1、2015-2016 学 年 山 东 省 烟 台 市 栖 霞 市 高 三 （ 上 ） 期 末 数 学 试卷 （ 理 科 ）一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1 若 集 合 A=x|x=3n1， nN， B=4， 1， 0， 2， 5， 则 集 合 AB=（ ）A 2， 5 B 4， 1， 2， 5 C 1， 2， 5 D 1， 0， 2， 52 若 a b 0， 则 下 列 不 等 式 正 确 的 是 （ ）A sina sinb
2、B log2a log2b C a b D （ ） a （ ） b3 已 知 （ 0， ） ， 若 tan（ ） = ， 则 sin2=（ ）A B C D4 已 知 函 数 f（ x） = ， 若 f（ a） =1， 则 f（ 1a） =（ ）A 2 B 2 C 1 D 15 已 知 函 数 f（ x） =x2ex， 当 x1， 1时 ， 不 等 式 f（ x） m 恒 成 立 ， 则 实数 m 的 取 值 范 围 为 （ ）A ， +） B （ ， +） C e， +） D （ e， +）6 已 知 ABC 和 点 M 满 足 若 存 在 实 数 m 使 得 成立 ， 则 m=（ ）A 2
3、 B 3 C 4 D 57 若 中 心 在 原 点 ， 对 称 轴 为 坐 标 轴 的 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y= x， 则 该双 曲 线 的 离 心 率 为 （ ）A 或 B 或 3 C D 38 已 知 变 量 x， y 满 足 线 性 约 束 条 件 ， 则 目 标 函 数 z= xy 的 最小 值 为 （ ）A B 2 C 2 D9 已 知 函 数 f（ x） =xcosx， 有 下 列 4 个 结 论 ：函 数 f（ x） 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ；存 在 常 数 T 0， 对 任 意 的 实 数 x， 恒 有 f（ x+T） =f（ x） 成 立 ；对
4、 于 任 意 给 定 的 正 数 M， 都 存 在 实 数 x0， 使 得 |f（ x0） |M；函 数 f（ x） 的 图 象 上 存 在 无 数 个 点 ， 使 得 该 函 数 在 这 些 点 处 的 切 线 与 x轴 平 行 ；其 中 ， 所 有 正 确 结 论 的 序 号 为 （ ）A B C D 10 设 函 数 f（ x） 的 定 义 域 为 D， 若 f（ x） 满 足 条 件 ： 存 在 a， bD， 使f（ x） 在 a， b上 的 值 域 是 ， ， 则 成 f（ x） 为 “倍 缩 函 数 ”， 若 函 数f（ x） =log2（ 2x+t） 为 “倍 缩 函 数 ”，
5、则 t 的 范 围 是 （ ）A （ 0， ） B （ 0， 1） C （ 0， D （ ， +二 、 填 空 题 :本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25 分 .11 函 数 f（ x） =ln（ 2|x1|） 的 定 义 域 为 12 定 积 分 x dx 的 值 为 13 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 若 其 正 视 图 、 侧 视 图 都 是 面 积 为 ， 且一 个 角 为 60的 菱 形 ， 俯 视 图 为 正 方 形 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 14 已 知 抛 物 线 y2=8x 的 焦 点 为 F， P 是 抛
6、物 线 准 线 上 一 点 ， Q 是 直 线 PF 与抛 物 线 的 一 个 交 点 ， 若 = ， 则 直 线 PF 的 方 程 为 15 已 知 点 A（ 0， 1） ， 直 线 l： y=kxm 与 圆 O： x2+y2=1 交 于 B， C 两 点 ，ABC 和 OBC 的 面 积 分 别 为 S1， S2， 若 BAC=60， 且 S1=2S2， 则 实 数 k的 值 为 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 满 分 75 分 ， 解 答 需 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或演 算 步 骤 .16 已 知 函 数 f（ x） =cos2x+cos2（
7、 x+ ） （ xR） （ 1） 求 f（ x） 的 最 小 正 周 期 和 单 调 递 增 区 间 ；（ 2） 求 f（ x） 在 区 间 ， 上 的 最 大 值 和 最 小 值 17 “城 市 呼 唤 绿 化 ”， 发 展 园 林 绿 化 事 业 是 促 进 国 家 经 济 法 阵 和 城 市 建 设 事 业 的重 要 组 成 部 分 ， 某 城 市 响 应 城 市 绿 化 的 号 召 ， 计 划 建 一 如 图 所 示 的 三 角 形ABC 形 状 的 主 题 公 园 ， 其 中 一 边 利 用 现 成 的 围 墙 BC， 长 度 为 100 米 ， 另外 两 边 AB， AC 使 用
8、某 种 新 型 材 料 围 成 ， 已 知 BAC=120，AB=x， AC=y（ x， y 单 位 均 为 米 ） （ 1） 求 x， y 满 足 的 关 系 式 （ 指 出 x， y 的 取 值 范 围 ） ；（ 2） 在 保 证 围 成 的 是 三 角 形 公 园 的 情 况 下 ， 如 何 设 计 能 使 所 用 的 新 型 材 料 总 长 度最 短 ？ 最 短 长 度 是 多 少 ？18 如 图 ， 几 何 体 EFABCD 中 ， CDEF 为 边 长 为 2 的 正 方 形 ， ABCD 为 直 角梯 形 ， ABCD， ADDC， AD=2， AB=4， ADF=90（ 1）
9、求 证 ： ACFB（ 2） 求 二 面 角 EFBC 的 大 小 19 在 数 列 an， bn中 ， 已 知 a1=1， b1=2， 且 an， bn， an+1 成 等 差 数 列 ，bn， an， bn+1 也 成 等 差 数 列 （ 1） 求 证 ： an+bn是 等 比 数 列 ；（ 2） 若 cn=（ 2an3n） log32an（ 1） n， 求 数 列 cn的 前 n 项 和 Tn20 如 图 ， 椭 圆 C： + =1（ a b 0） 的 离 心 率 是 ， 过 点 P（ 1， 0）的 动 直 线 l 与 椭 圆 相 交 于 A， B 两 点 ， 当 直 线 l 平 行 于
10、 y 轴 时 ， 直 线 l 被 椭 圆C 截 得 的 线 段 长 为 2 （ 1） 求 椭 圆 C 的 方 程 ；（ 2） 已 知 D 为 椭 圆 的 左 端 点 ， 问 ： 是 否 存 在 直 线 l 使 得 ABD 的 面 积 为？ 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 ， 若 存 在 ， 求 出 直 线 l 的 方 程 21 已 知 函 数 f（ x） =ex（ e 为 自 然 对 数 的 底 数 ， e=2.71828） ， g（ x）= x+b（ a， bR） （ 1） 若 h（ x） =f（ x） g（ x） ， b=1 求 h（ x） 在 0， 1上 的 最 大 值（ a） 的
11、表 达 式 ；（ 2） 若 a=4 时 ， 方 程 f（ x） =g（ x） 在 0， 2上 恰 有 两 个 相 异 实 根 ， 求 实 根b 的 取 值 范 围 ；（ 3） 若 b= ， aN*， 求 使 f（ x） 的 图 象 恒 在 g（ x） 图 象 上 方 的 最 大 正 整 数a2015-2016 学 年 山 东 省 烟 台 市 栖 霞 市 高 三 （ 上 ） 期 末数 学 试 卷 （ 理 科 ）参 考 答 案 与 试 题 解 析一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个选 项 中 ， 只
12、有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1 若 集 合 A=x|x=3n1， nN， B=4， 1， 0， 2， 5， 则 集 合 AB=（ ）A 2， 5 B 4， 1， 2， 5 C 1， 2， 5 D 1， 0， 2， 5【 考 点 】 交 集 及 其 运 算 【 分 析 】 列 举 出 A 中 的 元 素 ， 确 定 出 A， 找 出 A 与 B 的 交 集 即 可 【 解 答 】 解 ： A=x|x=3n1， nN=1， 2， 5， 8， ， B=4， 1， 0， 2， 5，AB=1， 2， 5，故 选 ： C2 若 a b 0， 则 下 列 不 等 式 正 确 的 是 （ ）
13、A sina sinb B log2a log2b C a b D （ ） a （ ） b【 考 点 】 函 数 单 调 性 的 性 质 【 分 析 】 根 据 不 等 式 的 性 质 结 合 函 数 单 调 性 进 行 判 断 即 可 【 解 答 】 解 ： 当 a=2， b= 时 ， 满 足 a b 0， 但 sina=sinb， 则 sina sinb不 成 立 ，当 a b 0 时 ， log2a log2b， 则 B 不 成 立 ，当 a b 0 时 ， a b ， 则 C 不 成 立 ，当 a b 0 时 ， （ ） a （ ） b， 则 D 成 立 ，故 选 ： D3 已 知 （
14、 0， ） ， 若 tan（ ） = ， 则 sin2=（ ）A B C D【 考 点 】 两 角 和 与 差 的 正 切 函 数 ； 二 倍 角 的 正 弦 【 分 析 】 由 条 件 利 用 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 ， 两 角 差 的 正 切 公 式 ， 求 得tan 的 值 ， 可 得 sin2= 的 值 【 解 答 】 解 ： （ 0， ） ， tan（ ） = = ， tan= ，sin2= = = = ，故 选 ： B4 已 知 函 数 f（ x） = ， 若 f（ a） =1， 则 f（ 1a） =（ ）A 2 B 2 C 1 D 1【 考 点 】 函 数 的
15、 值 【 分 析 】 利 用 分 段 函 数 的 性 质 求 解 【 解 答 】 解 ： 函 数 f（ x） = ， f（ a） =1，当 a1 时 ， f（ a） =2a11=1， 解 得 a=2， f（ 1a） =f（ 1） =log24=2；当 a 1 时 ， f（ a） =log2（ 3a） =1， 解 得 a= ， 不 成 立 a=2故 选 ： B5 已 知 函 数 f（ x） =x2ex， 当 x1， 1时 ， 不 等 式 f（ x） m 恒 成 立 ， 则 实数 m 的 取 值 范 围 为 （ ）A ， +） B （ ， +） C e， +） D （ e， +）【 考 点 】 函
16、 数 恒 成 立 问 题 【 分 析 】 先 求 出 函 数 的 导 数 ， 通 过 解 关 于 导 函 数 的 不 等 式 ， 先 求 出 f（ x） 在1， 1上 的 单 调 性 ， 从 而 求 出 函 数 的 最 大 值 和 最 小 值 【 解 答 】 解 ： （ 1） f（ x） =x（ x+2） ex，令 f（ x） 0， 解 得 ： x 2 或 x 0，令 f（ x） 0， 解 得 ： 2 x 0，x1， 1，当 1x0 时 ， 函 数 f（ x） 为 减 函 数 ， 当 0x1 时 ， 函 数 f（ x） 为 增 函 数 ，则 当 x=0 时 ， 函 数 取 得 极 小 值 f（
17、 0） =0，f（ 1） =e， f（ 1） = ，函 数 f（ x） 在 1， 1上 的 最 大 值 为 e，当 x1， 1时 ， 不 等 式 f（ x） m 恒 成 立 ，m e，故 选 ： D6 已 知 ABC 和 点 M 满 足 若 存 在 实 数 m 使 得 成立 ， 则 m=（ ）A 2 B 3 C 4 D 5【 考 点 】 向 量 的 加 法 及 其 几 何 意 义 【 分 析 】 解 题 时 应 注 意 到 ， 则 M 为 ABC 的 重 心 【 解 答 】 解 ： 由 知 ， 点 M 为 ABC 的 重 心 ， 设 点 D 为 底 边 BC的 中 点 ，则 = = ，所 以
18、有 ， 故 m=3，故 选 ： B7 若 中 心 在 原 点 ， 对 称 轴 为 坐 标 轴 的 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y= x， 则 该双 曲 线 的 离 心 率 为 （ ）A 或 B 或 3 C D 3【 考 点 】 双 曲 线 的 简 单 性 质 【 分 析 】 讨 论 双 曲 线 的 焦 点 在 x 或 y 轴 上 ， 求 得 渐 近 线 方 程 ， 可 得 b= a或 a= b， 由 a， b， c 的 关 系 和 离 心 率 公 式 计 算 即 可 得 到 所 求 值 【 解 答 】 解 ： 当 双 曲 线 的 焦 点 在 x 轴 上 ，由 双 曲 线 的 方 程
19、 =1（ a， b 0） ，可 得 渐 近 线 方 程 为 y= x，即 有 b= a， c= = a，则 e= = ；当 双 曲 线 的 焦 点 在 y 轴 上 ，由 双 曲 线 的 方 程 =1（ a， b 0） ，可 得 渐 近 线 方 程 为 y= x，即 有 b=a， c= = a，则 e= = 综 上 可 得 e= 或 故 选 ： A8 已 知 变 量 x， y 满 足 线 性 约 束 条 件 ， 则 目 标 函 数 z= xy 的 最小 值 为 （ ）A B 2 C 2 D【 考 点 】 简 单 线 性 规 划 【 分 析 】 画 出 满 足 条 件 的 平 面 区 域 ， 由
20、目 标 函 数 z= xy 变 形 为 y= xz， 通过 图 象 读 出 即 可 【 解 答 】 解 ： 画 出 满 足 线 性 约 束 条 件 的 平 面 区 域 ， 如 图 示 ：，由 目 标 函 数 z= xy 得 ： y= xz，显 然 直 线 过 （ 0， 2） 时 ， z 最 小 ，z 的 最 小 值 是 ： 2，故 选 ： C9 已 知 函 数 f（ x） =xcosx， 有 下 列 4 个 结 论 ：函 数 f（ x） 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ；存 在 常 数 T 0， 对 任 意 的 实 数 x， 恒 有 f（ x+T） =f（ x） 成 立 ；对 于 任 意
21、给 定 的 正 数 M， 都 存 在 实 数 x0， 使 得 |f（ x0） |M；函 数 f（ x） 的 图 象 上 存 在 无 数 个 点 ， 使 得 该 函 数 在 这 些 点 处 的 切 线 与 x轴 平 行 ；其 中 ， 所 有 正 确 结 论 的 序 号 为 （ ）A B C D 【 考 点 】 函 数 的 图 象 【 分 析 】 分 析 ： 研 究 函 数 的 奇 偶 性 ， 可 用 偶 函 数 的 定 义 来 证 明 之 ；研 究 的 是 函 数 的 周 期 性 ， 采 用 举 对 立 面 的 形 式 说 明 其 不 成 立 ；找 出 一 个 常 数 M， 都 存 在 实 数
22、x0， 使 得 |f（ x0） |M 成 立 即 可 ；根 据 切 线 的 几 何 意 义 ， 先 求 导 ， 在 找 到 特 殊 点 ， 问 题 得 以 解 决 【 解 答 】 解 ： 对 于 ， f（ x） =xcos（ x） =xcosx=f（ x） ，f（ x） 为 奇 函 数 ，f（ x） 的 图 象 关 于 原 点 对 称 ， 故 错 ；对 于 当 x=2k 时 ， f（ x） =x， 随 着 x 的 增 大 函 数 值 也 在 增 大 ， 所 以 不 会 是周 期 函 数 ， 故 错 ；对 于 取 M=1， 当 x0= 时 ， |f（ 2） |=21； 故 正 确 ；对 于 f（
23、 x） =cosxxsinx，令 f（ x） =cosxxsinx=0，即 xtanx=1，此 时 方 程 由 无 数 个 解 ，使 k=0 的 解 有 无 数 个 ，故 函 数 f（ x） 的 图 象 上 存 在 无 数 个 点 ， 使 得 该 函 数 在 这 些 点 处 的 切 线 与 x 轴平 行 ， 故 正 确 故 选 ： D10 设 函 数 f（ x） 的 定 义 域 为 D， 若 f（ x） 满 足 条 件 ： 存 在 a， bD， 使f（ x） 在 a， b上 的 值 域 是 ， ， 则 成 f（ x） 为 “倍 缩 函 数 ”， 若 函 数f（ x） =log2（ 2x+t）
24、为 “倍 缩 函 数 ”， 则 t 的 范 围 是 （ ）A （ 0， ） B （ 0， 1） C （ 0， D （ ， +【 考 点 】 函 数 的 值 域 【 分 析 】 由 题 意 得 ， 函 数 是 增 函 数 ， 构 造 出 方 程 组 ， 利 用 方 程 组 的 解 都 大 于0， 求 出 t 的 取 值 范 围 【 解 答 】 解 ： 函 数 f（ x） = 为 “倍 缩 函 数 ”，且 满 足 存 在 a， bD， 使 f（ x） 在 a， b上 的 值 域 是 ， ，f（ x） 在 a， b上 是 增 函 数 ； ，即 ，方 程 +t=0 有 两 个 不 等 的 实 根 ， 且 两 根 都 大 于 0； ，解 得 ： 0 t ，满 足 条 件 t 的 范 围 是 （ 0， ） ，
