1、广东省 2016 年适应性考试高三 理科数学 2016.3一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合 ， ，则 （ ）2430Ax21xBABA B C D3,(,)1,(,3)(,0(,0)2若 为纯虚数，其中 R，则 （ ）(2)zaiai17A B C Di3设 为数列 的前 项的和，且 ，则 （ ）nSn *3()2nSNnaA B C D(2)3n1324 执行如图的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ）10NxA B 0.950.98C D 15三角函数 的振幅和最小正周期分别是（ ）()sin2)c
2、os6fxxA B C D3,23,2,2,6一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B 16C D427设 、 是两个命题，若 是真命题，那么（ ）pq()pqA 是真命题且 是假命题 B 是真命题且 是真命题 C 是假命题且 是真命题 pqD 是假命题且 是假命题 8从一个边长为 的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这 个点中任取两个点，则2 7这两点间的距离小于的概率是（ ）n=+1x=+1n(1)x入入nNn=1,x0入入入N11222 1A B C D717374769已知平面向量 、 满足 ， ，则 （ ）ab|1(2)ab|aA B C D 02 310 的展
3、开式中，常数项等于（ ）62)1(xA B C D45451651611已知双曲线的顶点为椭圆 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心12yx率的乘积等于，则双曲线的方程是（ ）A B C D12yx2xy 22yx212如果定义在 R 上的函数 满足：对于任意 ，都有)(xf 21x)()(21xff，则称 为“ 函数” 给出下列函数：)()(121fxfH ； ； ；3y )cosin(23xxyxey，其中“ 函数”的个数是（ ）ln|0xfA B C D 432二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分13已知实数 ， 满足约束条件 ，若目标函数 仅在点 取xy1
4、2yxayxz2)4,3(得最小值，则 的取值范围是 a14已知双曲线 的左焦点在抛物线 的准线上，则 1632pyx pxy2p15已知数列 的各项均为正数， 为其前 项和，且对任意的 N，均有 ，nanSnna， 成等差数列，则 nS2ana16已知函数 的定义域为 R，直线 和 是曲线 的对称轴，且)(xf 1x2)(xfy，则 1)0(f)104f三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17 （本小题满分 12 分）已知顶点在单位圆上的 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且ABCCabcbcAaosos2（1 ） 的值；（2 ）若 ，求 的面积4218 （本小题满分 1
5、2 分）某单位共有 名员工，他们某年的收入如下表：10员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10年薪（万元） 3 3.5 4 5 5.5 6.5 7 7.5 8 50（1 ）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2 ）从该单位中任取 人，此 人中年薪收入高于 万的人数记为 ，求 的分布列25和期望；（3 ）已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为 万元、 万元、 万元、 万元，预测该员工第五年的年薪为多少？4.26.52.7附：线性回归方程 中系数计算公式： ，axby21)(xybiniii，xbya其中 、 表示样本均值xy19 （本小题
6、满分 12 分）如图，在直二面角 中，四边形 是矩形， ， ，CABEABEF23AF是以 为直角顶点的等腰直角三角形，点 是线段 上的一点， ABCPP（1 ）证明： 面 ；FP（2 ）求异面直线 与 所成的角的余弦值20 （本小题满分 12 分）已知抛物线 ： ，过其焦点 作两条相互垂直且不平行于 轴的直线，分别Cxy42Fx交抛物线 于点 ， 和点 ， ，线段 ， 的中点分别记为 ， 1P234P2143P1M2（1 ）求 面积的最小值；MF（2 ）求线段 的中点 满足的方程2121 （本小题满分 12 分）设函数 （ ） mxxfln21)( 0（1 ）求 的单调区间；（2 ）求 的零
7、点个数；)(xfP CABEF（3 ）证明：曲线 上没有经过原点的切线)(xfy请考生在第 22、23 、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号22 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图所示， 是半圆 的直径， ，垂足为 ， ， 与 、BCOADBCABFAD分别交于点 、 AOEG（1）证明： ；DAF（2）证明： 23 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，过点 的直线的倾斜角为 以坐标原点为极点， 轴xOy(1,2)P45 x的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ,直线和曲线C2sincos
8、的交点为点 C,AB（1 ）求直线的参数方程；（2 ）求 的值P24 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲EFG COADB设函数 ()5fxax（1 ）当 时，求不等式 的解集；()3f（2 ）若 时有 ，求 的取值范围x()0fx2016 年适应性测试理科数学答案及评分参考评分说明:1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分
9、的解答有较严重的错误，就不再给分.3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4. 只给整数分数. 选择题不给中间分.一选择题（1 ） B （2）C （3）C （4）C （5）B （6）D（7 ） D （8）A （9 ）D （10）D （11）D （12）C二填空题（13 ） （14）4 （15） （16）2 （ -， ） n三解答题（17 ）解：（） ，由正弦定理得：2coscosaABbC，inini 2sincosin()siABCA又 ， .0s01（）由 ，由 .13coin22A2sin3sinaA由余弦定理 .coab241bca.13sin224ABCSc6
10、分12 分（18 ）解：（）平均值为 10 万元，中位数为 6 万元.（）年薪高于 5 万的有 6 人，低于或等于 5 万的有 4 人； 取值为 0，1 ，2.， ， ，12)0(4CP 18)(2064CP 3)2(106CP所以 的分布列为 0 1 2P1525831数学期望为 .638E（）设 分别表示工作年限及相应年薪，则 ，)4,32(,iyxi 5,.2yx5=2.+0.5412（i41()1.0.8.6152.7iiixy（ -） （ ） （ -）4127.45iiiiibx.1.ay由线性回归方程： . 45yx可预测该员工年后的年薪收入为 8.5 万元. （19 ）解：（）
11、, ，4FB3coscs2PABF2os913/3,PA， 2 2PAFAFQ；B又因为 ， ， ， 而EBC平 面 平 面 ACBEF平 面4 分8 分12 分.BFAE平 面.CPC又 I平面.（）过 作 ，分别交 于 ， 的补角为/,/MBNAF,BEA,MN点 PC与 所成的角 .连接 ， .PAB223/,/2,5.7,3/2.NCCMB1574cos .1472PC所以异面直线 与 所成的角的余弦值为 .AB3向量法：（）以 为原点，向量 ， ， 的方向分别为 ， ， 轴的正方向建立CAFxyz空间直角坐标系，则 ， ， ， .(0,)A(2,0)B(,20)(,23)， ，24B
12、F3P， ，3(,0)P(,02)， .(,2)AC3(,)， .0FBFBAC， .PP， ， ，A.平 面（） ， ，记 与 夹角为 ，则(2,0)B3(,2)PCABPC6 分6 分12 分.37cos=142ABPC（20 ）解：（）由题设条件得焦点坐标为 ，设直线 的方程为 ， .(,0)F12P(1)ykx0联立 ，2(1)4ykx消去 并整理得 . (*)22()0kx(*)关于 的一元二次方程的判别式 .x 222()416()0kk设 ， ，则 是方程(*)的两个不等实根，1(,)Py2(,)y12,x经计算得 122kx设 ，则 1(,)Mxy11122()Mxkk类似地，
13、设 ，则 2(,)Mxy2221Mkxk所以 ，2221|()(1kF，2222| |Mk因此 12121|(|)FSF因为 ，所以 ，|k 124FMS当且仅当 ，即 时， 取到最小值 41|12F8 分12 分（）设线段 的中点 ，由（1 ）得12M(,)Pxy，1212 221()()Mxkkyy消去 后得 k3x线段 的中点 满足的方程为 12P23yx（21 ）解：（） 的定义域为 ， .()fx(0,)211(xmf 令 ，得 .f21xm（1）当 ，即 时， ，所以 在40 2 ()0fx ()fx内单调递增.(0,)（2）当 ，即 时，由 解得2m21xm， ，且 ，14x24x120x在区间 及 内, ，在 内， ，1(0,)2()()f12(,)()0f所以， 在区间 及 内单调递增，在 内单调递减.fxxx（）由（）可知，当 时， 在 内单调递增，所以 m ()fx0,)()fx最多只有一个零点.又因为 ，所以，当 且 时，1()2)lnfx2m1x；当 且 时， ，故 有且仅有一个零点.0fx()0fx()f当 时，因为 在 及 内单调递增，在 内单调2m()f10,2,12(,)x递减，且221444()lnmmfx222l412 分4 分
