1、四 柱坐标系与球坐标系简介1借助具体实例了解柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法2与空间直角坐标系中刻画点的位置方法相比较，体会它们的区别与联系1柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用( ，)( 0,0 2)来表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标这时点 P 的位置可用有序数组_(zR)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组( ， ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作_，其中_(2)空间点 P 的直角坐标(x ，y，z) 与柱坐标(，z) 之
2、间的变换公式为 _【做一做 11】 设点 P 的直角坐标为(1,1,3)，则它的柱坐标是 _【做一做 12】 柱坐标满足方程 2 的点所构成的图形是 _2球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|r ，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 ，设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角 .这样点 P 的位置就可以用有序数组_表示这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系 )，有序数组(r， ， )叫做点 P 的球坐标，记作_，其中
3、_(2)空间点 P 的直角坐标(x ，y，z) 与球坐标(r， )之间的变换关系为_在测量实践中，球坐标中的角 称为被测点 P(r， )的方位角， 称为高低角2【做一做 2】 已知点 M 的球坐标为 (4， ， )，则它的直角坐标是_，它的柱坐4 34标是_答案：1(1)( ， ，z) P (，z) 0，0 2 ，z(2)Error!【做一做 11】 ( ， ，3)24【做一做 12】 以 Oz 轴所在直线为轴，且垂直于轴的截面是半径为 2 的圆柱侧面2(1)(r， ，) P( r，) r0，0 ，0 2(2)Error!【做一做 2】 (2,2,2 ) (2 ， ，2 )2 234 21空间
4、直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别剖析：它们都是三维的坐标，球坐标与柱坐标都是在空间直角坐标基础上建立的在直角坐标中，我们需要三个长度 x，y，z，而在柱坐标与球坐标中，我们需要长度，还需要角度它们是从长度、方向来描述一个点的位置，需要 ，z 或者 r， .空间直角坐标：设点 M 为空间一已知点我们过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、y轴、z 轴，它们与 x 轴、y 轴、 z 轴的交点依次为 P，Q ， R，这三点在 x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为 x，y，z.于是空间的一点 M 就惟一地确定了一个有序数组 x，y，z.这组数x，y，z 就叫做点 M 的坐标，并依次称 x，y
5、和 z 为点 M 的横坐标、纵坐标和竖坐标(如图所示) 坐标为(x，y，z)的点 M 通常记为 M(x，y，z) 这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点 M 和有序数组 (x，y ，z) 之间的一一对应关系如果点 M 在 yOz 平面上，则 x0；同样，zOx 面上的点，y0；如果点 M 在 x 轴上，则 yz 0；如果 M 是原点，则 xyz0 等几种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同2建立空间坐标系的方法剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系
6、可以实现几何问题与代数问题的相互转化不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等) ，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系题型一 直角坐标与柱坐标的互化【例 1】 设点 M 的直角坐标为 (1
7、,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标分析：把直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式Error!求出 ， 即可反思：由直角坐标求柱坐标，可以先设出点 M 的柱坐标为( ，z )，代入变换公式Error!求 ；也可以利用 2 x2y 2 求 ，利用 tan 求 ，在求 时，要特别注意角 所yx在的象限，从而确定 的取值题型二 直角坐标与球坐标的互化【例 2】 已知点 M 的球坐标为 (2， ， )，求它的直角坐标34 34分析：利用变换公式Error!求解，其中 r ， cos ，tan .x2 y2 z2zr yx反思：由直角坐标求球坐标时，可先设点 M 的球坐标为(r， ，)，利用变换公式E
8、rror!求出 r， 即可；也可以利用 r2x 2y 2z 2，tan ，cos 来求需要特别yx zr注意的是在求 和 时，要先弄清楚点 M 所在的位置题型三 求空间一点的坐标【例 3】 一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为 200 m，每相邻两排的间距为 1 m，每层看台的高度为 0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置 A，请建立适当的坐标系，把点 A 的坐标求出来反思：找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度题型
9、四 柱坐标系、球坐标系的应用【例 4】 已知点 P1 的球坐标是 P1(2 ， ， )，P 2 的柱坐标是 P2( ， ，1)，求|P 1P2|.33 4 66分析：可把两点坐标均化为空间直角坐标，再用空间两点间的距离公式求距离反思：柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解决题型五 易错辨析【例 5】 设点 M 的直角坐标为 (1,1， )，求它的球坐标2错解：点 M 的球坐标为( ， ， )2 2 2答案：【例 1】 解：设点 M 的柱坐标为( ，z)，则有Error! 解之得 ， .24因此，点 M 的柱坐标为( ， ，1)24【例 2】 解：设点 M 的直角坐标为 (x，y ，z)
10、 ，则有Error!点 M 的直角坐标为(1,1， )2【例 3】 解：以圆形体育场中心 O 为极点，选取以 O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点 A 与体育场中轴线 Oz 的距离为 203 m，极轴 Ox按逆时针方向旋转 ，就是 OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为 2.8 m，因此我们1716可以用柱坐标来表示点 A 的准确位置点 A 的柱坐标为(203， ，2.8)1716【例 4】 解：设 P1 的直角坐标为 P1(x1，y 1，z 1)，则Error!P 1 的直角坐标为( ， ， )322 322 3设 P2 的直角坐标为 P2(x2，y 2，
11、z 2)，则Error!P 2 的直角坐标为( ， ，1) 322 62|P 1P2|0 322 622 3 12 .30 102【例 5】 错因分析：球坐标和柱坐标与直角坐标互化的公式记忆混淆，错用公式Error!正解：r 2，x2 y2 z2 12 12 22zrcos ，2cos . .22 4又tan 1， .yx 4点 M 的球坐标为(2， ， )4 41 在空间直角坐标系 Oxyz 中，方程 x1 表示( )A点 B直线 C平面 D以上都不对2 在空间球坐标系中，方程 r2(0 ，02)表示 ( )2A圆 B半圆 C球面 D半球面3 点 M 的直角坐标为( ，1，2)，则它的球坐标
12、为( ) 3A B2,)46(2,46C D(33)4 空间点 P 的柱坐标为(6， ，4) ，则点 P 关于 z 轴的对称点为 _5 把下列用柱坐标表示的各点用直角坐标表示出来(1)(2,0， 2)；(2)(，)6 把下列用球坐标表示的各点用直角坐标表示出来(1)(2， )；(2)(2， ),37,4答案：1C 由空间点的直角坐标的定义知，方程 x1 表示与 x 轴垂直且到原点的距离为 1 的平面2D 由空间点的球坐标的定义可知，方程 r2(0 ，02)表示半球面23A 设 M 的球坐标为(r，)，则 解得sinco,12,r2,34.6r4(6， ，4)35解：设点的直角坐标为(x，y，z)(1)( ，z) (2,0 ，2)，2cos0,in,z(2,0，2) 为所求点的直角坐标(2)( ，z) (，)， (，0，) 为所求点的直角坐标cos,in,xyz6解：设点的直角坐标为(x，y，z)(1)(r， ，)(2， )，,631sinco2sinco,2,63cos2,xyrz 为所求点的直角坐标13(,)(2)(r， ，)(2， )，7,4sinco2sinco1,7,4cos2,xyrz(1，1， )为所求点的直角坐标
