1、2015-2016 学年江苏省盐城市射阳二中高三（下）期初数学试卷一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分）1集合1，0 ，1共有 个真子集2若复数（1i） （2i+m）是纯虚数，则实数 m 的值为 3执行如图所示的程序框图，若输出的 b 的值为 31，则图中判断框内处应填的整数为 4函数 f（x）=Asin （ x+） ， （A， ， 是常数，A 0，0）的部分图象如图所示，则 f（0）= 5已知圆锥的母线长为 5cm，侧面积为 15cm2，则此圆锥的体积为 cm 36从 1，2，3，4，5 这五个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为 7设椭圆 + =1
2、（m0 ，n0）的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的短轴长为 8如图，在ABC 中，ADAB， ， ，则 = 9曲线 y= 和 y=x2 在它们的交点处的两条切线互相垂直，则 a 的值是 10设 f（x）= ，若 f（t ）=f（ ）则 t 的范围 11直线 y=kx+3 与圆（x 3） 2+（y2） 2=4 相交于 M，N 两点，若|MN |2 ，则 k 的取值范围是 12如图，F 1 和 F2 分别是双曲线 的两个焦点，A 和 B 是以 O 为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为 13若 a，bR，
3、且 4a 2+b29，则 a2ab+b2 的最小值是 14已知函数 f（x）=kx ，g（x）= ，如果关于 x 的方程 f（x）=g（x）在区间 ，e内有两个实数解，那么实数 k 的取值范围是 二、解答题：（共 6 小题，满分 90 分）15已知函数 f（x）=sin（ +x）sin（ x）+ sinxcosx（xR ） （1）求 f（ ）的值；（2）在ABC 中，若 f（A）=1，求 sinB+sinC 的最大值16已知四边形 ABCD 是等腰梯形，AB=3，DC=1 ，BAD=45，DEAB（如图 1） 现将ADE 沿 DE折起，使得 AEEB（如图 2） ，连接 AC，AB，设 M 是
4、 AB 的中点（1）求证：BC平面 AEC；（2）判断直线 EM 是否平行于平面 ACD，并说明理由17已知 A（2，0） 、B （2，0） ，点 C、点 D 依次满足 （1）求点 D 的轨迹方程；（2）过点 A 作直线 l 交以 A、B 为焦点的椭圆于 M、N 两点，线段 MN 的中点到 y 轴的距离为 ，且直线 l 与点 D 的轨迹相切，求该椭圆的方程18某广告公司为 2010 年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示其上部分是以 AB 为直径的半圆，点 O 为圆心，下部分是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，DE ，DF 是两根支杆，其中 AB=2米，EOA=FOB=2x（0
5、x ） 现在弧 EF、线段 DE 与线段 DF 上装彩灯，在弧 AE、弧 BF、线段AD 与线段 BD 上装节能灯若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为 2k，节能灯的比例系数为 k（k0） ，假定该霓虹灯整体的“心悦效果” y 是所有灯“心悦效果” 的和（1）试将 y 表示为 x 的函数；（2）试确定当 x 取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳19已知数列a n中，a 2=1，前 n 项和为 Sn，且 Sn= （1）求 a1；（2）证明数列a n为等差数列，并写出其通项公式；（3）设 lgbn= ，试问是否存在正整数 p，q（其中 1pq） ，使 b1，
6、b p，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q） ；若不存在，说明理由20已知函数 f（x）=x 2+x，g（x）=x+lnx ，h（x）=f（x）+g（x） ，其中 R，且 0（1）当 =1 时，求函数 g（x）的最大值；（2）求函数 h（x）的单调区间；（3）设函数 若对任意给定的非零实数 x，存在非零实数 t（tx） ，使得 （x）=（t）成立，求实数 的取值范围三、附加题（共 4 小题，满分 0 分）21设 是矩阵 的一个特征向量，求实数 a 的值22在极坐标系中，设直线 = 与曲线 210cos+4=0 相交于 A，B 两点，求线段 AB 中点的极坐标23如图，三
7、棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1平面 ABC，BAC=90 ，AB=2 ，AC=6，点 D 在线段 BB1 上，且 BD= ，A 1CAC1=E（）求证：直线 DE 与平面 ABC 不平行；（）设平面 ADC1 与平面 ABC 所成的锐二面角为 ，若 cos= ，求 AA1 的长；（）在（）的条件下，设平面 ADC1平面 ABC=l，求直线 l 与 DE 所成的角的余弦值24如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（8，4） ，P（2，t） （t0）在抛物线 y2=2px（p0）上（1）求 p，t 的值；（2）过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，M 为垂足，直线 AM 与抛物线的另一交
8、点为 B，点 C 在直线 AM 上若PA，PB，PC 的斜率分别为 k1，k 2，k 3，且 k1+k2=2k3，求点 C 的坐标2015-2016 学年江苏省盐城市射阳二中高三（下）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分）1集合1，0 ，1共有 7 个真子集【考点】子集与真子集【分析】根据集合元素个数与集合真子集之间的关系即可得到结论【解答】解：集合1，0， 1含有 3 个元素，集合的真子集个数为 231=81=7，故答案为：72若复数（1i） （2i+m）是纯虚数，则实数 m 的值为 2 【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数运算法
9、则、纯虚数的定义即可得出【解答】解：复数（1i） （2i+m）=m+2+（m 2）i 是纯虚数， ，解得 m=2故答案为：23执行如图所示的程序框图，若输出的 b 的值为 31，则图中判断框内处应填的整数为 4 【考点】程序框图【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出的 b 的值为 31，确定跳出循环的 a 值，从而确定判断框的条件【解答】解：由程序框图知：第一次循环 b=2+1=3，a=2；第二次循环 b=23+1=7，a=3；第三次循环 b=27+1=15，a=4；第四次循环 b=215+1=31，a=5输出的 b 的值为 31，跳出循环的 a 值为 5，判断框内的条件是 a
10、4，故答案为：44函数 f（x）=Asin （ x+） ， （A， ， 是常数，A 0，0）的部分图象如图所示，则 f（0）= 【考点】由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式，从而求得 f（0）的值【解答】解：由函数的图象可得 A= ， T= = ，求得 =2再根据五点法作图可得 2 +=，= ，故 f（x） = sin（2x+ ） ，f（0）= sin = ，故答案为： 5已知圆锥的母线长为 5cm，侧面积为 15cm2，则此圆锥的体积为 12 cm 3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】
11、先求圆锥的底面半径，再求圆锥的高，然后求其体积【解答】解：已知圆锥的母线长为 5cm，侧面积为 15cm2，所以圆锥的底面周长：6底面半径是：3圆锥的高是：4此圆锥的体积为：故答案为：126从 1，2，3，4，5 这五个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】根据题意，首先用列举法列举从 1，2，3，4，5 这五个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案【解答】解：从 1，2，3，4，5 这五个数中一次随机取两个数，有（1，2） ， （1，3）
12、 ， （1，4） ， （1，5） ， （2，3） ， （2，4） （2，5） ， （3，4） ， （3，5） ， （4，5） ，共 10 种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有 2 种，即（1，2） ， （2，4） ，故其中一个数是另一个的两倍的概率为 = ，故答案为：7设椭圆 + =1（m0 ，n0）的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的短轴长为 4 【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意可得：抛物线 y2=8x 的焦点（2，0） ，可得 c=2，利用离心率为 ，可得 a=4，即可求出椭圆的短轴长【解答】解：由题意可得：抛物线 y2=8x 的焦点（2，0） ，c=2
13、，离心率为 ，a=4，b= =2 ，即 n=2 ，椭圆的短轴长为 4 ，故答案为：4 8如图，在ABC 中，ADAB， ， ，则 = 【考点】向量在几何中的应用【分析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题【解答】解： ， ， ， ，cosDAC=sinBAC，在ABC 中，由正弦定理得 变形得|AC|sinBAC= |BC|sinB，=|BC|sinB= = ，故答案为 9曲线 y= 和 y=x2 在它们的交点处的两条切线互相垂直，则 a 的值是 a= 【考点】曲线与方程；两条直线垂直的判定【分析】先求出它们交点的横坐标，再求出它们的斜率表达式，由两条切线互相垂直、斜率
14、之积等于1，解出 a 的值【解答】解：曲线 y= 和 y=x2 的交点的横坐标是 ，它们的斜率分别是 = 和 2x=2 ，切线互相垂直， 2 =1，a= ，故答案为 a= 10设 f（x）= ，若 f（t ）=f（ ）则 t 的范围 2，3 【考点】函数的值；分段函数的应用【分析】利用分段函数的性质求解【解答】解：f（x）= ，f （t ）=f（ ） ，当 t1 时，t+2= ，解得 t= ，或 t= （舍） ；当1 t 0 时，2 t+1= ，无解；0t2 时，2 t+1=8，t=2 ，不成立；2t3 时，f（t）=f（ ）=8，成立；t3 时，8=2 ，解得 t=3，不成立综上所述，t 的
15、范围为：2， 3 故答案为：2，3 11直线 y=kx+3 与圆（x 3） 2+（y2） 2=4 相交于 M，N 两点，若|MN |2 ，则 k 的取值范围是 ，0 【考点】直线与圆的位置关系【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径 r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离 d，利用垂径定理及勾股定理表示出弦长|MN|，列出关于 k 的不等式，求出不等式的解集即可得到 k 的范围【解答】解：由圆的方程得：圆心（3，2） ，半径 r=2，圆心到直线 y=kx+3 的距离 d= ，|MN |2 ，2 =2 2 ，变形得：4 3，即 8k2+6k0，解得： k 0，则 k 的取值范围是 ，0故答
16、案为： ，012如图，F 1 和 F2 分别是双曲线 的两个焦点，A 和 B 是以 O 为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为 【考点】双曲线的简单性质；直线和圆的方程的应用；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】连接 AF1，根据F 2AB 是等边三角形可知AF 2B=30，F 1F2 是圆的直径可表示出|AF1|、|AF 2|，再由双曲线的定义可得cc=2a，即可得到离心率的值【解答】解：连接 AF1，则F 1AF2=90，AF 2B=30|AF 1|= ，|AF2|= |F1F2|= c， cc=2a，e= =1+故答案为 1+1
17、3若 a，bR，且 4a 2+b29，则 a2ab+b2 的最小值是 2 【考点】基本不等式【分析】由题意令 a=rcos， b=rsin （2r 3） ，由三角函数的知识可得【解答】解：a，bR，且 4a 2+b29可令 a=rcos，b=rsin （2r 3） ，a 2ab+b2=r2cos2r2sincos+r2sin2=r2（1 sincos）=r 2（1 sin2） ，由三角函数可知当 sin2 取最大值 1 且 r 取最小值 2 时，上式取到最小值 2故答案为：214已知函数 f（x）=kx ，g（x）= ，如果关于 x 的方程 f（x）=g（x）在区间 ，e内有两个实数解，那么实数 k 的取值范围是 ） 【考点】函数的零点【分析】将方程的解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题；通过导数研究函数的单调性及极值；通过对 k 与函数 h（x）的极值的大小关系的讨论得到结论【解答】解：由 f（x）=g（x） ，kx= ，k= ，令 h（x）= ，方程 f（x）=g（x）在区间 ，e 内有两个实数解，h（x）= 在 ，e 内的图象与直线 y=k 有两个交点h（x）= ，令 h（x）= =0，则 x= ，当 x ， 内 h（x）0，当 x ，e 内 h（x）0，当 x= ，h（x）= ，当 x=e 时，h（e）= ，当 x= ，h（x）=e 2，
