1、主讲：张文俊,数学欣赏,数学欣赏A,数学概览主讲：张文俊,深圳大学数学学院 2006年9月,A Survey on Mathematics,SZU,In this Chapter,第一节 数学及其发展,,,数学 是什么,数学分 支发展,数学的 分类,主要 内容,数学发 展轨迹,,地王大厦有多高？,,地王大厦有多高？,文学家：巍然屹立、高大宏伟、高耸入云 物理学家：拿根绳子去量一量 数学家： 类比：选取标尺，然后利用标尺与大厦投影的长度及相似原理，准确地测量出大厦的高度； 转化：利用直角三角形直角边长与其对角的依赖关系，把大厦高度的测量转化为对仰视角的测量。,,名人语录,任何一门科学，只有当它用
2、到数学时，才能得到真正完善的发展。 Karl Marx数学是打开科学大门的钥匙。Rogen Bacon数学是我们时代有势力的科学，它不声不响地扩大它所征服的领域；那种不用数学为自己服务的人将会发现数学被别人用来反对他自己。 J. F. Herbart,数学的是什么？,1,,一、数学是什么 ？,19世纪时由恩格斯给出的定义数学是研究现实世界的数量关系和空间形式（简称：数与形）的科学按照恩格斯所说，数与形是数学的两大基本柱石之一。整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的。,,一、数学是什么 ？,代数数量关系的科学，有序思维占主导，培养计算与逻辑思维能力； 几何空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉
3、能力和洞察力； 分析数形关系的科学，量变关系占主导，函数为对象、极限为工具，培养周密的逻辑思维能力和建模能力。,,一、数学是什么 ？,20世纪初的定义数学是研究模式与秩序的科学数学研究的基本对象是各种各样的集合以及在它们上面赋予的各种结构。,,一、数学是什么 ？,数学中基本的集合包括： 各种数的集合； 各类图形； 各类函数； 各种空间； 一般的抽象集合等 ,,一、数学是什么 ？,数学中的基本结构有三种： 代数结构（反映“合作”关系的各种运算及其算律）; 顺序结构（反映对比关系的大小、先后，反映隶属关系的蕴涵）; 拓扑结构（反映亲疏程度与规模大小的距离）。,,一、数学是什么 ？,,一、数学是什么
4、 ？,,一、数学是什么 ？,比如：,,一、数学是什么 ？,集合与结构的建立与组合有其特有的原则和方法，这体现为数学的独特思考方式。这些方式包括：,模型化,最优化,公理化,抽象化,符号化,类比,化归,分类,,一、数学是什么 ？,这些是数学体系的特征，也是数学能力的体现。它们保证了 数学体系的简洁性与严谨性 数学结论的可靠性与普适性 数学方法的有效性与便利性 数学思想的科学性与深刻性,,一、数学是什么 ？,分类研究是数学研究中的重要思想，比如，数学中许多对象是通过定义引入的，这种“定义”的方法，本质上是对事物进行分类的手段，它把符合某种性质的事物划为一类，深入研究其基本性质。,,一、数学是什么 ？
5、,化归方法是数学中的重要方法。这一方面表现在处理数学问题的过程中，将复杂对象或陌生对象化归为更熟悉的简单对象；另一方面也表现在数学的结论中，数学中许多结论都表现为对一种数学对象的多个等价刻画，数学中的“充分必要条件”是描述这一现象的典型语句，它本质上也是对数学对象性质的化归。,,一、数学是什么 ？,类比方法也在数学中扮演着极为重要的角色，许多陌生对象的性质和研究方法都来自于数学家的类比思想。,,一、数学是什么 ？,抽象化与符号化是数学的重要特征，它使得数学概念脱离了事物的物质属性，形式简洁、内涵丰富、应用广泛。,,一、数学是什么 ？,公理化方法使数学丰富的理论建立在最简单明了的、不容怀疑的事实
6、基础之上，容易明辨是非。比如，几何学的正确性归结于诸如“等量加等量，总量仍相等”等公理体系的正确性。公理化方法也是数学逻辑严密性的一种表现。在人类的每一个认识领域，当经验知识积累到相当数量时，就需要进行综合、整理，使之条理化、系列化，从而形成新的概念理论以更新系统，以实现认识从感性阶段到理性阶段的飞跃。从理性认识的初级水平发展到高级水平，又表现为抽象程度更高的公理化体系。,,一、数学是什么 ？,最优化是数学追求的目标之一； 模型化是人类将实际问题转化为数学问题的重要手段；二者都为人类圆满地解决实际问题发挥了重要作用。,,一、数学是什么 ？,新世纪人们对数学的新认识：“方法”或“工具” “思维”
7、 “数学思维”；“学科” “文化”“数学文化”；“知识” “素质”“数学素质”。,,一、数学是什么 ？,“数学思维”是一种能够通过分析、类比等方法从众多的事物现象中归纳出其共性和本质性的抽象性思维，一种能够从已知事理中推知未知事理的逻辑性思维，一种敢于突破常规、勇于创新的创造性思维，一种用数学方法模拟与验证现实世界的模式化思维。,,一、数学是什么 ？,“数学文化”是现代科技文化的核心，是现代科技的形式语言，是理性主义观念。 “数学素质”则是具有“数学思维”能力和运用数学思想方法解决实际问题的能力的一种特殊素质。,数学的分类,2,,二、数学的分类,从纵向划分： 初等数学和古代数学； 变量数学；
8、近代数学； 现代数学。,,二、数学的分类,初等数学和古代数学： 古希腊时期建立的欧氏几何学； 古代中国、古印度和古巴比伦时期建立的算术； 欧洲文艺复兴时期发展起来的代数方程等。初等数学又叫常数数学。,,二、数学的分类,变量数学：是指17-19世纪初建立与发展的数学。 起点：解析几何； 标志：微积分（数学分析）； 特点：数形结合，引入了变量，可以研究运动。,,二、数学的分类,近代数学：是指19世纪的数学。 主要特征： 分析的严密化; 代数的抽象化; 几何的非欧化。,,二、数学的分类,现代数学：是指20世纪的数学。 起点：1900年Hilbert提出的23个未解决的数学问题； 特点：学科分支增多，
9、交叉增强(如：代数拓扑、微分拓扑、代数几何等）； 基础：Cantor的集合论。,,二、数学的分类,现代数学的三大趋势： 交错发展、高度综合、逐步走向统一的趋势； 边缘、综合、交叉学科与日俱增的趋势； 数学表现形式、对象和方法日益抽象化的趋势。,,二、数学的分类,现代数学的六大特征： 从单变量到多变量，从低维到高维； 从线性到非线性； 从局部到整体，从简单到复杂； 从连续到间断，从稳定到分岔； 从精确到模糊； 计算机的应用。,,二、数学的分类,从横向划分： 基础数学（理论、纯粹数学）（代数、几何、分析，三大分支） 应用数学 计算数学 概率统计 运筹与控制论,,二、数学的分类,做出以上的分类方法是
10、按照中国几十年的惯例进行的。 耶鲁大学计算机科学教授拉斯兹洛（Lszl Lovsz）在ICM98上载文“只有一个数学不存在划分数学的自然方法”，从数学的三个新趋势：规模的扩大、应用领域的扩大、计算机工具的介入，说明试图寻找对数学的科学分类是徒劳的。比如，他说：,,二、数学的分类,没有一个领域能够退回到它的象牙塔里而对应用关上大门；也没有一个领域可以宣称自己是应用数学。,数学分支发展概观,3,,三、数学分支发展概观,按照恩格斯关于数学研究对象的论述，数学大体上分为三类：代数学、几何学、分析学。这其实包含了经典数学的基本分支。 经典数学研究的是事物的确定的数量关系和空间形式，康托的经典集合论是其理
11、论基础。,,三、数学分支发展概观,然而，现实生活中的事物并非全都如此，它们既有确定性现象，也有随机现象，还有模糊现象，更有可变化的事物现象，因此相应地就产生了研究随机现象的随机数学，研究模糊现象的模糊数学，研究可变现象的可拓数学。,,三、数学分支发展概观,1 几何学通论 几何学就是人类文明对空间本质的“认识论”；宇宙中的所有事物皆存在于其中、发生于其内，并永远受着空间本质的制约与孕育；而空间既完美又简朴的本质则是孕育着宇宙万物万象中至精至简的根源。几何学的目的就是去研究、理解空间的本质，它是我们认识大自然、理解大自然的自然起点和基石所在；也是整个自然科学的启蒙者和奠基者；是种种科学思想和方法论
12、的自然发祥地。,,三、数学分支发展概观,研究对象:诸如“几何物体”和图形的几何量，是空间形式的抽象化; 研究内容:各种几何量的关系与相互位置; 研究方法:实验方法、思辨方法、解析方法.,,三、数学分支发展概观,欧几里得几何学 在承认某些自明的公理的前提下，按照严密的演绎推理方法，一层一层地建立起来的一套系统严密的几何学知识体系。,,三、数学分支发展概观,解析几何 1637年，法国数学家笛卡尔引入了坐标的观念，实现了数形结合，创立了解析几何，使得人们可以用代数方法研究几何问题，实现了数学的两大分支代数与几何的联系。 两个重要观念：点、数联系的坐标观念，曲线的方程表示观念。,,三、数学分支发展概观
13、,向量几何 也叫向量代数，该学科产生于十九世纪中叶，是由德国数学家哈密尔顿（W. R. Hamilton ,18051865）和格拉斯曼（H. G. Grassmann，18091877）等创立的。向量几何是不依赖于坐标系的解析几何，是坐标几何的返璞归真和精益求精，它使得几何和代数结合得更加真切自然、直截了当。,,三、数学分支发展概观,分形几何 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）在1975年首先提出的，被誉为大自然的几何学。这是现代数学的一个新分支，其本质是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成；它承认世界的局部可能在一定条件下
14、、一定过程中、在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性；它承认空间维数的变化既可以是离散的，也可以是连续的。,,三、数学分支发展概观,2 代数学大观 代数学是研究数的科学，起源于古代中国和古埃及。早期的代数学其实是研究数的运算的，因此叫做算术。“代数学”一词源自于拉丁文algebra （公元12世纪之后），但它又是从阿拉伯文“还原与对消”（al-jaber walmuqabala）（公元820年左右）或“方程的科学”变化而来。,,三、数学分支发展概观,代数学的符号化 第一阶段是文字代数学，其主要标志是，代数书全部由文字表述。 第二阶段是简写代数学，其主要标志是，采
15、用以速记为目的的简写形式表示数量、关系与运算。 第三阶段是符号代数学。法国数学家韦达（Viete, Francois. 15401603）对代数学符号化的发展作出了重要贡献。,,三、数学分支发展概观,初等代数学 初等代数是代数学的古典部分，它是随着解方程与方程组而产生并发展起来的，是研究数字和文字的代数运算理论和方法的科学，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。,,三、数学分支发展概观,初等代数的中心问题是研究方程或方程组的解的存在性、解的个数、解的结构问题，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学。,,三、数学分支发展概观,初等代数的基本对象
16、包括： 三种数有理数、无理数、复数； 三种式整式、分式、根式。,,三、数学分支发展概观,初等代数的中心对象 方程整式方程、分式方程、根式方程和方程组。,,三、数学分支发展概观,初等代数的基本内容 代数式的运算和方程的求解，其中代数运算的特点是只进行有限次的运算。,,三、数学分支发展概观,初等代数运算十条规则： 五条基本运算律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律）； 两条等式基本性质（等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变）； 三条指数律（同底数幂相乘，底数不变指数相加；指数的乘方等于底数不变指数相乘；积的乘方等于乘方的积）。,,三、数学分支
17、发展概观,高等代数学 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数、多项式代数。,,三、数学分支发展概观,线性代数的研究对象是线性方程组，研究内容是线性方程组解的存在性、解的个数、解的结构问题，研究工具包括矩阵、行列式等。围绕线性方程组的这些核心问题，线性代数不仅要研究数，数的运算，还有矩阵、向量、向量空间的运算以及变换等。,,三、数学分支发展概观,多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。,,三、数学分支发展概观,3 分析学大意 分析学是指以微积分学为
18、基本内容的数学分支的全称，包括微积分学、微分方程、复变函数、实变函数、泛函分析等。这里我们只介绍微积分等几个基础分支学。,,三、数学分支发展概观,微积分学简单地来说，微积分学是微分学和积分学的总称，其 研究对象是函数； 研究工具是极限； 研究内容包括函数的微分、积分，以及联系微分与积分的桥梁微积分基本定理。,,三、数学分支发展概观,4 随机数学一瞥 在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类：一类是确定性现象，另一类是不确定性的现象，这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。这种现象叫做偶然现象，
19、或者叫做随机现象。,,三、数学分支发展概观,从表面上看，随机现象似乎是杂乱无章、没有什么规律的现象。但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性，叫做统计规律性。概率论和数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科，统称为随机数学。,,三、数学分支发展概观,5 模糊数学概览 现实生活中有许多模糊现象，比如，秃子、年轻、高个子、胖子、干净，好、漂亮、善、热、远等。模糊数学就是研究如何处理与把握这些模糊现象的科学，其基础是1965年美国控制论专家、数学家查德（Zadeh, L.A.1921）引入了模糊集合的概念。模糊集合描述事物“是”与“非”的程度。,,三、数
20、学分支发展概观,6 可拓学中国人自己创立的新学科 全世界有2000多门学科，而中国人自己创立的则很少。以研究解决矛盾问题的规律和方法为内容的新兴学科可拓学，是由广东工业大学蔡文研究员创立的。蔡文先生引进了物元的概念，它是包括事物的名称N、特征C和关于此特征的量值V的有序的三元组R=（N，C，V）。,,三、数学分支发展概观,可拓学有两个理论支柱，一个是研究物元及其变化的物元理论，一个是建立在可拓集合基础上的可拓数学。 物元理论着重研究物元的可拓性，物元的可变性，借以探索事物变化的过程，寻求解决问题的方法。所谓物元的可拓性，即可开拓性，是指事物变化的多种可能性，包括发散性、可扩性、共轭性和相关性。
21、所谓物元的可变性，即可变换性，是指在一定条件下，物元的要素（事物、特征和量值）的变换或分解。,,三、数学分支发展概观,可拓数学是对应用数学的发展，它是建立在可拓集合的基础上的。在现实世界中，事物是可变的，事物具有某种性质的程度也是可变的，因此，“是”与“非”及其程度都是可以转换的。蔡文先生在1983年引入的可拓集合概念，兼顾了这些因素。在此基础上，建立了可拓数学，从经典数学对数量关系和空间形式的研究发展到对物元关系和物元空间形式的研究，以矛盾问题的转化为研究对象，成为可拓学的一大理论支柱。应用可拓数学，使人们能够定量研究自然科学、社会科学和工程技术中的各种矛盾问题。,数学形成与发展的因素与轨迹
22、,4,,四、数学形成与发展的因素与轨迹,陈省身说： 大致说来，数学和其他科学一样，它的发展基于两个原因： （1）奇怪的现象； （2）数学结果的应用。 结果把奥妙变为常识，复杂变为简单，数学便成为科学的有利而不可缺少的工具。,,四、数学形成与发展的因素与轨迹,1. 数学的形成与发展的因素实用的、科学的、哲学的和美学的因素，共同促进了数学的形成与发展。,,四、数学形成与发展的因素与轨迹,第一动力：解决因社会需要而直接提出的问题。这为人类认识与改造自然提供了工具与方法。初等数学的欧几里德几何学、代数方程以及高等数学的概率论、运筹学等，都是为解决实际问题而产生与发展的。,,四、数学形成与发展的因素与轨
23、迹,第二动力：提供自然现象的合理结构。数学的概念、方法和结论都是物理学的基础。这些学科的成就的大小取决于它们与数学结合的程度。图论、拓扑学、微分几何、复变函数等都是因此而产生的。,,四、数学形成与发展的因素与轨迹,第三动力：智力方面的好奇心和对纯思维的强烈兴趣。数论、非欧几何、射影几何等都在很大程度上受这一动力的影响。,,四、数学形成与发展的因素与轨迹,第四动力：对美的追求。数学除了其完美的结构美以外，在证明和得出结论的过程中，所运用的想象和直觉也为创造者提供了高度的美学上的满足。数学美几乎体现在数学的每一个分支中。,,四、数学形成与发展的因素与轨迹,2. 数学发展的轨迹 数学发展的基本模式是
24、：具体抽象具体。从具体事物、现象（具体）出发，提炼出能够反映其本质的结构（抽象）进行研究，研究的结果再返回到（更多、更广泛的）具体事物、对象（具体）中。,,四、数学形成与发展的因素与轨迹,在提炼与实现数学结构过程中，猜想与证明是两大基本支柱：数学结论的孕育有赖于猜想，数学结论的确立离不开证明。,,四、数学形成与发展的因素与轨迹,数学发展的基本思路： 特殊的东西，加以推广，以便适用更广； 一般的东西，给予特殊化，以求更好结果； 复杂的东西，加以分解，以求各个击破； 零散的东西，加以组合，以求全貌； 陌生的东西，类比熟知，通过已知研究未知。,,四、数学形成与发展的因素与轨迹,3. 数学发展的启示
25、龚升教授在他的微积分五讲中强调: 数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着。这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。数学科学发展的这种特点是根深蒂固的。,第二节 数学的价值,,,数学的 特点,美学 价值,文化 价值,主要 内容,教育 价值,起死回生的问题,引子,,起死回生的问题,从前有一个国王，非常爱惜人才，即使是对囚犯也不例外。国王规定，对于死囚，在押赴刑场时可以给他一次生存的机会。为此，在押赴囚犯到刑场途中，他们设计一个丁字路口，在这个路口有两个前进方向可供选择，一个通向刑场，另一个则通向光明大道。但是两个方向入口处各有一个士兵把
26、守，这两个士兵中一个只讲真话不讲假话，而另一个则只讲假话不讲真话，除了他们二人之外，其他人并不知道他们中间谁是讲真话者。,,起死回生的问题,国王给囚犯提供的逃生机会是： 允许囚犯只向其中的一个士兵问唯一一个问题，然后根据士兵的回答来自己决定朝哪个方向前进。如果走向刑场，则要执行死刑，如果走向光明大道，则可以自由逃生。,,起死回生的问题,由于事先并不知道两个士兵中谁是说真话者，又不能多问一个问题以求辨认真假，许多囚犯面对这样的逃生机会不知所措，只好听天由命。有的难免一死，有的侥幸逃生。有一天，一个精通数学和逻辑的囚犯，在这里依靠自己的聪明才智，明白无误地为自己捡来一条性命。那么，他提了一个什么问
27、题呢？,,起死回生的问题,囚犯问其中一个士兵： 如果我问他（另一个士兵）哪一条路通向光明大道，他会怎样回答？,,名人语录,任何一门科学，只有当它用到数学时，才能得到真正完善的发展。 马克思,,名人语录,参与开发一般智力不是为了今后某一职业的特定需要，应看成是数学教育的基本目标。F. Reidt,,名人语录,音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。 克莱因,,名人语录,展现在我们面前的宇宙，像一本用数学语言写成的书，若不掌握数学的语言符号，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也认识不清。 伽利略,从数学的特点看 数学教育对人的
28、素质的影响,1,,一、数学的特点,数学的特点 概念的抽象性 推理的严密性 结论的确定性 应用的广泛性,,这四大特点反映了数学发展过程的整个内蕴与外延的本质。 起点：概念抽象； 过程：推理严密； 结论：确定； 结果：应用广泛。数学是用简明而又严格的方式描述复杂现象。,一、数学的特点,,1. 概念的抽象性 数学来自于实践，其最本质的东西是抽象，抽象是人类创造性思维最基本的特征。数学的概念、方法大多是通过对现实世界的事物对象及其关系，通过分析、类比、归纳，找出其共性与本质特征而抽象得来的。,一、数学的特点,,对于一个数学家来说，重要的不是他的研究对象的具体化，而是它们的性质或本质规律。这种思维就是抽
29、象思维，其要点在于通过不断深刻地从小模式中抽象出必要的性质，去除（或者综合）次要的性质，用尽可能少的条件来推出尽可能多的结论。,一、数学的特点,,“抽象”不是目的，不是人为地增加理解难度，而是要抓住事物的本质。通过抽象，可以 把表面复杂的东西变得简单 把表面混沌的东西变得有序 把表面无关的东西得到统一,一、数学的特点,,数学抽象的特色： 在数学抽象中只保留了量的关系和空间形式，舍弃诸如色彩、品质等因素；（比如：数、点、线等原始概念） 数学抽象是一级一级逐步提高的，其抽象程度远远超过了其它学科的一般抽象；（比如：从点到线，到面，到体，到欧氏空间，再到一般的拓扑空间等） 数学本身几乎完全周旋于抽象
30、概念和它们的相互关系之中。,一、数学的特点,,因此，不仅数学概念是抽象的，其思想方法也是抽象的（如加、减、群等），整个数学都是抽象的。,一、数学的特点,受过良好数学教育的人，善于抓住事物的本质，做事简练、不拖泥带水，具有统一处理一类问题的能力，具有创新的胆略和勇气。,,2. 推理的严密性 在数学的发展过程中，数学每前进一步，都离不开严密的逻辑推理。推理是从已知到未知的合乎逻辑的思维过程。 从认识论的角度来看，推理有三种： 归纳推理 类比推理 演绎推理 这也是数学的主要推理方法。,一、数学的特点,,演绎推理是从一般到特殊的推理。先有一个普遍规律，然后从这个规律导出特定事例的性质。它可以通过对事物
31、的某些已知属性，按照严密的逻辑思维，推出事物的未知属性。 在数学演绎推理中分析必须细致，论证务求严谨，不允许用感知替代分析，用举例充当论证。,一、数学的特点,,归纳推理是从个体认识群体，即从许多特例中总结出一般性的普遍规律，是从特殊到一般的推理。 但完全归纳法是演绎推理。 类比推理是从一个个体认识另一个个体。 二者对培养人的发散性思维和创造性思维具有重要作用。,一、数学的特点,,人类的发明创造 开始于感性的发散性思维， 终止于理性的收敛性思维。 因此归纳与类比是人类探索世界、发现新事物的重要手段，许多重要的猜想都是通过归纳与类比而提出的。,一、数学的特点,,二、判断推理,不论哪一种推理，都包括
32、前提和结论两部分： 前提 是在推理过程中所运用的已有的真实判断（这一点必须保证或假定是正确的）； 结论 是人在头脑中经过推理的过程所引出的新的判断。,,二、判断推理,演绎推理的一般形式是三段式：大前提 ：一个一般性的普遍规律； 小前提 ：一个特殊对象的判断； 结 论 ：这个特殊对象的结论。,,二、判断推理,例： 大前提 ：所有的商品都有使用价值， 小前提 ：粮食是商品， 结 论 ：所以，粮食是有使用价值的。,,演绎推理的特点： 1) 从少数已知事实出发，可以导出一个内容丰富的知识体系，人类的认识能力由此可以得到很大提高； 2) 能够保证数学命题的正确性，使数学立于不败之地； 3) 可以克服仪器
33、、技术等手段的局限，弥补人类经验之不足； 4) 使人类的认识范围从有限走向无限； 5) 为人类提供了一种建构理论的有效形式。,一、数学的特点,,二、判断推理,一般来讲， 归纳推理与类比推理的结论不能保证正确性； 演绎推理的结论则一定是正确的只要前提是正确的。 数学推理以演绎推理为主，间或使用其它推理。,,因此，优秀的数学教育使人具有做事思路开阔、举一反三的类比与创新能力；具有化繁为简、分解困难的归纳能力；具有做事思维严谨、思考周密、结构清晰、层次分明、有条理、无漏洞的组织管理能力。,一、数学的特点,,3. 结论的确定性 “结论的确定性”是指，对任一事件，通过数学方法所得到的判断或结论是确定的，
34、但它并不意味着任何事件的发展都有唯一的或确定的结果。 数学结论由演绎推理为主的推理形成，演绎推理的推理步骤要严格遵守形式逻辑的各种法则，以保证从前提到结论的推导过程中，每一个步骤在逻辑上都是准确无误的。所以，运用数学方法从已知的关系推求未知的关系时，所得到的结论具有逻辑上的确定性和可靠性。,一、数学的特点,,为什么数学比其他一切科学受到特殊的尊重，一个理由是它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，而其他一切科学的命题在某种程度上都是可辩的，并且经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中。数学之所以声誉高，还有另一个理由，那就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的
35、 爱因斯坦,一、数学的特点,,数学教育能培养人做事严肃认真的态度，做事、做人目标明确，前后一致，表里如一。,一、数学的特点,,4. 应用的广泛性 数学应用的广泛性是其日渐突出的一个特点，这不仅表现在数学作为一种工具的广泛应用，还在于数学素质为人类提供的潜能。,一、数学的特点,,数学的重要性更体现在，接受数学上严密的逻辑推理训练而培养出的以理性的思维模式和归纳、类比、分析、演绎的思维方法等为特征的数学素质，它可以使人有很强的适应能力、再生能力和移植能力。有了数学知识和数学素质做基础，就有了享受不尽的财富。,一、数学的特点,,数学概念的抽象性、推理的严密性、结论的确定性这三个特点同时决定了数学科学
36、的严谨、精确、可靠与普适性。,一、数学的特点,数学与人类文化,2,,二、数学与人类文化,文化是人类在社会历史发展过程中所创造的对社会有重要影响的物质财富与精神财富（价值、意义）的总和，包括人为制定的规范制度或历史传承下来的风俗习惯，是人类长期形成的大群集体的公共人生，是人生的行为模式和指导模式，是人的本质之一。,,数学产生于人类的实际需要，作为一门最早发展起来的学科，数学历来是人类文化的一个重要组成部分，无数的事实表明：一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。,二、数学与人类文化,,二、数学与人类文化,1.数学是一切科学的基础,2.数学是人类思维的工具,3.数学是理性的精神
37、,4.信息时代就是数学时代,,1. 数学是一切科学的基础 数学是打开科学大门的钥匙 数学是一切科学的得力助手和工具。她有时受其它科学问题的刺激而产生和发展，有时也先走一步，领先发展，再获得应用。社会进步离不开科学，科学发展离不开数学。,二、数学与人类文化,,数学是科学的语言： 对于外部世界进行研究的主要目的，在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学语言透露给我们的 开普勒。 数学能以其不可比拟、无法替代的数学语言（概念、公式、法则、定理、方程、模型等）对科学现象进行精确而简洁的描述。,二、数学与人类文化,,数学语言相对自然语言的优势 简单化（即对自然语言进行简化）、 清晰化（即克
38、服自然语言中含糊不清的毛病） 扩展化（即扩充它的表达范围）三个方面。由此，数学能对一切科学现象进行精确而简洁的描述。,二、数学与人类文化,,在科学研究中运用数学语言的好处： 她具有单义性、确定性，避免发生歧义和引起混乱； 她具有表达简洁性，便于人们分析、比较、判断； 运用数学语言将问题转化为数学模型进行推理、计算，可以节约人的思维劳动，缩短研究过程，提高研究效率。,二、数学与人类文化,,2. 数学是人类思维的工具 数学思维不限于数学研究自身，她已经成为人类创新、创造的源泉，是现代人文化素质的一部分。对人类社会进步起到了极为重要的作用。,二、数学与人类文化,,3. 数学是理性的精神 数学作为文化
39、的一部分，其永恒的主题是“认识宇宙，也认识人类自己”。在这个探索过程中，它追求一种完全确定、完全可靠的知识，把理性思维的力量发挥得淋漓尽致，是一种理性的精神。它提供了一种思维的方法与模式，提供了一种最有力的工具，提供了一种思维合理性的标准。,二、数学与人类文化,,数学也充满着理性的创新和实事求是的科学精神，它不断为人们提供新概念、新方法，它促进着人类的思想解放。数学家的一个特点就是敢于怀疑自己。数学越发展，取得的成就越大，数学家就越要问自己的基础是不是巩固。越是在表面上看来没有问题的地方，也就是数学的基础部分，越要找出问题来。,二、数学与人类文化,,4. 信息时代就是数学时代 数学的发展，导致
40、了电子计算机的出现与应用。电子计算机的发展，又使数学如虎添翼，结束了数学只用纸和笔的手工时代，进入机器时代。依靠数学，计算机得以迅猛发展，使得人类已经进入了信息时代，计算机成为各行各业都离不开的重要工具。信息时代就是数学时代，如今的高新技术本质上就是一种数学技术。,二、数学与人类文化,数学的美学价值,3,,三、数学的美学价值,美是自然，是一切事物生存和发展的本质特征。数学是人们认识与改造自然的工具，她反映的是自然，当然包含着美。 美学是研究现实中的美，以及如何去创造美、欣赏美的科学。,,三、数学的美学价值,美好的事物一定要具备某些客观上美的特征才能让人主观上感受其美，欣赏其美。那么，什么是客观
41、上“美的标准”（美的特征）和主观上的“审美准则”呢？一般来说，标准与准则大体上应该是一致的。,,三、数学的美学价值,数学美主要体现在以下几个方面： 数学美的简洁性（符号美、抽象美、统一美、常数美） 数学美的和谐性（和谐美、对称美、序列美、节奏美、形式美） 数学美的奇异性（奇异美、有限美、神秘美、对比美、滑稽美）,,三、数学的美学价值,1. 数学美的简洁性（符号美、抽象美、统一美、常数美）数学美的简洁性是数学结构美的重要标志，它是指数学的表达形式和数学理论体系的结构简单。数学理论的过人之处之一在于她用简洁的方式揭示复杂的现象。比如： 欧拉公式导致的,,三、数学的美学价值,2. 数学美的和谐性（和
42、谐美、对称美、序列美、节奏美、形式美）数学美的和谐性也数学结构美的重要标志，是数学本质的一种反映，它是指数学的整体与部分、部分与部分之间的和谐协调性，是自然的本质反映自然界本身就是一个和谐的统一体。 比如：黄金分割、Feibonaci数列；勾股定理；矩阵乘积求逆与转置、复合函数求反函数等许多数学运算所表现的统一的“脱衣规则”等。,,三、数学的美学价值,3. 数学美的奇异性（奇异美、有限美、神秘美、对比美、滑稽美）数学美的奇异性是指研究对象的不能用任何现成的理论解释的特殊性质。奇异是一种美，奇异到极度更是一种美。 比如：在复解析动力系统中，由奇异点所构成的Julia集的无以伦比的美感，所有“分形
43、”图形的复杂与美丽，由河图、洛书所引出的幻方的神秘美等。,数学教育的价值与意义,4,,数学教育在五个方面发挥作用： 第一，掌握必要的数学工具，用来处理解决自然与社会中普遍存在的数量化问题及逻辑推理问题； 第二，了解数学文化，提高数学素质，这种素质将使人终身受益； 第三，潜移默化地培养学生“数学方式的理性思维”，如抽象思维、逻辑思维等； 第四，培养全面的审美情操； 第五，为学生进一步学习其它知识打基础、做准备。,四、数学教育的价值与意义,,数学教育过程主要有三方面内容： 数学知识与方法及其应用的传授； 数学思想的渗透； 数学美学价值的开发与欣赏（数学美：和谐、对称、有序；规律性的（三角公式、几何结论等）和非规律性的（分形等）。,四、数学教育的价值与意义,,在数学教育中，数学知识与方法的传授是一条主线，但不是全部目的。一个好的教师应当能够通过传授数学知识这个载体，对学生实施能动的心理和智慧引导，达到启迪智慧、开发悟性、挖掘潜能、培养能力、陶冶情操的素质教育目的。这主要依靠教师在教学中要能抓住本质，突出数学思想的渗透。,四、数学教育的价值与意义,,有两个方面的问题要解决： 教什么（教学内容）； 怎样教（教学方法）。,
