1、2015-2016 学年广东省汕头市金山中学高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数 z1=3+i，z 2=1i，则复数 z=z1z2 在复平面内所对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【专题】数系的扩充和复数【分析】根据复数的几何意义进行求解即可【解答】解：z 1=3+i，z 2=1i，z1z2=（ 3+i） （ 1i）= 2+4i，对应点的坐标为（2，4） ，位于第二象限，故选：B【点评】本题主要考查复
2、数的几何意义，根据复数的基本运算进行求解是解决本题的关键2集合 U=1，2，3，4，5，6，A=2，3，B=x Z|x26x+50，则 U（A B）=（ ）A1 ，5，6 B1，4，5，6 C2，3，4 D1 ，6【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】求出集合 B 中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出 B，求出 A 与 B 的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可得到答案【解答】解：集合 B 中的不等式 x26x+50，变形得：（x1 ） （x 5）0，解得：1x5，B=2，3，4，A=2，3，AB=2，3，4，集合 U=1，2，3，4，5，6，（A B）=1，5，6故选：A【
3、点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键3在ABC 中，a 2=b2+c2+ bc，则A 等于（ ）A60 B45 C120 D150【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】由余弦定理 a2=b2+c22bccosA 与题中等式比较，可得 cosA= ，结合 A 是三角形的内角，可得 A 的大小【解答】解：由余弦定理，得 a2=b2+c22bccosA又 a2=b2+c2+bc，cosA=又 A 是三角形的内角，A=150，故选：D【点评】本题考查了余弦定理的应用，特殊角的三角函数值的求法，属于基础题4如图所示的程序框图，若输出的 S=41，则判断框内应
4、填入的条件是（ ）Ak3？ Bk4？ Ck5？ Dk6？【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入 S 的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前 1 0第一圈 2 2 是第二圈 3 7 是第三圈 4 18 是第四圈 5 41 否故退出循环的条件应为 k4？故答案选：B【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件
5、变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误5用 a、b、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题，其中真命题的是（ ）若 ab，bc，则 ac；若 ab，bc ，则 ac；若 ay，by，则 ab；若 ay，by，则 abA B C D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【专题】证明题【分析】判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析【解答】解：根据平行直线的传递性可知正确；在长方体模型中容易观察出中 a、c 还可以平行或异面；中
6、 a、b 还可以相交；是真命题，故答案应选：C【点评】在判断空间线面的关系，常常把他们放在空间几何体中来直观的分析，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法6设 x，y 满足 ，则 z=x+y（ ）A有最小值 2，最大值 3 B有最小值 2，无最大值C有最大值 3，无最小值 D既无最小值，也无最大值【考点】简单线性规划【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域，根据目标函数 z=x+y 及直线 2x+y=4 的斜率的关系，即可得到结论【解答】解析：如图作出不等式组表示 的可行域，如下图所示：由于 z=x+
7、y 的斜率大于 2x+y=4 的斜率，因此当 z=x+y 过点（2，0）时，z 有最小值，但 z 没有最大值故选 B【点评】目判断标函数的有元最优解，处理方法一般是：将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式分析 Z 与截距的关系，是符号相同，还是相反 根据分析结果，结合图形做出结论根据目标函数斜率与边界线斜率之间的关系分析，即可得到答案7在等比数列a n中，a 3，a 9 是方程 3x211x+9=0 的两个根，则 a5a6a7=（ ）A3 B C 3 D以上皆非【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】根据等比数列的性质结合根与系数之间的关系进行求解即可【解答
8、】解：a 3，a 9 是方程 3x211x+9=0 的两个根，a3a9= ，a 3+a9= 0，a3a9=（a 6） 2，则 a6=则 a5a6a7=（a 6） 2a6=3 ，故选：C【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，根据根与系数之间的关系是解决本题的关键8已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为 1，则该几何体的体积为（ ）A24 B24 C24 D24【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由三视图可知，该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得【解答】解：该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得，其中长方体的体积为 V1=432=24；半个圆
9、柱的体积为 V2= = ，则 V=24 故选 A【点评】考查了学生的空间想象力及三视图的等量关系9函数 f（x）= cosxlg|x|的部分图象是（ ）A B C D【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数的奇偶性排除 BD，再根据 x 的变化趋势排除 C【解答】解：由于 f（x）= cosxlg|x|，f（ x）= cos（x）lg| x|=cosxlg|x|=f（x） ，故函数 f（x）是偶函数，排除 B，D ；又当 x0 时， lg|x|，cosx1，f（ x）+，故排除 C，故选：A【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，
10、属于中档题10在ABC 中，若| + |=| |，AB=2，AC=1，E，F 为 BC 边的三等分点，则 =（ ）A B C D【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；平面向量及应用【分析】运用向量的平方即为模的平方，可得 =0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求【解答】解：若| + |=| |，则 = ，即有 =0，E，F 为 BC 边的三等分点，则 =（ + ）（ + ）= （ ） （ ）=（ + ）（ + ）= + + =（ 1+4）+0= 故选 B【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于
11、中档题11已知 P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点，Q 是圆（x3） 2+（y 1） 2=1 上的一个动点，N（1，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（ ）A3 B4 C5 D +1【考点】圆与圆锥曲线的综合【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意画出图形，根据 N 为抛物线的焦点，可过圆（x3） 2+（y 1） 2=1 的圆心M 作抛物线的准线的垂线 MH，交圆于 Q 交抛物线于 P，则 |PQ|+|PN|的最小值等于|MH|1【解答】解：如图，由抛物线方程 y2=4x，可得抛物线的焦点 F（1，0） ，又 N（1，0） ，N 与 F 重合过圆（x3） 2+（y1）
12、2=1 的圆心 M 作抛物线的准线的垂线 MH，交圆于 Q 交抛物线于 P，则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH| 1=3故选：A【点评】本题考查了圆与圆锥曲线的关系，考查了抛物线的简单几何性质，考查了数学转化思想方法，是中档题12设函数 f（x）=e x+x2，g（x）=lnx+x 23若实数 a，b 满足 f（a）=0，g（b）=0，则（ ）Ag（a）0f（b） Bf（b）0g（a） C0g（a）f（b） Df （b）g（a）0【考点】函数的值；不等关系与不等式【专题】函数的性质及应用【分析】先判断函数 f（x） ， g（x）在 R 上的单调性，再利用 f（a）=0，g（b）=0 判断a
13、，b 的取值范围即可【解答】解：由于 y=ex 及 y=x2 关于 x 是单调递增函数，函数 f（x）=e x+x2 在 R 上单调递增，分别作出 y=ex，y=2 x 的图象，f（0）=1+020，f（1）=e10，f（a）=0，0a1同理 g（x）=lnx+x 23 在 R+上单调递增，g（1）=ln1+13=20，g（ ）=，g（b）=0， g（ a）=lna+a 23g（1）=ln1+13=20，f（b）=e b+b2f（1）=e+1 2=e10g（ a）0f（b） 故选 A【点评】熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共
14、20 分13具有线性相关关系的变量 x，y，满足一组数据如下表所示：X 0 1 2 3y 1 1 m 8若 y 与 x 的回归直线方程为=3x，则 m 的值是 4 【考点】线性回归方程【专题】计算题；概率与统计【分析】利用平均数公式计算预报中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得答案【解答】解：由题意， =1.5， = ，样本中心点是坐标为（1.5， ） ，回归直线必过样本中心点，y 与 x 的回归直线方程为=3x， =31.51.5，m=4故答案为：4【点评】本题考查了线性回归直线的性质，回归直线必过样本的中心点14数列a n的通项公式是 an= ，若前 n 项和学为 3，则项数 n
15、的值为 15 【考点】数列的求和【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】把已知的数列的通项公式分母有理化，作和后由前 n 项和等于 3 得答案【解答】解：由 ，得= ，由 ，得 ，n=15故答案为：15【点评】本题考查了数列的求和，考查了裂项相消法，是中档题15已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BAC=90，侧面 BCC1B1 的面积为 2，则直三棱柱ABCA1B1C1 外接球表面积的最小值为 4 【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】设 BC=2x，BB 1=2y，则 4xy=2，利用直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BAC=90，可得直三棱柱 ABCA1B
16、1C1 外接球的半径为 =1，即可求出三棱柱ABCA1B1C1 外接球表面积的最小值【解答】解：设 BC=2x，BB 1=2y，则 4xy=2，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BAC=90，直三棱柱 ABCA1B1C1 外接球的半径为 =1，直三棱柱 ABCA1B1C1 外接球表面积的最小值为 412=4故答案为：4【点评】本题考查三棱柱 ABCA1B 确定 1C1 外接球表面积的最小值，考查基本不等式的运用，确定直三棱柱 ABCA1B1C1 外接球的半径的最小值是关键16已知函数 f（x）=x+sinx（x R） ，且 f（y 28x+1）+f（x6y+10）0，则当 y3 时，函数 F（
17、x，y）=x 2+y2 的最小值与最大值的和为 62 【考点】函数的最值及其几何意义【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】运用奇偶性的定义和求导，判断单调性，可得 f（x）在 R 上为增函数且为奇函数由条件可得 f（y 28x+1）f（x6y+10）=f（x+6y10） ，则有 y28x+11x2+6y10，运用配方可得（x4 ） 2+（y3） 24，由圆的知识，及 F（x，y）=x 2+y2 的几何意义是（x，y）与原点的距离的平方，即可得到最值之和【解答】解：易知 f（x）=x+sinx（x R） ，f（ x）=x+sin（ x）= （x+sinx）=f（x） ，则 f（x）
18、是奇函数，又 f（x）=1+cosx0，则 f（x）在 R 上为增函数所以 f（y 28x+1）+f（x 26y+10）0，即为 f（y 28x+1）f（x 26y+10）=f（x 2+6y10） ，则有 y28x+11x2+6y10即 x2+y28x6y+210，即为（ x4） 2+（y3） 24，又 y3，则（x ，y）对应可行域是以（4，3）为圆心，2 为半径的上半圆面，函数 F（x，y）=x 2+y2 的几何意义是（ x，y）与原点的距离的平方连接点（2，3）和（0，0）的距离为 ，连接原点和圆心（4，3）延长交半圆于 P，则 PO 的距离为 +2=7，即有 F（x，y） min=13
19、，F（x，y） max=49，其和为 62故答案为：62【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，同时考查圆的方程，两点的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数 的图象过点 M（ ，0） （1）求 m 的值；（2）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 ccosB+bcosC=2acosB，求f（A）的取值范围【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】 （1）根据二倍角的三角函数公式和辅助角公式，将函数 y=f（x）化简，得 f（x）=sin（2x ）+m ，再将 M 点坐标代入，可得 m=；（2）利用正弦定理，将 ccosB+bcosC=2acosB 化简整理，得 cosB=，所以 B= 由此得到函数 f（A）=sin （2A ） ，其中 A（0， ） ，再结合正弦函数的图象与性质，可得f（A）的取值范围【解答】解：（1）sinxcosx=sin2x，cos 2x=（1+cos2x）
