1、2016 届广东省深圳市南山区高三（上）期末考试数学试题（理）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2页，第卷 3 至 4 页，共 150 分，考试时间 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损。之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级 、姓名及座位号，在右上角的信息 栏填写自己的考号，并用 2B 铅笔填涂相应的信息点。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。3非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡
2、各 题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4考生必须保持答题卡的整洁 ，不折叠，不破损。考 试结束后，将答题卡交回。5考试不可以使用计器。第卷 选择题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集 ，集合 ， ，那么UZ1,6A2,016B()UABA B C D3451,62已知复数 （ ） ，且有 ，则 的值为izxy,Ri1ixyzA B C D35723设 ，则“ ”是“ ”的,abab2abA充分而不
3、必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4二项式 的展开式中，若常数项为 ，则 的值为62()nmx602mnA B C D 3465实数 满足条件 ，则 的最小值为,xy40,yxzxyA1 B C D21126下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 产品过程中记录的产量 （吨）与相Ax应的生产能耗 （吨）的几组对应数据：yx3 4 5 62.5 t4 4.5根据上表提供的数据，求出 关于 的线性回归方程为 ，那么表中yx=0.7.3yx的值为tA3 B3.15 C3.5 D4.57设 是第二象限角，且 ，则3cos5tan2A B C D 2417172478阅读
4、如下的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为A7 B9 C10 D119如图，在矩形 中， ， ，沿 将CD3A1A矩形 折叠，连接 ，所得三棱锥 的正视BDB图和俯视图如图所示，则三棱锥 的侧视图的面积为A B 3438C D124俯俯DCBA 俯俯DCBA10如图，已知 是双曲线 的12,F21(0,)yxab下，上焦点，过 点作以 为圆心， 为半径的圆1OF的切线， 为切点，若切线段 被一条渐近线平分，P2P则双曲线的离心率为A B 3C D11在 中， 的对边分别为 ， ， ，且,C,abc1057bcos,ab成等差数列，则AcA B C D1553212已知椭圆2:1(
5、0)xyEab的右焦点为 F短轴的一个端点为 M，直线:340l交椭圆 于 ,A两点若 4B，点 到直线 l的距离不小于 5，则椭圆 的离心率的取值范围是A. (,2 B. 3(,4 C. 3,1)2 D. 3,1)4第卷 非选择题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13设随机变量 服从正态分布 ，且 ，则正数X2(1,)N2(1)(3)PXaaa14设 且 ，则“函数 在 上是减函数” ，是“函数0axfR是 上的增函数”的_条件（填“充分不必要” 、 “必3)2(xxgR要不充分” 、 “充分必要” 、 “既不充分也不必要” ）15已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项和，n
6、1()nnN1anSna则2015S16函数 ()sin22fx的图像向左平移 个单位后关于原点对称，则函数6MPy xOF1F2()fx 在区间 0,2上的最小值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 （本小题满分 12 分）已知 是一个单调递增的等差数列，且满足 是 的等比中项，na 214,a数列 满足 150nb2na（1）求数列 的通项公式 ；（2）求数列 的前 项和 nnT18 （本小题满分 12 分）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为
7、 ，50,6)， ， ， 60,7),80),9),1（1）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（2）如果从参加本次考试的同学中随机选取 名同学，求这名同学考试成绩在 分以上（含 分）的8080概率；（3）如果从参加本次考试的同学中随机选取 名同学，这 名同学中考试成绩在3分以上（含 分）的人数记为 ，求 的分布列及数学期望80X（注：频率可以视为相应的概率）19 （本小题满分 12 分）如图所示，已知四棱锥 中， 平面 ，底面 是直角梯形，PABCDABCD， ， ， 是棱 上一点，且/ABCD22EP2EP（1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的大小；0.15 0.2 0.25 0.
8、3 0.1 50 60 70 8 90 10 考 试 成 绩 （ 分 ） 频 率 组 距 O EDC BAP20 （本小题满分 12 分）已知点 为坐标原点，直线 经过Ol抛物线 的焦点 2:4CyxF（）若点 到直线 的距离为 ，求直线 的方程；l12l（）如图，设点 是直线 与抛物线 在第一象限的AC交点点 是以点 为圆心， 为半径的圆与 轴BFx负半轴的交点，试判断直线 与抛物线 的位置关B系，并给出证明21 （本小题满分 12 分）已知函数 ，其中 为常数()lnafxx（1）若 的图象在 处的切线经过点 ，求 的值；1(3,4)a（2）若 ，求证： ；0a2()0f（3）当函数 存在
9、三个不同的零点时，求 的取值范围()fx请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22 （本题满分 10 分）选修 ：几何证明选讲41如图所示， 为圆 的切线， 为切点, 交圆 于 两点， ，PAOAPO,BC20PA的角平分线与 和圆 分别交于点 和 .10,BCBDE（1）求证 .（2）求 的值.ADE23 （本小题满分 10 分）选修 44：极坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ， （ 为参数） ，以原点 为xoy1Csinco3yxO极点， 轴正
10、半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程2C为 24)sin(（）求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；1C2（）设 为曲线 上的动点，求点 到 上点的距离的最小值PPC24 （本小题满分 10 分）选修 ：不等式选讲45设函数 ()2fxa（1）当 时，解不等式， 3()2fx（2）若 的解集为 ， ，求证： .()1fx0,1(0,)amn24mnEBDO PAC深圳市南山区 2016 届高三期末质量检测答案理理科数学二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13 2a14 充分而不必要15 2015S16 3三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. 解：（1）
11、设等差数列 的公差为 ，则依题知 nad0由 ，可得 3152035a由 是 的等比中项得 ，24,241即 ，可得 ()d所以 可得 6 分13a(*)nN（2）由（1）得 ，2nb= ，T351n = ，1n24123n-得， = 3= = ，112nn1n = 12 分nT3n18. 解：（1）估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为： 20.5.260.75.280.159.76分（2）设被抽到的这名同学考试成绩在 分以上为事件 A ().1.4PA答：被抽到的这名同学考试成绩在 80 分以上的概率为 0.4 6 分（3）由（2）知，从参加考试的同学中随机抽取 1 名同学的成绩在 分以
12、上的概80率为 ，5X 可能的取值是 0，1，2，3 ； 57)()(CP； 45213； 36)()2(X 12803CP的分布列为：0 1 2 3125754536125811 分所以 12 分()021EX（或 ，所以 ）2(3,)5B6()35EXnp19 （本小题满分 12 分）解：（1）先证 平面 ，可得 ，再用勾股定理的逆定理证 ；CPABCAEPC4 分（2）设 中点为 ， 中点为 ，连 ， ， ，OEMDOM则 ， 平面 ，由（1）知 ，所以 ，/MAEPO由三垂线逆定理知 ， 为二面角 的平面角，PCCD，2D16AE，tan3OMD0二面角 的大小 12 分PC6用向量方
13、法对照上面给分用向量方法参考上面给分20解：（）抛物线的焦点 ，当直线 的斜率不存在时，即 不符合题意；(1,0)Fl 1x当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： ，即 l l(1)ykx0ky所以， ，解得： 21k3k故直线 的方程为： ，即 6 分l(1)3yx10y（）直线 与抛物线相切，证明如下：AB设 ，则 00(,),)x204y因为 ，所以 1Fx(,)Bx所以直线 的方程为： ，整理得：AB02y02xy把方程 代入 ，得： ，0xy24yx20084yxy2220006416所以直线 与抛物线相切12AB分21. (本小题满分 12 分)解：由题知 0x（1） 2 分21
14、()()fax(12fa4 分43ff又 1（2） ，令 ，22 3()lnlnln2aaaf32()lnlnxgx则 6 分242(1)xxgx 时， 单调递减，(0,1x） ()0,()gx故 时， ，,） 12ln0当 时， 8 分01a()0af（3）22()xafx 0()0,()aff当 时 ， 在 （ ， ） 上 ， 递 增 ， 至多只有一个零点，不合题意；10 分()fx 10()0,()2afxf当 时 ， 在 （ ， ） 上 ， 递 减 ， 至多只有一个零点，不合题意；11 分()fx 10()0,2afx当 时 ， 令 得221414,1aax此时， 在 上递减， 上递增
15、， 上递减，所以， 至多有三个零()fx1,2(,)x2(,)()fx点。因为 在 递增，所以 ，又因为 ，所以 ，f1(,)1)0ff2()0af201(,)ax使得 ，又 ，所以恰有三个不同零点： ，所以函0()x00(),(fx ,0x数 存在三个不同的零点时， 的取值范围是 。12 分f a1(0,)2请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22 （本题满分 10 分）选修 ：几何证明选讲41解：（1）由 为圆 的切线 ,得 ，又 为公共角，所以PAOPABCP，BC:4 分（2）由 为圆 的切线， 是过点 的割线， ，O2ABC， ，又 ， ，0PC3B90CAB 290又由（1）知 ， ， ，12AP256是 的角平分线，且 ， ，EEDAECBD:
