1、2015-2016 学年江苏省常州市溧阳市中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）只需直接写出结果1若集合 A=x|x24x0，B=x|x 22x0，则 AB=（2，4【考点】交集及其运算 【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合【分析】解一元二次不等式分别求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，找出 A 与 B的交集即可【解答】解：由 A=x|x24x0=x|0x4，B=x|x 22x0=x|x0 或 x2，则 AB=x|0x4x|x0 或 x2=（2，4故答案为：（2，4【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一
2、元二次不等式的解法，是基础题2复数 z=1+i，且 （a R）是纯虚数，则实数 a 的值为 1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 【专题】数系的扩充和复数【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于 0 且虚部不等于得答案【解答】解：z=1+i ，由 = 是纯虚数，得 ，解得：a=1【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3若直线 mx2y1=0 经过第一、三、四象限，则实数 m 的取值范围是 m0【考点】直线的一般式方程 【专题】数形结合；数形结合法；直线与圆【分析】由直线过定点（0， ） ，结合图象可得【解答】解：直线 mx2y1=
3、0 经过第一、三、四象限，直线 y= x 经过第一、三、四象限，直线过定点（0， ） ，结合图象可得 m0故答案为：m0【点评】本题考查直线的一般式方程，数形结合是解决问题的关键，属基础题4cos 275+cos215+cos75cos15的值等于 【考点】两角和与差的余弦函数 【专题】计算题【分析】观察题目中两角 75和 15的互余关系，结合三角函数的同角公式化简前二项，反用二倍角公式化简后一项即可【解答】解：cos 275+cos215=cos275+sin275=1，且 cos75cos15=cos75sin75= sin150= ，cos275+cos215+cos75cos15= 故
4、填： 【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题5若实数 x 满足 x4，则函数 f（x）=x+ 的最小值为 2【考点】基本不等式 【专题】函数思想；数学模型法；不等式【分析】由题意可得 x+40，变形可得 f（x）=x+ =x+4+ 4，由基本不等式可得【解答】解：x 4，x+40，f（ x）=x+ =x+4+ 42 4=2当且仅当 x+4= 即 x=1 时取等号，故答案为：2【点评】本题考查基本不等式求最值，凑出可以基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题6设 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不重合的平面，给定下列四个命题：若 mn，n，则 m；若 m，m ，则 ；若 m，
5、n，则 mn；若 m，n ， ，则 mn其中真命题的序号为【考点】命题的真假判断与应用 【分析】根据线面垂直、面面平行的性质来求解【解答】若 ma，则 m 要垂直 a 中的两条相交的直线，通过分析，m 只垂直来 a 中的一条直线，故不能做出判断，错根据面和面垂直的性质：只要一个面当中能找出一条垂直于其他的平面的线，就可以推出这两个面相互垂直，故正确两条不同的直线逗垂直同一个平面，则这两条直线必平行，对相互平行的面，两个面之间的直线不相交，但可以是异面直线，还可以垂直，故错【点评】熟悉教材，清楚线面之间的关系，借助图形辅导学习更佳7设ABC 的三边长分别为 a、b、c ，ABC 的面积为 S，内
6、切圆半径为 r，则r= ；类比这个结论可知：四面体 PABC 的四个面的面积分别为 S1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为 r，四面体 PABC 的体积为 V，则 r= 【考点】类比推理 【专题】计算题；推理和证明【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可【解答】解：设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O 到四个面的距离都是 R，所以四面体的体积等于以 O 为顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和则四面体的体积为 （S 1+S2+S3+S
7、4）rr= 故答案为： 【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想） 8若圆 x2+y24mx+（2m 3）y+4=0 被直线 2x2y3=0 所截得的弦最长，则实数 m 的值为1【考点】直线与圆的位置关系 【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】确定圆心坐标，利用圆 x2+y24mx+（2m3）y+4=0 被直线 2x2y3=0 所截得的弦最长，可得圆心在直线上，代入计算，可得结论【解答】解：圆 x2+y24mx+（
8、2m3）y+4=0 的圆心坐标为（2m，m+ ） ，圆 x2+y24mx+（2m3）y+4=0 被直线 2x2y3=0 所截得的弦最长，圆心在直线上，4m+2m33=0，m=1故答案为：1【点评】本题考查直线与圆相交的性质，考查学生的计算能力，比较基础9如图，在ABC 中，已知 B= ，D 是 BC 边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，则AB=5 【考点】余弦定理 【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；解三角形【分析】根据余弦定理弦求出 C 的大小，利用正弦定理即可求出 AB 的长度【解答】解：AD=10 ，AC=14，DC=6，由余弦定理得 cosC= = = ，sinC
9、= = ，由正弦定理得 ，即 AB= =5 ，故答案为：5 【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用余弦定理和正弦定理是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的公式10设 P，A， B，C 是球 O 表面上的四个点，PA ，PB ， PC 两两垂直，且 PA=PB=PC=1，则球 O 的表面积为 3【考点】球的体积和表面积 【专题】计算题【分析】先把三棱锥扩展为正方体，求出对角线的长，就是球的直径，然后求出表面积【解答】解：先把三棱锥扩展为正方体，求出对角线的长，即：对角线边长为 ，所以球的半径为 ，所以球的表面积为【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及公式的利用，是基础题11若实数 x，y 满足
10、 x+y40，则 z=x2+y2+6x2y+10 的最小值为 18【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】利用配方得到 z 的几何意义，作出不等式对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论【解答】解：z=x 2+y2+6x2y+10=（x+3） 2+（y1） 2，则 z 的几何意义为区域内的点到点D（3， 1）的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当 BD 垂直直线 x+y4=0 时，此时 BD 的距离最小，最小值为点 D 到直线 x+y4=0 的距离 d= = ，则 z=（ ） 2=18，故答案为：18【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意
11、义结合数形结合是解决本题的关键12已知在平面直角坐标系中，点 A（2 ，0） ，B （0，1）到直线 l 的距离分别为 1 和2，则这样的直线 l 共有 3 条【考点】直线的截距式方程 【专题】数形结合；综合法；直线与圆【分析】由于 AB=2+1，故满足条件的且和线段 AB 有交点的直线存在，故满足条件的直线有三条，另外两条直线位于线段 AB 的两侧【解答】解：AB= =3=2+1，故存在和线段 AB 有交点的直线故满足条件的直线有三条，如图：故答案为：3【点评】本题考查点到直线的距离，两直线的位置关系，体现了数形结合的数学思想13定义在 R 上的函数 f（x）满足：f（x）1f（x） ，f（
12、0）=6，f（x）是 f（x）的导函数，则不等式 exf（x）e x+5（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（0，+ ） 【考点】导数的乘法与除法法则 【专题】函数的性质及应用【分析】构造函数 g（x）=e xf（x）e x， （xR） ，研究 g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设 g（x）=e xf（ x）e x， （xR） ，则 g（x）=e xf（x）+e xf（x） ex=exf（x）+f（x）1，f（x） 1f（x） ，f（ x）+f（x）10，g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递增，exf（x ）e x+5，g（ x） 5，又 g（ 0）=e 0
13、f（0）e 0=61=5，g（ x） g（0） ，x 0，不等式的解集为（0，+ ）故答案为：（0，+） 【点评】本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键14已知等比数列a n的首项为 a1，公比为 q，前 n 项和为 Sn，记数列log 2an的前 n 项和为 Tn，若 a1 ， ，且 =9，则当 n=11 时，T n 有最小值【考点】等比数列的前 n 项和 【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的前 n 项和公式可得 q，利用对数的运算性质及其等差数列的前 n项和公式可得 Tn，再利用二次函数的单
14、调性即可得出【解答】解：q=1 不满足条件，舍去 =9， =1+q3=9，解得 q=2 ，log2an=log2a1+（n1） Tn=nlog2a1+ = +n ，a1 ， ，log2a1log22016，log 21949， = ，1024=210194920162048=2 11， ，当 n=11 时，T n 取得最小值故答案为：11【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、对数的运算性质、不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、解答题（本大题共 6 小题，满分 90 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）在A
15、BC 在，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，已知cosC= ，sinA= cosB（1）求 tanB 的值；（2）若 c= ，求ABC 的面积【考点】正弦定理 【专题】解三角形【分析】 （1）由 cosC= ，C（0，） ，可得 sinC= ，由 A+B+C=，可得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC= ，又 sinA= cosB即可得出tanB（2）由（1）知 tanB= ，可得 sinB，cosB利用正弦定理得 ，又sinA= cosB，利用 S= bcsinA 即可得出【解答】解：（1）cosC= ，C（0，） ，sinC= = ，A+B+C=，sin
16、A=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC= ，又 sinA= cosB cosB= ，tanB= （2）由（1）知 tanB= ， ，cosB= 由正弦定理得 ， = ，又 sinA= cosB= ，S= bcsinA= = 【点评】本题考查了正弦定理、两角和差的正弦函数、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16 （14 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，AD=DC=a，ABC=60 ，平面ACEF平面 ABCD，四边形 ACEF 是平行四边形，点 M 在线段 EF 上（1）求证：BC平面 ACEF；（2）当 FM 为何值
17、时， AM平面 BDE？证明你的结论【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】 （1）由已知可得ADC 是等腰三角形，且BDC=ADC=120 ，解得 BCAC，又平面 ACEF平面 ABCD，平面 ACEF平面 ABCD=AC，即可证明 BC平面 ACEF；（2）在 RtACB 解得 AC= a，AB=2a，在梯形 ABCD 中，设 ACBD=N，连接 EN，有：CN：NA=1：2，又 ACEF 是平行四边形，FM= a，可得 EF=AC= ，且FM： ME=1：2，从而证明四边形 EMAN 为平行四边形，AM NE，
18、即可得证 AM平面BDE【解答】解：（1）在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，AD=DC=a ， ABC=60，ADC 是等腰三角形，且 BDC=ADC=120，DCA=DAC=30，ACB=90，即 BCAC，又 平面 ACEF平面 ABCD，平面 ACEF平面 ABCD=AC，BC平面 ABCD，BC平面 ACEF；7 分（2）当 FM= a，AM平面 BDE，证明：在 RtACB，ACB=90，ABC=60，BC=a，AC= a，AB=2a，在梯形 ABCD 中，设 ACBD=N，连接 EN，则有：CN：NA=1：2，又 ACEF 是平行四边形，FM= a，EF=AC= ，且 FM：ME
19、=1：2，EM=AN，又 EMAN，四边形 EMAN 为平行四边形，AMNE，又 NE平面 BDE，AM平面 BDE，AM平面 BDE14 分【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查17 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（3，4） ，B（9，0） ，C，D 分别为线段OA，OB 上的动点，且满足 AC=BD（1）若 AC=4，求直线 CD 的方程；（2）证明：OCD 的外接圆恒过定点【考点】圆的一般方程；直线的一般式方程 【专题】直线与圆【分析】 （1）根据条件确定 C，D 的坐标，根据直线的两点式方程即可求直线 CD 的方程；（2）根据 AC=BD，根据待定系数法表示出 C，D 的坐标，利用圆的一般式方程，即可得到结论【解答】解：（1）若 AC=4，则 BD=4，B（9，0） ，D（5，0） ，A（ 3， 4） ，|OA|= ，则|OC|=1，直线 OA 的方程为 y= x，设 C（3a ，4a） ，1a0，则|OC|= =5|a|=5a=1，
