1、二次函数的图象和性质,高一数学 毕京祥,教学目标知识与技能目标1能通过配方把二次函数化成,的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2会利用对称性画出二次函数的图象3、会用公式确定,对称轴和顶点坐标。,过程与方法目标通过思考（新问题转化为旧知识，）探究，归纳，尝试等过程，让学生从中学会探索新知的方式方法。情感态度价值观目标经历求二次函数的对称轴和顶点坐标的探究过程，渗透配方法和数形结合的思想方法。,重点和难点教学重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴教学难点：配方法的推导过程,（一）二次函数的定义,一般地，如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a0),那么y叫做x 的二次函数.,解
2、：根据题意，得,（二）二次函数的几种表达式：,、,、,、,(顶点式),(一般式),(交点式),例2、已知抛物线yax2bxc（a0） 与x轴的两个交点的横坐标是 -1、3，与 y轴交点的纵坐标是 ：,（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.,（1）确定抛物线的解析式；,开口向上; 对称轴直线x=1; 顶点坐标(1,-2),当a0时开口向上，并向上无限延伸；当a0时开口向下，无限延伸.,(h,k),直线,直线,在对称轴左侧，y随x的增大而减小,在对称轴右侧，y随x的增大而增大,在对称轴左侧，y随x的增大而增大,在对称轴右侧，y随x的增大而减小,（三）二次函数的图像与性质,（四）研究
3、二次函数的一般方法:（1）配方（2）求函数的图象与x轴的交点（3）列表描点作图（4）函数图象的对称性质（5）函数的增减性，最值,例3.研究函数 的图像与性质.,所以函数y=f(x)的图像可以看作是由y = x2 经一系列变换得到的，具体地说：先将y = x2 的图像向左移动4个单位，再向下移动2个单位得到 的图像,解：（1）配方得,（2）函数与x轴的交点是：,(6，0)和( 2，0),（0，6）,函数与y轴的交点：,（4） 函数f(x)在(, 4上是减函数，在4, + )上是增函数.,（5）函数f(x)在x=4时，取得最小值2，记为ymin=2. 它的图象顶点为(4，2),（3）函数图像的对称
4、性质：,函数的对称轴是x=4。如果一个函数f(x)满足：f(a+x) = f(ax)，那么函数f(x)关于x=a对称.,解：（1）因为抛物线的对称轴是x=2， 所以 ，解得m=2，m10， 抛物线的开口向上.,（2）原函数整理得y=x24x+3=(x2)21.所以当x=2时，ymin=1.单调增区间为2, +)，单调减区间为(, 2.,例4. 已知函数f(x)=ax2+bx(a，b为常数)，x1，1， （1）若函数f(x)为偶函数，且f(1)=1，求a，b的值； （2）若函数f(x)为奇函数，且f( )= ,求f(x)的值域。,解： （1）因为函数f(x)=ax2+bx为偶函数，所以b=0，又
5、f(1)=1，所以a=1. f(x)=x2.,（2）函数f(x)为奇函数，则a=0，b=1， 所以f(x)=x， x1，1， 所以值域是1，1.,例5. 已知函数f(x)=x24x+1，不计算函数值，比较f(1)、f(1)、f(4)、f(5)的大小。,解： f(x)=x24x+1=(x2)23，对称轴是x=2，在区间2, +)上是增函数.f(1)=f(23)=f(2+3)=f(5)，f(1)=f(21)=f(2+1)=f(3)，所以f(1)f(4)f(1)=f(5).,例6. 已知二次函数y=x2mx+m2， （1）证明：无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个交点； （2）m为何值时，这两个
6、交点之间的距离最小。,解：（1）=m24m+8=(m2)2+40， 所以无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个交点；,（2）设方程的两个解分别为x1，x2，则x1+x2=m，x1x2=m2，,(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2=m24m+8=(m2)2+4.,所以当m=2时，|x1x2|最小，最小值是2.,能力训练,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是_,1,-1,0,x,y,abc b 2a+b=0 =b2-4ac 0, ,1.已知 的图象如图所示,则a、b、c满足( ) (A) a0,b0 (C) a0,c0; (D) a0,D,反馈练习：,2、下列各图中能表示函数 y=ax+b和 在同一坐标系中的图象大致是（ ）,D,总结： 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的系数a，b，c，与抛物线的关系,a决定开口方向：a时开口向上，a时开口向下,a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧a、b异号时对称轴在y轴右侧b时对称轴是y轴,c决定抛物线与y轴的交点：c时抛物线交于y轴的正半轴c时抛物线过原点c时抛物线交于y轴的负半轴,决定抛物线与x轴的交点：时抛物线与x轴有两个交点时抛物线与x轴有一个交点时抛物线于x轴没有交点,课堂小结,相信你们会更棒的！,
