1、2016 届山西省山西大学附属中学高三 10 月月考数学文试卷考查时间：100 分钟 一.选择题（每小题 3 分,满分 36 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是题目要求的）1. 设 011,2357,9UUABxNAB，则 B的非空真子集的个数为（ ）A 5 B 30 C 31 D 322. 角 的终边过点 )2,93(a，且 0sin,co，则 a的范围是（ ）A ),2( B C 32 D 3,2 3已知等比数列 n中，各项都是正数，且 ,1a，成等差数列，则 87109aA 1 B 21 C D 4. 下列命题中的说法正确的是A若向量 ba/，则存在唯一的实数 使得 b；B命题“若
2、2x，则 ”的否命题为“若 12x，则 ”；C 命题“ R0，使得 0120x”的否定是：“ Rx，均有 012x”；D “ 5且 ”是“ ba”的充分不必要条件；5设 ba,，则“ ”是“ ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6.已知正四棱锥BS中， 32SA，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）A 1 B C 2 D 37设 cba,为三角形 三边， 若 ，则三角形,1cbalogl2loglcbcbcbcbaa的形状为（ ）CA锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D无法确定8. Rt的角 ,所对的边分别是 ,（其中 为斜边） ，分别以
3、 , 边所在的直线为旋转轴，将 旋转一周得到的几何体的体积分别是 123,V，则( )A 123V B 123 C 2213 D 2213V9执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A4 B9 C7 D510. 已知 ,ab是平面内互不相等的两个非零向量,且 |1,ab与 的夹角为 150,则 |的取值范围是（ ） A 3( B 1,3 C 2,0( D 3,211已知点 P 为双曲线 右支上一点， 分别为双),2bayx 1,F曲线的左右焦点，且 ，I 为三角形 的内心，若abF21|21FP1212IPFIISS成立， 则 的值为（ ）A B C D3121212.已知函数 ()yfx是定义
4、域为 R的偶函数. 当 0x时， ,)1()402sin5(xxf若关于 x的方程 25()6)(0fafa（ ）有且仅有 6 个不同实数根，则实数 a的取值范围是A 5014或 B 514a或 C 或 D 或 0二.填空题（每题 4 分,满分 16 分）13. 设 i是 虚 数 单 位 ， Z是复数 的共轭复数，若321iZ，则 _ 14已知函数 3,0()xfab满足条件： ()yfx是 R上的单调函数且 ()4fafb，则(1)f的值为 _.15已知点 )21,(A在抛物线 )0(2:pxyC的准线上，点 M，N 在抛物线 C 上，且位于 x轴的两侧，O 是坐标原点，若 3ONM，则点
5、A 到动直线 MN 的最大距离为 16函数 12()4cos(5)3xyx，则此函数的所有零点之和等于 三.解答题（本大题 5 个小题，共 48 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17 ABC中，内角 ,的对边分别是 ,abc，已知 ,c成等比数列，且 3cos4B.（）求 1tant的值；（）设 32，求 ac的值.18.某校高三年级文科学生 600 名，从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生（该班共 50 名同学） ，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为 150 分） ，数学成绩分组及各组频数如下表：分组 频数 频率45，60） 2 00460，75） 4 00875，9
6、0） 8 01690，105） 11 022105，120） 15 030120，135） a b135，150 4 008合计 50 1（1）写出 ab， 的值；（2）估计该校文科生数学成绩在 120 分以上学生人数；（3）该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在135，150中选两位同学，来帮助成绩在45，60）中的某一位同学已知甲同学的成绩为 56 分， 乙同学的成绩为 145 分，求甲乙在同一小组的概率19 在如图所示的多面体 ABCDE中，已知 /,ABEDAC是正三角形， 2,5,F是 的中点.（1）求证： /F平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的余弦值；（3）
7、求多面体 ABCE的体积.20已知椭圆2:1(0)xyab的离心率为 2，其左，右焦点分别为 1F， 2点 P是坐标平面内一点，且 7OP， 1234F，其中 O为坐标原点.(1)求椭圆 C的方程；(2)过点 (0,)3S，且斜率为 k的动直线 l交椭圆于 ,AB两点，在 y轴上是否存在定点 M，使以 ,AB为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数 )(xf的定义域 ，0，若 xfy)(在 ，0上为增函数，则称 )(xf为“一阶比增函数” ；若 2y在 ， 上为增函数，则称 f为“二阶比增函数” 。把所有由“一阶比增函数”组成的集合记为 1A，把所
8、有由 “二阶比增函数 ”组成的集合记为 2A.（1）已知函数 hxxf23)(，若)(xf且 2)(xf，求实数 h的取值范围；（2）已知 ，且存在常数 k，使得对任意的 ，0x，都有 kf)(，求 的最小值.1. 设 01,1,2357,9UUABNxAB，则 B的非空真子集的个数为( )ABCFDEA. 5 B. 30 C. 31 D. 322角 的终边过点 )2,93(a，且 0sin,co，则 a的范围是（ ）D、A),(、B 、C32 、 3,2 3已知等比数列 na中，各项都是正数，且 2,3,1a，成等差数列，则 87109aA. 21 B. 21 C. D. 2344. 下列命
9、题中的说法正确的是A若向量 ba/，则存在唯一的实数 使得 ba；B命题“若 2x，则 ”的否命题为“若 12x，则 ”；C. 命题“ R0，使得 0120x”的否定是：“ R，均有 012x”；D “ 5且 ”是“ ba”的充分不必要条件；5设 ba,，则“ ”是“ ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件6.已知正四棱锥 ACDS中， 32S，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）c、 1、 、 2 、 37设 cba,为三角形 三边， 若 ，则三角形B,1cbaloglloglcbcbcbcbaa的形状为BA锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形
10、 D无法确定8. Rt的角 ,所对的边分别是 ,abc（其中 为斜边） ，分别以 ,abc 边所在的直线为旋转轴，将 旋转一周得到的几何体的体积分别是 123,V，则( )A. 123VB. 123V C. 2213VD. 2139执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A4 B9 C7 D510. 已知 ,ab是平面内互不相等的两个非零向量,且 |1,ab与 的夹角为 150,则|的取值范围是 A. 3,0( B. 1,3 C. 2,0( D. 3,211已知点 P 为双曲线 右支上一点， 分别为双曲线的),2bayx 1,F左右焦点，且 ，I 为三角形 的内心，若 1212IPFIIFSS成
11、bF21| 21FP立， 则 的值为（ ）A B C D21132121212.已知函数 ()yfx是定义域为 R的偶函数. 当 0x时， ,)1()40sin5(xxf若关于 x的方程 25()6)(0fafa （ ）有且仅有 6 个不同实数根，则实数 a的取值范围是A. 5014或 B. 514a或 C. 或 D. 或 013. 设 i是 虚 数 单 位 ， Z是复数 的共轭复数，若321iZ，则 _ 1i14已知点 )21,(A在抛物线 )0(:2pxyC的准线上，点 M，N 在抛物线 C 上，且位于 x轴的两侧，O 是坐标原点，若 3ONM，则点 A 到动直线 MN 的最大距离为 52
12、15 （理科）向曲线 2xy所围成的区域内任投一点，这点正好落在 21yx与 轴所围成区域内的概率为 _43615 （文科）已知函数 ,0()xfab满足条件： ()yfx是 R 上的单调函数且 4ff，则 (1)f的值为 _ 316函数 12()4cos(35)3xyx，则此函数的所有零点之和等于 8备 1 在锐角 ABC中，角 ,的对边分别为 ,abc，若 6cosaC，则tan t的值是_ 4备 1过正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱 DD1 的中点与直线 BD1 所成角为 40，且与平面 AC C1A1 所成角为 50的直线条数为（ ）217 ABC中，内角 ,的对边分别是 ,ab
13、c，已知 ,c成等比数列，且 3cos4B.（）求 1tant的值；（）设 32，求 ac的值.17. 解：（）因为 ,b成等比数列，所以 acb2,由余弦定理可知： )1(2cos caacB又 3cos4，所以 47in，且 43)1(，解得 2或a.于是 78sinsinsicoita1tn 或 BcACBA .（）因为 32BC,所以 23a，所以 2，又 或c，于是 c.【另解】由 A得 osB，由 cos4可得 ca，即 2b由余弦定理 22bac得 22os5abB22549acac 3ac.18 （理科）甲箱子里装有 3 个白球 m个黑球，乙箱子里装有 m个白球，2 个黑球，在
14、一次试验中，分别从这两个箱子里摸出一个球，若它们都是白球，则获奖（1） 当获奖概率最大时，求 的值；（2）在（1）的条件下，班长用上述摸奖方法决定参加游戏的人数，班长有 4 次摸奖机会（有放回摸取） ，当班长中奖时已试验次数 即为参加游戏人数，如 4 次均未中奖，则 0，求 的分布列和E18. 选修3 P592（1）获奖概率 33,2625mp或 3 时 max10P4 分（2） 的取值有 0，1，2，3，41 2 3 4 0P071049103137321432576.2E12 分19（理科）如图，在多面体 ABCDEF中， 为菱形，60ABC， E平面 ， 平面 ABCD，G为 F的中点，
15、若 G/平面 （1）求证： 平面 ；（2）若 ，求二面角 EFB的余弦值8、解：取 AB 的中点 M，连结 GM,MC，G 为 BF 的中点,所以 GM /FA,又 EC面 ABCD, FA 面 ABCD,CE/AF,CE/GM, 2 分面 CEGM面 ABCD=CM,EG/ 面 ABCD,EG/CM, 4 分在正三角形 ABC 中，CM AB,又 AF CMEG AB, EG AF,EG 面 ABF.6 分（）建立如图所示的坐标系,设 AB=2,则 B（ 0,3）E(0,1,1) F（0，-1，2）EF=(0，-2,1) , =( 3,-1，-1), DE=( 3,1， 1),8 分设平面
16、BEF 的法向量 1n=（ zyx,）则032zyx令 ，则 3,2x, 1n=（ ,） 10 分同理，可求平面 DEF 的法向量 2n =（- ,13）设所求二面角的平面角为 ，则cos= 41.12 分19.（文科）在如图所示的多面体 ABCDE中，已知 /,ABEDAC是正三角形，2,5,ADEF是 的中点.（1）求证： /F平面 ；（2）求直线 C与平面 所成角的余弦值；（3）求多面体 B的体积.19. 解：第一步，取 E 中点 M，证明四边形 ABF为平行四边形.（1）如图，取 C的中点 ，连接 ,，因 为 CD的中点，所以 1/2MFED，又 1/2AE,所以 /FAB，四边形 F
17、为平行四边形，第二步，证明线面平行.所以 /M,因为 平面 BE， A平面 BE，所以 /AF平面 .BCE第三步，证明 平面 .CD（2）因为 A是正三角形，所以 2C,在 中， 1,2,5，所ABCFDE以 22ABC，故 ABC，又 ,ADCA所以 B平面 .ACD第四步，找出直线 E与平面 所成的角.取 D的中点 H，连接 ,，则 H，又 ,所以 H，又 ，所以 平面 AB，所以 是直线 E与平面 AB所成的角.第五步，求线面角.在 RtCE中， 3,5,2,EC所以 10cos.4C第六步，求几何体的体积.（3）由（2）知， H是四棱锥 ABD的高，所以 (12)3.3ABCDEV1
18、8 （文科）某校高三年级文科学生 600 名，从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生（该班共 50 名同学） ，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为 150 分） ，数学成绩分组及各组频数如下表：分组 频数 频率45，60） 2 00460，75） 4 00875，90） 8 01690，105） 11 022105，120） 15 030120，135） a b135，150 4 008合计 50 1（1）写出 a、b 的值；（2）估计该校文科生数学成绩在 120 分以上学生人数；（3）该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在135，150中选两位同学，来帮助成绩在
19、45，60）中的某一位同学已知甲同学的成绩为 56 分， 乙同学的成绩为 145 分，求甲乙在同一小组的概率【答案】 （1）6、0.12；（2）120；（3） 21【解析】试题分析：（1）根据样本总数为 50 可以求出 a，根据频率总和为 1 可以求出 b；（2）将样本频数作为频率，结合学生总数可得到 120 分以上学生的人数；（3）逐一列出可能的分组情况，其中甲乙在一个小组的情况数除以总数就是所求概率试题解析：（1）6、0.12 2 分（2）成绩在 120 分以上的有 6410 人，所以估计该校文科生数学成绩在 120 分以上的学生有： 人. 6 分1065（3）45，60）内有 2 人，记
20、为甲、A135，150内有 4 人，记为乙、B、C、D法一：“二帮一”小组有以下 6 种分组办法：（甲乙 B，ACD） 、 （甲乙 C，ABD） 、 （甲乙 D，ABC） 、 （甲BC，A 乙 D） 、 （甲 BD，A 乙 C） 、 （甲 CD，A 乙 B） 其中甲、乙两同学被分在同一小组有 3 种办法：（甲乙 B，ACD） 、 （甲乙 C，ABD） 、 （甲乙 D，ABC） 所以甲、乙分到同一组的概率为 . 12 分216P20已知椭圆2:1(0)xyCab的离心率为 2，其左，右焦点分别为 1F， 2，点 P是坐标平面内一点，且 72OP， 1234F，其中 O为坐标原点.(1)求椭圆 的
21、方程；(2)过点 (0,)3S，且斜率为 k的动直线 l交椭圆于 ,AB两点，在 y轴上是否存在定点 M，使以 ,AB为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由21. 解：(1)221ceac，设 (,)Pmn，又 1(,0)Fc， 2(,)，274mn， 223(,)(,)4mn，231c，从而 21.ab 椭圆 C的方程为 2.xy 4 分(2)设 1:3ABlk代入椭圆整理得 2416()039kxk， 成立.记 1(,)xy， 2(,)，则 122()x， 122()，设存在定点 0,Mm， 0AB12122(,)()()m0xyxyxy121221,31()()()03kkxmx2 22264(1)()()9()()kkkm1190,3392218()(m65)0k,
