2是任意两个复数，则 | z1 z2 | | z1 | | z2 |， (| z2 |0) 10(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 a bi， c di(a， b， c， d R)，则 加法： (a bi) (c di) (a c) (b d)i； 减
5、法： (a bi) (c di) (a c) (b d)i； 乘法： (a bi)(c di) (ac bd) (ad bc)i； 除法： (c di0)考点 数系的扩充与复数的引入3复数的运算复数除法的实质是分母实数化，在进行复数的除法运算时，先将两复数的商写成分式，再把分子与分母同乘分母的共轭复数，然后化简得到结果，这一过程叫做分母 “ 实数化 ”( 类比于根式除法中的分母 “ 有理化 ”)11(2)复数的运算定律复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律 ，即对任意 z1， z2 ， z3 C， 有 z1 z2 z2 z1 ， (z1 z2) z3 z1 (z2 z3)考点 数系的扩
6、充与复数的引入复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律 ，即对 任意 z1 ， z2 ， z3 C，有 z1 z2 z2 z1(交换律 )； (z1 z2) z3 z1 (z2 z3)(结合律 )； z1(z2 z3) z1 z2 z1 z3(分配律 ).12核心方法 重点突破方法 1 复数的有关概念求解 (1)复数的实部、虚部和复数的分类都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，解题时一定要先看复数是否为 a bi(a， b R)的形式，以确定实部和虚部若不是，则先把复数化为 z a bi的形式，其中 a为实部， b为虚部，由此可以写出复数的实部或虚部，切记
7、虚部包含它前面的负号 考点 数系的扩充与复数的引入(2)根据复数是实数或纯虚数，求参数值时，只需将复数化为标准形式，再列出实部、虚部满足的方程 (组 )或不等式 (组 )即可13例 1. 安徽六安一中 2018考前模拟 已知 为纯虚数， a R，则 (a i) 的 虚部为 ( )A 1 B 1 C 2 D 2【解析】方法一：复数 z = 为 纯虚数， a2. (a i) (2 i)( i) 1 2i ，则 (a i) 的虚部为 2.【答案】 C考点 数系的扩充与复数的引入方法 1 复数的有关概念求解 方法二： 为纯虚数， 设 ti(t R， t0)则 2 ai ti ti2 ti t.由两复数
8、相等可知 故 a 2. (a i) (2 i)( i) 1 2i ，则 (a i) 的虚部为 2.14考点 数系的扩充与复数的引入方法 2 复数 相等与共轭复数 (1)求一个复数的共轭复数，首先将此复数整理成标准代数形式，然后其实部不变，虚部变为相反数 ，即得原复数的共轭复数(2)复数相等的 充要条件是 两个复数的 代数形式的实部与实部相等、虚部与虚部相等 ，所以可按以下步骤解决与复数相等有关的问题：第一步，先根据复数的运算法则，把两个相等的复数都化为标准的代数形式；第二步，根据复数相等的充要条件，列出相关方程 (组 )，把复数问题转化为实数问题进行求解15例 2、 山东、湖北部分重点中学 2
9、018冲刺模拟 已知 z是纯虚数，若 (m 2i)z 2 3i，则实数 m _【解析】设 z ai(a R且 a0)，由 (m 2i)z 2 3i，得 (m 2i)ai2a mai 2 3i， 解得 m 3.【答案】 3考点 数系的扩充与复数的引入16【解析】由 z 得 z i.所以 i.故选 A.【答案】 A考点 数系的扩充与复数的引入例 3、若 复数 z ， 为 z的共轭复数， 则 ( )A.i B i C D17考点 数系的扩充与复数的引入方法 3 求 复数的模 (1)求复数的模时，可直接根据复数的模的公式 |a bi| 和性质|z1z2| |z1|z2|， (|z2|0)进行计算(2)
10、已知复数的模求解相关量时，一般先根据复数的运算法则把复数化为标准的代数形式，再根据题目中关于复数的模的条件建立相应的关系式，或根据复数的模的定义，把问题转化为实数问题进行解决考点 数系的扩充与复数的引入例 4、 宁夏银川一中 2018第四次模拟 若 z1 1 2i， z2 1 i，则|z1z2| ( )A 6 B. C. D.【解析】方法一： z1 1 2i， z2 1 i， z1 z2 (12i)(1 i) 1 2i i 2i2 3 i. | z1 z2 | . 方法二： z1 1 2i， z2 1 i， | z1 z2 | |1 2i|1 i| .【答案】 B19考点 数系的扩充与复数的引
11、入方法 4 对 复数几何意义的理解与应用 (1)复数 z、复平面上的点 Z及向量 三者间的联系，即据此 可知，确定复数对应的点所在的位置，只要将复数化为代数形式后，根据对应点 Z的坐标确定即可，反之，根据 Z的坐标即可写出复数 z.特别地， 复数与其共轭复数在复平面上对应的点关于实轴对称 (2)由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直接20例 5、 湖北八校 2017联考 (二 )已知复数 z 则 z在复平面内对应的点在 ( )A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【解析】 z z 1 3i
12、在复平面内对应的点为 ( 1， 3)，它位于第三象限【答案】 C考点 数系的扩充与复数的引入21考点 数系的扩充与复数的引入方法 5 有关 复数的四则运算求解 (1)复数的运算技巧 设 z a bi(a， b R)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法 在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法法则需分母实数化(2)复数代数运算中常用的几个结论22【解析】 z i ( 2i3 z)i 2 zi， (1 i)z 2 i， ， z ， z 1 ， |z 1| 故 选 B.【答案】 B考点 数系的扩充与复数的引入例 6、 河南省实验中学 2017联
13、考 (六 )若复数 z满足 则 |z 1| ( )A. B. C. D.123考法例析 成就能力考法 1 复数的代数运算例 1、 课标全国 20172 设复数 z满足 (1 i)z 2i，则 |z| ( )A. B. C. D.2【答案】 C考点 数系的扩充与复数的引入【解析】方法一： z |z| . 方法二：令 z a bi(a， b R)，则 (1 i)(a bi) 2i，展开得 (a b) (a b)i 2i， a b 1. z 1 i.| z| . 24考法 2 复数的 几何意义考点 数系的扩充与复数的引入例 2、 北京 20172若复数 (1 i)(a i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a的取值范围是 ( )A ( ， 1) B ( ， 1) C (1， ) D ( 1， )【解析】因为 (1 i)(a i) a ai i 1 (1 a) (1 a)i，该复数在复平面内对应的点在第二象限，所以 所以 a 1，即实数 a的取值范围是 ( ， 1)故选 B.【答案】 B25考点 数系的扩充与复数的引入考法 3 复数 相等例 3、 浙江 201712已知 a， b R， 3 4i(i是虚数单位 )，则 a2 b2 _， ab _.【解析】 且 ab 2， 解得 ab 2.【答案】 5 2
