1、300A B CP2016 届常州高级中学高三文科数学 11 月期中考试一填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1设集合 ， ，则 =_。|0Ax|1BxABR2若 （ ）为幂函数，且 的图象过点 ，则 的值为 12()afkR， ()fx(21)， ka3已知直线 和 ，则 的充要条件是 1 1:60lxy2:()320laya/l 4若曲线 在 处的切线斜率为 0，则实数 的值为 n0 0xe5已知函数 则 = 1(),2xff2(1log3)f836将函数 向左平移 个单位,平移后的图像如图所示,则平移后图像所对应的函数解析sin(0
2、)yx6式为 237已知等比数列 na的各项均为正数，且 21437,aa，则数列na的通项公式为 2n8.下列说法中正确的个数为 2 .命题：“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”；0a 0a 2若复合命题“ ”为假命题,则 均为假命题；pq,pq“三个数 成等比数列”是“ ”的充分不必要条件；,bcbc命题“若 ,则 ”的逆否命题为真命题. xysinxy9在锐角 中，若 ， ， 依次成等差数列，则 的值为 3ABCtaAtBtanCtanAC10.正方形 ABCD 的中心为（3,0） ，AB 所在直线的方程为 ，则正方形 ABCD 的外接圆的方20xy程为_11已知正实数 满足 ，则 的
3、最大值为 .,ab291+=3ab+1212如图, ,ABC是直线上三点, P是直线外一点, , , ,则BCA93P=_. 74图67121-1Oy x13.设函数 若存在实数 ，使得 有两个零点，则实数 的取值范围是 32().xaf， ， b()gxfba 或0a114.已知数列 满足 ,设 为均不等于 2 的且互不相等的常数）n13()4naN(,nabN，若数列 为等比数列，则 的值为_ nb 3二解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本题满分 14 分）在直角坐标系 中，不共线的四点 满足 ，且 ，xoy
4、,ABCD(1,2)AC，求：(3,4)DB（1） 的坐标；A（2）四边形 的面积。C16.（本题满分 14 分）设向量 a ,b , a b.(2cos,in)x(3cos,)x(fx(1)求函数 的单调增区间和图像的对称中心坐标；()fx(2)在锐角 中,角 的对边分别为 ,且 ,求 的取值范围。ABC,ac()01fCc解 (1) 2()6cos3sinco23s()36fxxx所以 的单调增区间为 ,对称中心为 .()fx7,()12kkZ(,3)(26kZ(2)由 ,得 , 为锐角 , .0fC3cos(2)6C752,6CC由正弦定理得, =ab2sin()sin3ABc31(si
5、ncosin)2si()26AA是锐角三角形, 得 .所以 ,ABC0,2,3A623sin()(162从而 的取值范围为ab(,17.（本题满分 14 分）如图所示,有一块半径长为 1 米的半圆形钢板,现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD,设梯形部件 ABCD 的面积为 平方米.y(I)按下列要求写出函数关系式设 (米),将 表示成 的函数关系式;2CDxyx设 ,将 表示成 的函数关系式.)BOrad(II)求梯形部件 ABCD 面积 的最大值.【答案】解如图所示,以直径 所在的直线为 轴,线段 中垂线ABxAB为 轴,建立平面直角坐标系,过点 C 作 于 E, y (I) , , 2
6、CDx(01)OEx2 21()2yAB2)01xx , , (0)2BOCcos,inOEC , 11()i(1cs)i2yAD(0)2(说明若函数的定义域漏写或错误,则一个扣 1 分) A O BCD(II)(方法 1) , 243(1)21yxx令 , 432tx则 , 3226()()xx令 , , (舍) 0t12x当 时, ,函数在(0, )上单调递增, 0t12当 时, ,函数在( ,1)上单调递减, 12x所以当 时, 有最大值 , t716maxy34答梯形部件 面积的最大值为 平方米. ABCD(方法 2) , 22 11()1xxyx令 , , , , (舍). 020(
7、)0当 时, ,函数在(0, )上单调递增, 1xy2当 时, ,函数在( ,1)上单调递减, 201所以当 时, 1xmax34y答梯形部件 ABCD 面积的最大值为 平方米. (方法 3) (sincos)(in)sico)y, 22cos21令 ,得 ,即 , (舍), 0y13cs当 时, ,函数在 上单调递增, 当 时, ,函数在 上单30y0)320y(,)32调递减 , 所以当 时, 答梯形部件 面积的最大值为 平方米. max4ABCD4318 （本题满分 16 分）已知圆 M的方程为 22()1y,直线 l的方程为 x,点 P在直线 l上,过P点作圆 的切线 ,PAB,切点为
8、 ,. (1)若 60,试求点 的坐标;(2)若 点的坐标为 (21),过 作直线与圆 交于 ,两点,当 2时,求直线 CD的方程; (3)经过 ,APM三点的圆是否经过异于点 M 的定点,若经过 ,请求出此定点的坐标; 若不经过,请说明理由.【答案】,解(1)设 (2,)m,由题可知 2P,所以 22()4m,解之得 40,5m, 故所求点 的坐标为 0或 84(5.(2)设直线 CD的方程为 12)ykx,易知 k存在,由题知圆心 M到直线 CD的距离为 2,所以21k,( ) 解得, 或 17,ks.5u 故所求直线 的方程为 30xy或 90xy.( ) (3)设 (,)Pm,M的中点
9、 (,1)2mQ,因为 PA是圆 M的切线 所以经过 ,A三点的圆是以 为圆心,以 为半径的圆, 故其方程为 222()()()xy 化简得 02xm,此式是关于 m的恒等式,故 解得 2y或 54x所以经过 ,APM三点的圆必过异于点 M 的定点 ),4(19 （本题满分16分）已知 , , 是曲线 在点 处的0a）1ln(2)(xaxf l)(xfy)0(,fP切线.()求 的方程;l()若切线 与曲线 有且只有一个公共点,求 的值;)(xfya()证明对任意的 ,函数 总有单调递减区间,并求出 单调递减区间的长na*N)(xfy)(xf度的取值范围.(区间 的长度= ),21x12【答案
10、】 , , 0(,ln)( faxf 1)2(12)(2 xaxaxf,切点 , 斜率为 . 10f)0Pl1切线 的方程 l1xy()切线 与曲线 有且只有一个公共点等价于方程 有且只)(f 1)ln(12xxa有一个实数解. 令 ,则 有且只有一个实数解. )1ln()(2xaxh0(h , 有一解 . 01)2(1)2(12)( xaxaxaxh 在 上单调递增, )(,(0)(,12 h) 是方程 的唯一解; 0xxh ,0)(,21a012,1axx(-1,0) 0)120a，（ ),12a（)(h+ 0 - 0 +x 极大值0 极小值 , )1ln(1)(,0)(12( 2aaa方
11、程 在 上还有一解.故方程 的解不唯一; xh2xh当 ,)(,)0,(2,1xx1(a， )0,12(a0 ),0()(h+ 0 - 0 +x 极大值 极小值0 ,而当 且 趋向-1 时, 趋向 , 趋向0)(12(a1x)1ln(,2xax)(xh. 方程 在 上还有一解.故方程 的解不唯一. )(xh)2(a， 0)(h综上,当 与曲线 有且只有一个公共点时, . l)(xfy21a() ; 等价于 . 12)(2 axf ,x0)(xf 01)2()(2xaxk ,对称轴 ,0)(4822a 14aa, 有解 ,其中 . )()1(k (xk21x2x当 时, .所以 的减区间为 2x
12、f )fy22121212 14(4)( aaxx 当 时,区间长度 )(*Nna 212n2减区间长度 的取值范围为 12x,(20 （本题满分 16 分）己知数列 是公差不为零的等差数列，数列 是等比数列nanb（1）若 （nN *） ，求证： 为等比数列；1ncabnc（2）设 （nN*） ，其中 是公差为 2 的整数项数列， ，若n nannb132，且当 时， 是递减数列，求数列 的通项公式；1234568ccc7ncna（3）若数列 使得 是等比数列，数列 的前 项和为 ，且数列 满足：对任意nnbandncnd， N*,或者 恒成立或者存在正常数 ，使 恒成立，求证：数列 为等2
13、n0dMd1nc差数列（1）证明： ，设 公差为 且 ， 公比为 ，1()nncbanad0nbq=常数， 为等比数列3 分21)(nnnbqnc（2）由题意得： 对 恒成立且 对 恒成立，5 分1c,341n7对)2(13tnbacn nttntn 2841)2(13)2(13 恒成立 7 分4,274t对 恒成立 )2(13)(13tntnnt241710t 9 分而407t9,87tZt或 或 . 10 分2na2na2na（3）证明：设 2121,nn nnbAqAqcc不妨设 ，12 nca12 1 1nnidAq，即 . 11()(2)n niiddAq1)(nn(2) 13 分若 ，满足 ，q)2(0n若 ，则对任给正数 M，则 取 内的正整数时，1(log,)1qA，与 矛盾.dndn若 ，则对任给正数 T= ，则 取 内的正整数时 = ，10q1n)1(logqTTdn1M与 矛盾.Mdn， 而 是等差数列，设公差为 ，1qAcand为定值， 为等差数列. 16 分1()nndcnc
