1、南宁八中 2016 届 9 月份月考 数 学 试 题（理科）本试卷分为第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分.满分 150分.考试时间 120分钟.第 I卷（选择题 共 60分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60分,在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1设 i 为虚数单位，则复数 （ ）6iA B C D655i65i65i2下列函数中，在区间 上为增函数的是 ( ) (0,)A B. C D 1yx1(2xyln2yx1yx3已知 ，则“ ”是“ ”的 （ ）RaaaA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4执行
2、图中的程序框图（其中 表示不超过 的最大整数） ，则xx输出的 值为（ ）S 56D75.函数 yf（x）在定义域（ ，3）内的图像如图所示记 yf （x）的导函数为32yf（x） ，则不等式 f（x） 0 的解集为 （ ）A ，1 2，3） B1， ， 13 12 43 83C ， 1，2） D （ ， ， ，3） 32 12 32 13 12 43 436一个几何体的三视图如图所示，如该几何体的表面积为92 ，则 的值为（ ）2cmh A4B5C6D77设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2xy 的最大值为（ ）A10 B 3 C 8 D28.数列 中， 则 ( )na ),()12,21
3、1 Nnan 10aA. B. C. D.451758599已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点2(0,)xyab3yx在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为 ( )48A B C D21360xy2197xy210836x217910设 ，则多项式 的常数项为 ( )21(sin)md()m 56565411已知函数 若关于 x 的方程 f(x)=k有两个不同的实根，32,()1)xfx则数 k的取值范围是 （ ）A B C D1,0,02,02,012. 函数 的图像大致为 ( )xy26cos第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13若向量 a，b 满足 ， ，且
4、a 与 b 的夹角为 ，则 _ |1|2b3|2|ab14小明在做一道数学题目时发现：若复数 ，111cosi n,z22 cosin,z(其中 ), 则 ，333cosi nz123,R2 1s() (+)z，根据上面的结论，可以提出猜想: z 1z2z3= 22)i s+)15设 a0， b0，且不等式 0 恒成立，则实数 k的最小值等于 1a 1b ka b16 已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若 =（ + ） ，则 与 的夹角为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17 （本小题满分 12 分）已知 分别为 三个内角 的对边，,cABC,cos3in0ab（1 ）
5、求 ;A（2 ）若 ， 的面积为 ；求 BC3,bc18.（ 本小题满分 12 分）某花店每天以每枝 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以5每枝 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理10（1）若花店一天购进 枝玫瑰花，求当天的利润 (单位：元)关于当天需求量 （单16yn位：枝， ）的函数解析式 nN（2）花店记录了 100天玫瑰花的日需求量（单位：枝） ，整理得下表：日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20频数 10 20 16 16 15 13 10以 100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。（i）若花店一天购进 枝玫瑰花， 表示当天的利润（单位
6、：元） ，求 的分布列，16XX数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进 16枝或 17枝玫瑰花，你认为应购进 16枝还是 17枝？请说明理由。19. （本小题满分 12分） 如图，直三棱柱 ABC 中，D，E 分别是 AB， 的中1CBA1B点，.ABCA21(1)证明： 平面 ；1D1(2)求二面角 的正弦值E20.（本小题满分 12分）已知椭圆 （ ）的左、右顶点分别为 ，2:1xyCab0a1A，且 , 为椭圆上异于 ， 的点， 和 的斜率之积为 2A12|4P1A21P2A34（1）求椭圆 的标准方程；（2）设 为椭圆中心， ， 是椭圆上异于顶点的两个动点，求 面积的OMNOMN最
7、大值21.（本小题满分 12分）已知函数 ， ()ln(1)fxax(xge（1）求函数 的单调区间；()fx（2）当 时，过原点分别作曲线 与 的切线 ， ，已知两切0a()yfx()1l2线的斜率互为倒数，证明： ；21eae请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号,10 分【选修 4-1：几何证明选讲】22.如图，已知 AD 是ABC 的外角EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点 D，延长 DA 交ABC 的外接圆于点 F，连接 FB、FC.(1)求证：FBFC；(2)求证：FB 2FAFD；(3)若 AB 是ABC 外接圆的直径
8、， EAC120 ，BC 6，求 AD 的长【选修 4-4：坐标系与参数方程 】23在直角坐标平面内，以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已Ox知曲线 的极坐标方程为 ，直线的参数方程为 （为参数） C4cos1cos63inxty（1）分别求出曲线 和直线的直角坐标方程；（2）若点 在曲线 上，且 到直线的距离为 1，求满足这样条件的点 的个数PPP【选修 4-5：不等式选讲】24已知 ，且 0ab1()mab（1）试利用基本不等式求 的最小值；（2）若实数 满足 ，求证： ,xyz224yzt23xyz南宁八中 2016 届 9 月份月考 数 学 试 题（理科） （参考答案
9、）一、选择题 DCBDA ACCAB BD7:简单线性规划不等式的解法及应用作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最大值解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 ABC） 由 z=2xy 得 y=2xz，平移直线 y=2xz，由图象可知当直线 y=2xz 经过点 C 时，直线 y=2xz 的截距最小，此时 z 最大由 ，解得 ，即 C（5，2）代入目标函数 z=2xy，得 z=252=8故选：C本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法二、填空题 13、 14、23123123cossin15、
10、4 16、 90 16 解：在圆中若 =（ + ） ，即 2 = + ，即 + 的和向量是过 A，O 的直径，则以 AB，AC 为临边的四边形是矩形，则 ，即 与 的夹角为 90，故答案为：90本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础三、解答题、17（12 分） 【解析】 （1）由正弦定理得：cos3in0sinco3sinsinaCbcACBCisi()1s1323060Aa6 分（2） 1sin4SbcAbc22osa解得： 12 分18、 【 解析 】 （1）当 时，6n1(05)8y当 时，5n得： 4分08()16yN（2） （i） 可取 ， ，X
11、70().,().2,(80).7PPXPX的分布列为 607.10.20.760.17.280.76EX8分24D（ii）购进 17枝时，当天的利润为(1453)0.1(52)0.(165)0.16750.46.y得：应购进 17枝 76.12分19、解析： (1)连结 AC1交 A1C于点 F，则 F为 AC1中点又 D是 AB中点，连结 DF，则 BC1 DF.因为 DF平面 A1CD， BC1 平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD.(2)由 AC CB 得， AC BC.2B以 C为坐标原点， 的方向为 x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz.设 CA2，则 D(1
12、,1,0)， E(0,2,1)， A1(2,0,2)， (1,1,0)， (0,2,1)，CDE(2,0,2)1A设 n( x1， y1， z1)是平面 A1CD的法向量，则 即10,C10,2.yxz可取 n(1，1，1)同理，设 m是平面 A1CE的法向量，则 可取 m(2,1，2)10,E从而 cos n， m ，3|故 sin n， m .6即二面角 D A1C E的正弦值为 .320.（本小题满分 12分）已知椭圆 （ ）的左、右顶点分别为2:1xyCab0a， ，且 , 为椭圆上异于 ， 的点， 和 的斜率之积1A212|4P1A21P2A为 34（1）求椭圆 的标准方程；C（2）
13、设 为椭圆中心， ， 是椭圆上异于顶点的两个动点，求 面积的OMNOMN最大值【解析】 （1）由 ，得 ，所以 ， 12|4Aa21(,0)A2(,)设 ，则 ，解得 0(,)Pxy020314yxb23b于是椭圆 的标准方程为 C32yx（4 分）（2）当直线 垂直于 轴时，设 的方程为 ，MNNxn由 ，得 ， ，213xyn23(,)4n23(,)4从而 ，当 时， 的面积取得最224132OMNSn 2OMN大值 （6 分）3当直线线 与 轴不垂直时，设 的方程为 ，xMNykxm由 消去 ，得 2143xykm22(34)8410kx，化简得 226()1)0 23km设 ， ，则
14、， ， （81(,)Mxy2,Ny122834x124x分），2222113|() 4kmkxx原点 到直线 的距离 ON2|mdk（10 分）所以 221341| 32OMNSdk （11 分）当且仅当 时， 取得最大值 234kmOMNS 3综合知， 的面积取得最大值 （12 分）【解析】 （1）依题意，函数 的定义域为 ，对 求导，得()fx(0,)()fx()axfx若 ，对一切 有 ，函数 的单调递增区间是 00()fx()fx(0,)若 ，当 时， ；当 时， a1(,xa01,afx所以函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 )f (,)(,)（3 分）（2）设切线 的方程为 ，切点为 ，则 ，2l2ykx2(,)y2xe，所以 ， ，则 22()xkge212e2xk由题意知，切线 的斜率为 ， 的方程为 1l12k1l1ye设 与曲线 的切点为 ，则 ，1l()yfx1(,)xy111()ykfxax所以 ， 11ae1e又因为 ，消去 和 后，整理得 11ln()yx1ya1ln0xe（6 分）令 ，则 ， 在 上单调递()l0mxe2)( xxm()m,1减，在 上单调递增1,若 ，因为 ， ，所以 ，(0)x1()2ee1()0e1(,)e而 在 上单调递减，所以 1a1,x2a
