1、2016 届广东省广雅学校高三上学期期中考试数学（理）试题一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知全集 集合 则 为（ ） ， 43210U， 321A， 4BUCAB（ ）（A） （B） （C） （ D）， ， 0， 4320，（2）复数 （是虚数单位）的模等于（ ） i25（A） （B） （C） （ D）101055（3）下列命题中的假命题是（ ） （A） （B） lg,xR0tan,xR（C） （D） 02,2（4）已知向量 ，且 ，则实数 （ ） (),(1)mana/mna（A）1 （B）2 或1 （C）2 （D
2、）2（5）设 p：f（x）=x 32x 2+mx+1 在（，+）上单调递增；q：m，则 p 是 q 的（ ）（A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)以上都不对（6）已知函数 ，则 =（ ）.0,2log)(3xf )91(f（A） （B） （C） （D）11468（7）已知某几何体的三视图如右图所示，正视图和侧视图是边长为 1 的正方形，俯视图是腰长为 1 的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ） （A） （B） （C） （D）22113（8）已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） ,xy0xy2zxy（A） （B） （C） （D ） 221（9） 若 6)
3、(xba的展开式中 3x项的系数为 20，则 2ba的最小值为（ ）（A）1 （ B）2 （C）3 （ D）41主 视 图 侧 视 图俯 视 图（10）设 为不同的平面， 为不同的直线，则 的一个充分条件为（ ,mnlm） （A） ， ， （B） ， ， ll（C） ， ， （D） ， ，n（11）将甲，乙等 5 位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这 3 所大学就读，则每所大学至少保送 1 人的不同保送方法数为（ ）种。（A）150 （B）180 （C）240 （D）540（12）对函数 ，在使 成立的所有常数 中，我们把 的最大值叫做函数()fxMxf)( M的下确界现已知定义
4、在 R 上的偶函数 满足 ，当 时，)(xf )(xf(1)()fxf1,0x，则 的下确界为 （ ）23)(xf（A） （B） （C） （D）0二填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）.已知偶函数 f(x)在0,+)单调递减，f(2)=0.若 f(x-1)0，则 x 的取值范围是_.（14）方程 有实根的概率为 20(,1)xn（15）已知点 的坐标满足条件 点 为坐标原点,那么 的最大值(,)Py4,xyOOP等于 （16）已知函数 ( , 为自然对数的底数)，若函数 在点()1xfxaeR()fx处的切线平行于 轴，则 (1,)f 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
5、（17） （本小题满分 12 分）已知 为等差数列，且满足 na13248,1aa（I） 求数列 的通项公式；（II）记 的前 项和为 ，若 成等比数列，求正整数 的值nnS31,kS k（18） （12 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且2cosAcosC（tanAtanC1）=1（）求 B 的大小； （）若 ， ，求ABC 的面积（19） （本小题满分 12 分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取 个作为样50本，称出它们的重量（单位：克） ，重量分组区间为 ， ， ， ，5,1,2,3,4由此得到样本的重量频率分布直方图（如右图）
6、 ，（）求 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；a（）从盒子中随机抽取 个小球，其中重量在 内的小球个数为 ，求 的35,1X分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).（20） （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点.（）证明：PB平面 AEC；（）设二面角 D-AE-C 为 60，AP=1，AD= ，求三棱锥 E-ACD 的体积.3（21） （本小题满分 12 分）已知函数 32()(1)3fxaxaR，（I） 讨论函数 的单调区间；（II）当 时，若函数 在区间 上的最大值为 ，
7、求 的取值范围3a)(xf2,m28m请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。（22） （本小题满分 10 分） 选修 41：几何证明选讲如图， 为 的直径，直线 与 相切于点 ， 垂直 于点 ， 垂ABOCDOEADCB直 于点 ， 垂直 于点 ，连接 ， .CDEFABB证明：（） ；（） 2（23） （本小题满分 10 分） 选修 44：坐标系与参数方程第 1 题图在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 为参数） ，以该直角坐标系的原xOy1C1(2xty点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆 的方程为Csin32co（）求
8、直线 的普通方程和圆 的圆心的极坐标；1C2（）设直线 和圆 的交点为 、 ，求弦 的长2AB（24） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知 且关于 的不等式 的解集为 .1mx|2|1mx0,4（）求 的值；（）若 ， 均为正实数，且满足 ，求 的最小值.abab2ab参考答案一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A D B C B C B B D A D（1） 【解析】 ，又 ，故选 C0，U2，（2） 【解析】 ，故模为 ，故选 Ai32510（3） 【解析】对选项 D，由于当 时， ，故选 Dx
9、2（4） 【解析】因为 ，所以 ，解得 ，故 ，/mn)(a02a21a或故选 B（5） 【解析】 解：f（x）=x 32x 2mx+1 在（，+）上单调递增，f（x）=3x24xm，即 3x24xm0 在 R 上恒成立，所以=16+12m0，即 m，p：f（x）=x 32x 2mx+1 在（，+）上单调递增；q：m根据充分必要条件的定义可判断：p 是 q 的必要不充分条件， 故选：C（6） 【解析】 ， ，所以 ，故选 B91log)(3f 412)(f 41)9(f（7） 【解析】该几何体为直三棱柱，故体为 ，故选 C2VSh（8） 【解析】由于可行域为三角形，且三角形的三个顶点分别为 ，
10、 ， ，(0,1)(,0,1)所以最优解为 时可使目标函数取得最大值为 2，故选 B(0,1)（9）B【解析】由二项式定理的展开公式可得： 6261231.rrr rrrbTCaxCax， 项为 123,r，因为62)(的展开式中 3x项的系数为 20，所以33601Cabab，由基本不等式可得 22ab，当且仅当 时等号成立所以选 B（10） 【解析】对于选项 A，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件 m，故不正确；对于选项 B，因为 与 可能平行，也可能相交，所以 m 与 不一定垂直，故不正确；对于选项 C，因为 与 可能平行，也可能相交，所以 m 与 不一定垂直，故不正确；对于选项 D，
11、由 n，n，可得 ，而 m，则 m，故正确，故选D（11） 【解析】分为两类，第一类为 2+2+1 即有 2 所学校分别保送 2 名同学，方法数为，第二类为 3+1+1 即有 1 所学校保送 3 名同学，方法数为9024153C，故不同保送的方法数为 150 种，故选 A62A（12） 【解析】如右图所示，函数 在 上的部分图象，()fxR易得下确界为 ，故选 D1二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分）13、 14、 -13+， ， 1415、 16、 0e14【解析】方程有实根时，满足 ，得 ，由几何概型知10n14，得 .AP构 成 事 件 的 区 域 测 度试 验 的 全 部 结
12、果 所 构 成 的 区 域 测 度 =P15【解析】如右图所示， .2max|130OB16【解析】直线平行于 轴时斜率为 ，由 得 ，得出0()xfae(1)0kfae.ae三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17 （本小题满分 12 分）【解析】 （）设数列 的公差为 ，由题意知 nad1284ad2 分解得 12,d4 分所以 ，得 1()2(1)nan2na6 分（）由（）可得 21()()()2nnaS8 分 ， ，326a1()k2kS因 成等比数列，所以 ，从而 ， 1,kS 13ka2()6()k10 分即 ， ,解得 或 （舍去
13、）20*N2 2k12 分（18） （12 分）.解答：解：（）由 2cosAcosC（tanAtanC1）=1 得：2cosAcosC（1）=1，2（sinAsinCcosAcosC）=1，即 cos（A+C）=， cosB=cos（A+C）=，又 0B， B= ；（）由余弦定理得：cosB= =， =，又 a+c= ，b= ， 2ac3=ac，即 ac=， S ABC =acsinB= = 19 （本小题满分 12 分）【解】 （）由题意，得 ，解得 ；0.230.18a0.3a1 分又由最高矩形中点的的横坐标为 20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克） ，2 分而 个样本小球重量的
14、平均值为：50（克）.21.32.30.1842.6X故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为 克；24.64 分（）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在 内的概率为 ，5,10.5 分则 . 的可能取值为 、1(3,)5XB0、 、 ，6 分2， ，03346125PC21348515PXC， . 235X03210 分 X03的分布列X 为：.（648123012555E或者 135EX）12 分（20）解：（I）连接 BD 交 AC 于点 O,连结 EO。 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点。又 E 为 PD 的中点，所以 EOPB-2 分。 EO 平面 AEC
15、,PB 平面 AEC,所以 PB平面 AEC.-4 分（）因为 PA 平面 ABCD，ABCD 为矩形，所以 AB,AD,AP 两两垂直-5 分 如图，以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向， 为单位长，建立空间直角坐标系BAP，则 . -7 分xyz(0,3),D1(,)2E31(0,)2设 ，则 。设 为平面 ACE 的法(,)bm,cm,AC1(,)nxyz向量，则 即 -8 分，可取 -10,nACE30,12xyz13(,)nm-9 分。又 为平面 DAE 的法向量，由题设 ，即2(1,0)n12cos,n，解得 -10 分。因为 E 为 PD 的中点，所以三棱锥234m32
16、P648125的高为 .EACD12三棱锥 的体积 .-12 分1328V21 （本小题满分12分）【解析】 （I） 2()=3+131fxaxxa1 分令得 ()0fx12,xa2 分（i）当 ，即 时， ， 在 单调递12()=310fx()fx,增 3 分（ii）当 ，即 时，a当 时 ， 在 内单调递增；21xx或 ()0f()fx21,x和当 时 ， 在 内单调递减 214 分（iii）当 ，即 时，1a当 时 ， 在 内单调递增；2x或 ()0fx()f12,x和当 时 ， 在 内单调递减 1 125 分综上，当 时， 在 内单调递增， 在a()fx12,x和 ()fx内单调递减；当12,x当 时， 在 单调递增；1()fx,当 时， 在 内单调递增，a21x和在 内单调递减 （其中 ） 6 分()fx21, 1,xa
