1、A BCDD1 C1B1A1FE广东仲元中学 2016 届高三数学(理)11 月月考试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 已知复数 ， ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）1zi23zi21zA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限(2) 已知命题 “ ”，则命题 （ ）:p,10xeR:p(A) (B),x,10xeR(C) (D)(3) 各项均为正数的等差数列 中， ，则前 12 项和 的最小值为（ ）na493612S(A) (B) (C) (D)78807(4) 已知 ，则 （
2、 ）1cos()3si(2)(A) (B) (C) (D)9792949（5）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 S 的值是 （ ）A3 B C.一 D. 21213（6）若实数 x、 y 满足不等式组 则 z=| x |+2 y 的最大值是 （ ）50.1yxA1 0 B1 1 C1 3 D1 4（7）有5 名优秀毕业生到母校的3 个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为 ( )A.150 B.180 C. 200 D. 280（8）.用 min,abc表示 a,b,c 中的最小值，设 ()min2,8(0),xf x则()fx的最大值是（ ）A. 3 B.4 C.5
3、 D. 6(9)如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱） 中，1ABCD是 的中点， 是 的中点， 是棱 所在直线上的动点EBCF1DP1C则下列四个命题： 平面 EF/AB 过 可做直线与正四棱柱的各个面都成等角11PADAEV其中正确命题个数有（ )(A)1 (B) 2 (C) 3 (D)4（10）已知抛物线 的准线与双曲线 相交于 两点，点 F 为抛物线的焦点，8yx216xya,AB为直角三角形，则双曲线的离心率为 （ ）ABFA.3 B.2 C. D. 3（11）一个正三棱柱的正视图是正方形(如图)，且它的外接球的表面积等于 ，325则这个正三棱柱的底面边长为（ ） A.1 B. C
4、.2 D.3 正视图2（12）设函数 yf (x), x R 的导函数为 f (x)，且 f(x) f (x)，f (x)f (x)，则下列不等式成立的是(e 为自然对数的底数） （ ）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分（13）已知向量 满足 ， 在 方向上的投影是 ，则 = ； ,ab|3ab32ab（14）过点 的直线与圆 相交于 两点，则 的最小值为 )1( 0462yxBA,|（15）已知数列 满足 ， ，则该数列的通项公式为 .na1)(1nan(16) 定义：如果函数 在定义域内给定区间 上存在 ，满足()yfx,ab0()xab,则称函数 是 上的“平均
5、值函数” ， 是它的一个均值点，abfxf)()(0 ,ab例如 是-1,1上的平均值函数， 0 就是它的均值点现有函数 是1,12y 3()fxm上的平均值函数，则实数 的取值范围是 m三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知函数 ()2cosin()6fxx（1）求 的最小正周期；第 19 题图（2）在 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ，ABC, ,abc()1fCsin2iBA且 的面积为 ，求 的值23c18某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持 不支持 合计
6、中型企业 80 40 120小型企业 240 200 440合计 320 240 560（1）能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（2）从上述 320 家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出 12 家，然后从这12 家中选出 9 家进行奖励，分别奖励中、小企业每家 50 万元、10 万元，记 9 家企业所获奖金总数为 X 万元，求 X 的分布列和期望附： ， .22()(nadbcKnabcdP（K2k0） 0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.63519.（本小题满分 12 分）在如图所示
7、的空间几何体中，平面 平面 ， 与 是边长为 的等边三ACDBACDB2角形， ， 和平面 所成的角为 ，且点 在平面 上的射影落在2BEB60E的平分线上AC（1）求证： 平面 ；/D（2 ） 求二面角 的余弦值20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 C： 的离心率为 ，连接椭圆四个顶点形成的四边形面21(0)xyab2积为 4 。 （1）求椭圆 C 的标准方程；（2） 过点 A(1， 0)的直线与椭圆 C 交于点 M, N,设 P 为椭圆上一点，且O 为坐标原点， ） ，当 时，求 t 的取值范围。,0(tPNMO 354|NOM21.（本小题满分 12 分）已知函数 ， ()ln(1)f
8、xax(xge（1）求函数 的单调区间；()fx（2）设 ，当 时， ，求实数 的取值范围；1()hg0ha（3）当 时，过原点分别作曲线 与 的切线 ， ，已知两切线的斜率互为0a()yfx()g1l2倒数，证明： .2eae请考生在（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答22（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图 5，以 的边 为直径作圆 交 于 ，过 点ABCOACD作 于 ， 交圆 于点 ，交 于点 EEGBF（1）证明； F（2）证明： 2G23（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ） ，
9、以坐标原点xoy1Ccos,3in,xtyt0t为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ， 曲线 的极22sin3C坐标方程为 （1）求曲线 与 交点的极坐标26cos80 1（ ） ；0,（2）若点 是曲线 上一动点，求点 到曲线 的最短距离P3CP1CAGDFB O E C图 524 （本小题满分 10 分） 选修 4-5：不等式选讲已知 和 是任意非零实数.ab（1）求 的最小值。|2|（2）若不等式 恒成立，求实数 x 的取值范围.|)2|(| xab广东仲元中学 2016 届高三数学(理)11 月月考试题参考答案一选择题：DADBB DACDA CB二，填空题：
10、13. ， 14.4， 15. 16.2913na43,(三解答题：17 解：（1）f（x）=2cosx（ sinx+ cosx）= sin2x+ cos2x+ =sin（2x+ ）+ ，（4 分）=2，f（x）的最小正周期为 ；.（5 分）（2）f（C）=sin（2C+ ）+ =1，sin（2C+ ）= ， 2C+ ，2C+ = ，即 C= ，.（7 分）sinB=2sinA，b=2a，.（8 分） ABC 面积为 2 ， absin =2 ，即 ab=8，.（9 分）联立，得：a=2，b=4，.（10 分）由余弦定理得：c 2=a2+b22abcosC=12，即 c=2 .（12 分）点评
11、： 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及三角函数的周期性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18 解：（1）K 2= 5.657， 因为 5.6575.024，所以能在犯错概率不超过 0.025 的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关（4 分）（2）由（）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为 1：3，按分层抽样得到的 12 家中，中小企业分别为 3 家和 9 家设 9 家获得奖励的企业中，中小企业分别为 m 家和 n 家，则（m，n）可能为（0，9） ， （1，8） ， （2，7） ， （3，6） 与之对应 X 的可能取值为 90，130，170，210（6 分
12、）P（X=90）= ，P（X=130）= ，P（X=170）= ，P（X=210）= ，（10 分）分布列表如下：X 90 130 170 210P 期望 EX=90 +130 +170 +210 =180（12 分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题19 解：（1）由题意知， ， 都是边长为 2 的等边三角形，取 中点 ，连接ABCDACO，则 ， ，2 分DOB,O又平面 平面 ， 平面 ，作 平面 ，ABCEFB那么 ，根据题意，点 落在 上， ， 易求得 4EF/F603DEF分四边形 是平行四边形， ， 平面 6 分DEFOOFDE/AB
13、C（2）解法一：作 ，垂足为 ，连接 ，BCGG 平面 ， ，又 ，A 平面 ， ， 就是二面角 的平面角9 分BCE中， ， ， EFRt2130sin 3EF213 即二面角 的余弦值为 .12 分cosGABC解法二：建立如图所示的空间直角坐标系 ，可知平面 的一个法向量为xyzOBC)1,0(1n设平面 的一个法向量为BCE),(2n则， 可求得 9 分02n1,3所以 ，|,cos211n又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角 的余弦值为 .ABCE13考点：线面平行、垂直的判定定理空间直角坐标系的建立方法向量的数量积定义20解：（1） ， ，即 221bea ， 2 2ab
14、又 ， 24Sab， 24 ，椭圆 C 的标准方程为 （4 分）21xy（2）由题意知，当直线 MN 斜率存在时，设直线方程为 ， ，(1)ykx12()()()MxyNPxy， ， ， ， ，联立方程 消去 y 得 ，24(1)ykx， 22()40kk因为直线与椭圆交于两点，所以 恒成立，42216()4)160k，22121121224kkxxykx ， ，又 ，OMNtP21212 24()xkxttyy， ， ，因为点 P 在椭圆 上，所以 ，214x42221684()(1)kktt即 ， （8 分）222 2(1)kktktk， 又 ，45|3OMN即 ，整理得： ，2145|
15、3kx， 2246513kA化简得： ，解得 或 （舍） ，4213580k2283k，即 2221t t ， 61t， ，当直线 MN 的斜率不存在时， ，此时 ，,22MNt （12 分）61,13t考点：椭圆的定义直线与圆锥曲线的综合问题21、解：（1）依题意，函数 的定义域为 ，对 求导，得()fx(0,)()fx1()afxx若 ，对一切 有 ，函数 的单调递增区间是 00()fx()fx(0,)若 ，当 时， ；当 时， a(,a01,afx所以函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 （3 分）)fx(,)(,)（2） ， （4 分）(1)ln1xhgxe1)xhea因为 ，所以
16、 在 上递增， （5 分）22() 0()xxe(0,又 ah） （ 、 20 当 时，02, h） （(或因为 ，所以 ，)1xe11() 20xeaxa在 上递增， 恒成立，符合题意 （6 分）)h0,h当 时，且 ，则存在 ，使得 2a()20ha0(,)x()h所以 在 上递减，在 上递增，又 ，()x0,(,)01所以 不恒成立，不合题意 （7 分）1综合可知，所求实数 的取值范围是 （8 分）a,2（3）设切线 的方程为 ，切点为 ，则 ，2l2ykx2(,)y2xe，所以 ， ，则 22()xkge2122xk由题意知，切线 的斜率为 ， 的方程为 1l12ke1l1ye设 与曲
17、线 的切点为 ，则 ，1l()yfx1(,)xy111()ykfxax所以 ， 11ae1e又因为 ，消去 和 后，整理得 （10 分）11ln()yx1ya1ln0xe令 ，则 ， 在 上单调递减，在()l0mxe2)( xxm()m,1上单调递增1,若 ，因为 ， ，所以 ，(0,)x1()2ee1()0e1(,)xe而 在 上单调递减，所以 1a1,x2a若 ，因为 在 上单调递增，且 ，则 ，(,)x()m,)()0me1xe所以 （舍去） 综上可知， （12 分）10axe21eae22（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲证明：（1） ， 2 分AEBC90EFAC 为直
18、径， ,B90DBE90CAE 4 分 ； 5 分F（2）由（1）得 ， 7 分EA连接 和 ， 是直径， ，而 ，GCB90GCB由射影定理得， 9 分 102 2EFA分23（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程解：（1）曲线 与 的普通方程分别为 （ ） ， 2 分1C2 3yx02xy解方程组 ，得 , （舍去） 4 分23yx2xy1y 曲线 与 交点的极坐标分别为 6 分1C2(3,)（2）曲线 的普通方程为 ，即 ，32680xy2(1xy圆心为 ，半径 ， 7 分(,0)1r圆心 到直线 ： 的距离为 9 分,C3yx|30|32d曲线 上的动点 到曲线 的最短距离为 10 分3P1r点评： 本题主要考查函数的单调性及最值，以及分类讨论的思想，转化思想，属于中档题24.解：（1） 对于任意非零实数 a 和 b 恒成立，|4|2|2| ababa当且仅当 时取等号，0)(的最小值等于 4。 5 分|2|b（2） 恒成立，|2| abx
