1、兴化市第一中学 20152016 学年度第一学期月度学情调研高三数学 东 2015.12本试卷分为第卷（选择题）和第卷（综合题）两部分，满分 160 分，考试时间 120 分钟。第卷 （填空题 共 70 分）一、填空题（共 70 分）1函数 的最小正周期为 sin21yx2设集合 ， ，则 ,0A2|0BxAB3若命题“ ，有 ”是假命题，则实数 的取值范围是 Rx2mm4已知 的终边在第一象限，则“ ”是“ ”的 条件, sini（填：充分条件，必要条件，充要条件，既不必要也不充分条件）5已知 ABC 的三个内角 所对边的长分别为 ，向量 ， ，若ABC, abc,abcm, ),(bcn，
2、则 等于 .nmC6若正方体 的棱长为 1，则三棱锥 的体积为 1DBDCB17在等比数列 中, 234,na 6,na且前 n 项和 62nS,则项数 n n8已知函数 ，若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是)1(23xy .9若实数 , 满足 ，则 的最大值为_.ab102aba210在 中， ， ， 边上的高 ，则 ABC76BC32hBC11如右图所示为函数 ( )的部分图象,其2sinfxx0,中 两点之间的距离为 ，那么 , 51f12在 中， ， ， ，若点 满足 ，且ABC903CA4BMAB第 11 题图xyO12AB，则 18CMAco
3、sMCA 13已知函数 ，设 时，有 ，则 的取值范围是 )1(,20)(xxf 0ba)(bfa)(af14设函数 的图象在 轴上截得的线段长为 ，记数列 的前 项和211*34()nnyxNxndn为 ，若 存 在 正 整 数 ， 使 得 成 立 ， 则 实 数 的 最 小 值 为 .nS22log60mnSm兴化市第一中学 20152016 学年度第一学期月度学情调研高三数学 命题人：沈旭东 2015.12一、填空题：（共 70 分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题：(共 90 分)15(本小题满分 14 分) 已知
4、函数 （其中 A， ， 为常数，且 A0， 0，()sin()fxAx）的部分图象如图所示2 （1）求函数 f(x)的解析式； （2）若 ，求 的值32sin()6 xyO22（第 15 题）3316(本小题满分 14 分)如图，在四棱锥 PABCD中，底面 AB是正方形，侧面 PAD底面 BC，且 ， E、 F分别为 、 的中点.PAD（1）求证：直线 平面 ；（2）求证：直线 平面 .17(本小题满分 14 分)已知某公司生产品牌服装的年固定成本为 10 万元，每生产 1 千件，须另投入 2.7 万元，设该公司年内共生产品牌服装 千件并全部销售完，每 1 千件的销售收入为 万元，且x xR
5、2210.8,03,xRx（1）写出年利润 （万元）关于年产量 （千件）的函数解析式； Wx（2）当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？PA BCDFE第 16 题18 （本小题满分 16 分）如图，经过村庄 A 有两条夹角为 60的公路 AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库 M、N (异于村庄 A)，要求 PMPNMN2(单位：千米)设AMN，则 为何值时，可使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)19 (本小题满分 16 分)设数列 的首项 为常数，且 na1 )(231Nnan（1）若 ，证
6、明： 是等比数列；135a53n（2）若 ， 中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由1n（3）若 是递增数列，求 的取值范围na1a A PMN BC(第 18 题图)20(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x) ex，a，b R，且 a0ax bx （1）若 a2，b1，求函数 f(x)的极值；（2）设 g(x)a(x 1)e xf(x) 当 a1 时，对任意 x (0，) ，都有 g(x)1 成立，求 b 的最大值； 设 g(x)为 g(x)的导函数若存在 x1，使 g(x)g(x)0 成立，求 的取值范围ba兴化市第一中学 20152016 学年度第一学期
7、月度学情调研高三数学答案1. 2. 3. -4， 0 4.既 不 必 要 也 不 充 分 条 件 5. 6. 7. 5 1,0 3 618. (0,1) 9. 5710. 1 或 2 11.2 12. 13. 14. 31,2)41,)e15. 解：（1）由图可知，A=2， 2 分T= ，故 ，所以，f(x) = 4 分2sin()x又 ，且 ，故 于是，f( x)= 7 分2()sin3f2 62sin()6（2）由 ，得 9 分f3si()64所以， 12 分sin()in2cos2()66= 14 分211i816. 证明：（1）作 EQ/CD,FG/CD 分别交 PD,AD 于 Q,G
8、，连 GQ,Z 则可以证明 GQ/EF 4 分 而 GQ 平面 PAD， EF平面 PAD, 直线 EF平面 PAD7 分（2）因为面 面 BC,面 面 BC, 面 BC,且 AD,所以 C平面 ,9 分又 ， P，且 、 P面 ,所以 PA面 12 分PA而 EF ,所以直线 EF平面 14 分D17. （1）由题意得 ，2210.8.710,3.,xxW即 6 分318.0,1092.7,xx（2）当 时， 则 10x318.0Wx22918.010xWx10x当 时， ，则 递增；当 时， ，则 递减；90 9xW当 时， 取最大值 万元 109.65分当 时， 当且仅当 ，10x109
9、82.73Wx10982.738x102.73x即 取最大值 38 13 分9综上，当年产量为 9 千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大14 分18. 解：设AMN，在 AMN 中， MNsin60 AMsin(120 )因为 MN2，所以 AM sin(120) 4 分433在APM 中， cosAMPcos(60 ) 8 分AP2AM 2MP 22 AMMPcosAMP sin2(120 )422 sin(120) cos(60) 10 分163 433 sin2(60) sin(60) cos(60)4163 1633 1cos (2120) sin(2120)483 83
10、3 sin(2120)cos (2120)83 3 203 sin(2150)， (0 ，120) 14 分203 163当且仅当 2150 270，即 60 时，AP 2 取得最大值 12，即 AP 取得最大值 2 3答：设计AMN 为 60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小16 分19. 证明：（1）因为11352nna，所以数列 35na是等比数列；4 分（2） 35na是公比为2，首项为 1950a的等比数列通项公式为 1113(2)(2)5n nna， 6 分若 na中存在连续三项成等差数列，则必有 12nna，即211 )(0953)(0953)2(09532 nn解得 4n，即
11、46,a成等差数列 8 分（3）如果 1n成立，即1 1133(2)(2)55n nnaa 对任意自然数均成立化简得10 分na)2(541当 n为偶数时 ,354因为 是递减数列，所以 ，即 ；12 分np)2(13)( 0)2()(maxpn1a当 n为奇数时， ,因为 是递增数列，na)(nq3154所以 ，即 ；14 分)()(minq1故 的取值范围为 16 分1a,020. （1）当 a2，b1 时，f (x)(2 )ex，定义域为( ，0) (0，)1x所以 f (x) ex 2 分(x 1)(2x 1)x2令 f (x)0，得 x11，x 2 ，列表12x(，1)1 (1，0)
12、(0，)1212( ，)12f (x) 0 0f (x) 极大值 极小值 由表知 f (x)的极大值是 f (1)e 1 ，f (x)的极小值是 f ( )4 4 分12 e（2） 因为 g (x)(ax a)e xf (x)( ax 2a)e x，bx当 a1 时，g (x)(x 2)e xbx因为 g (x)1 在 x（0，）上恒成立，所以 bx 22x 在 x（0，）上恒成立 8 分xex记 h(x)x 22 x （x 0） ，则 h(x) xex (x 1)(2ex 1)ex当 0x1 时，h(x )0，h(x) 在（0，1）上是减函数；当 x1 时，h(x )0，h(x)在（1，）上
13、是增函数所以 h(x)minh(1)1e 1 所以 b 的最大值为1e 1 10 分解法二：因为 g (x)(ax a)e xf (x)( ax 2a)e x，bx当 a1 时，g (x)(x 2)e xbx因为 g (x)1 在 x（0，）上恒成立，所以 g(2) e20，因此 b0 6 分b2g(x)(1 )ex(x 2)e x bx2 bx (x 1)(x2 b)exx2因为 b0，所以：当 0x1 时，g(x)0，g(x) 在（0，1）上是减函数；当 x1 时，g(x )0，g(x)在（1，）上是增函数所以 g(x)ming(1)( 1b)e 1 8 分因为 g (x)1 在 x（0，
14、）上恒成立，所以(1b)e 1 1，解得 b1e 1因此 b 的最大值为1e 1 10 分解法一：因为 g (x)(ax 2a)e x，所以 g (x)( ax a)e xbx bx2 bx由 g (x)g (x)0，得(ax 2a)e x( ax a)e x 0，bx bx2 bx整理得 2ax33ax 22bx b 0存在 x1，使 g (x)g (x)0 成立，等价于存在 x1，2ax 33ax 22bxb0 成立 12 分因为 a0，所以 ba 2x3 3x22x 1设 u(x) （x 1） ，则 u(x) 2x3 3x22x 1因为 x1，u(x )0 恒成立，所以 u(x)在（1，
15、）是增函数，所以 u(x)u(1)1，所以 1，即 的取值范围为（1，） 16 分ba ba解法二：因为 g (x)(ax 2a)e x，所以 g (x)( ax a)e xbx bx2 bx由 g (x)g (x)0，得(ax 2a)e x( ax a)e x 0，bx bx2 bx整理得 2ax33ax 22bx b 0存在 x1，使 g (x)g (x)0 成立，等价于存在 x1，2ax 33ax 22bxb0 成立 12 分设 u(x)2ax 3 3ax22bxb(x1)u(x)6ax 26ax 2b6ax (x1)2b-2b 当 b0 时，u(x) 0此时 u(x)在1，)上单调递增，因此 u(x)u(1)a b因为存在 x1，2ax 33ax 2 2bxb0 成立所以只要ab0 即可，此时1 0 13 分ba当 b0 时，令 x0 1，得 u(x0)b0，32又 u(1)ab0 于是 u(x)0，在(1，x 0)上必有零点即存在 x1，2ax 33ax 22 bxb0 成立，此时 0 15 分ba综上有 的取值范围为（1，） 16 分ba
