1、南山中学 2016 级 12 月高三文科数学试题命题： 审题： 一. 选择题： （本题 10 个小题，每题 5 分，共 50 分） 1、若集合 A= , ,则 ( ) 02|x41|xBBA(A) (B) (C) (D)(1，4),0)22.设 a， b 为正实数，则“ a b1”是“log 2alog 2b0”的( )(A)充要条件 ( B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 ( D)既不充分也不必要条件3.下列函数中，最小正周期为 的奇函数是( )(A)ysin(2x 2) (B)ycos(2x 2)(C)ysin2xcos2x (D)ysinxcosx4.向量 则 ( ),1(),(ba
2、ab)(A) (B)0 (C)1 (D)215. 已知命题 p：对于 ，恒有 成立，命题 q：奇函数 的图象必过xR2xfx原点.则下列结论正确的是（ ）A. 为真 B. 为真 C. 为真 D. 为真qpqpp6.过双曲线213yx的右焦点且与 x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于 A、 B 两点，则| AB|( )(A) 43 (B)2 3 (C)6 (D)4 37.若函数 在 上存在零点，则正实数 的取值范围是（ ）axf21,a（A） (B) (C) (D)1,0(02,0(2,08若直线 与曲线 有且只有两个公共点，则 的myxl:2:xyCm取值范围是（ ）（A） (B) (C)
3、 (D)2,(,),12,1(9函数 fx的定义域为 R， 1205f，对任意的 Rx，都有 23fx成立，则不等式3206的解集为（ ）A 1, B , C ,1 D ,10. 已知函数 处取得极大值，在 处取得极小值，满足3211fxaxbcx在 2x的取值范围是（ ）124,0,x， 则A. B. C. D. 130,3,3二填空题：(本题每小题 5 分，共 25 分)11.已知点 P（6，y）在抛物线 上，F 为抛物线的焦点，若|PF|=8，则(2pxy点 F 到抛物线准线的距离等于_.12.已知函数 ，其中 为实数， 的导函数，若),0(,ln)(xaf a)(xff为,则 的值为_
4、.3)1(f13. 已知 ABC的三边长成公比为 2的等比数列，则其最大角的余弦值为_.14.设函数 ，则方程 的解集为 4,(0)()logxf 1()4fx15.已知幂函数 f(x)的图象经过点 ，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)(x1x 2)是函数图象上28，的任意不同两点，给出以下结论：x 1f(x1)x 2f(x2)；x 1f(x1)x 2f(x2)； .其中正确结论的序号是 _ 12()fxf（ ） 12(fxf（ ）三解答题：(本题共 75 分)16.（本题满分 12 分）已知向量 ， .)2sin3,(xa)2sin,(xb函数 ， （1）求 的单调增区间；3)(bx
5、f f（2）求 在区间 的最小值.2,017.（本题满分 12 分）已知等差数列 满足na.2,103421a(1)求数列 的通项公式并求其前 .nanS项 的 和（2）设等比数列 满足 .问 与数列 的第几项相等？b732,ab6na.18.（本题满分 12 分）已知点 A(-3，0),B(3，0),动点 P 满足|PA|=2|PB|.（1）若动点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线 C 的方程；（2）若曲线 C 的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程；19 （本题满分 12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c ，且 A，B ，C成等差数列，（1）若 a=1，b=
6、 ，求 sinC；（2）若 a，b，c 成等差数列，试判断 ABC 的形状20 (本小题满分 13 分)已知中心在原点 ，焦点在 轴上的椭圆，离心率 ，且椭圆Ox12e过点 （）求椭圆的方程；3(1,)2（）椭圆左，右焦点分别为 ，过 的直线与椭圆交于不同的两点 .12,FAB、（1）求 面积的最大值；AB1（2） 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的F直线方程；若不存在，请说明理由21.(本题满分 14 分)已知函数 f（x）=lnxa（x1） （aR） （）若 a=2，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（）若不等式 f（x）0 对任意 x（1，
7、+）恒成立（）求实数 a 的取值范围；（）试比较 ea2 与 ae2 的大小，并给出证明（e 为自然对数的底数，e=2.71828） 南山中学 2016 级 12 月考文科数学试题（答案）一. 选择题： CABCC DACAB二. 填空题： 11_4_ 12._3_ 13._ _4214. 15._(2)(3)_2,1三解答题：16.解：（1) )3sin(2i3sin2sin3si)( xxxxf由 2kk得 的单调增区间为 6 分)(xf )(6,5Zk（2） 3,03x上的最小值为 06 分1)3sin(0x320)(，在xf17.(1)设等差数列 的公差为 d,则na 2,113421
8、 dadaa6 分2,41dnSn,（2）设等比数列 公比为 q，则由nb 6,8373232 bb由,1q1866an因此， 与数列 中第 63 项相等6 分6na18.（1）设点 为曲线 上任意一点，则由),(yxPC|2|PBA得曲线 的方程为 6 分C1652y（2）当切线在两坐标轴上截距均为 0 时，设切线 ，由相切得kxy41|52k切线方程为34kxy34当切线在两坐标轴上截距相等且不为 0 时，设切线 )0(ay由相切有 切线方程为42|5|a245b 245x综上：切线方程为 或 6 分xy3y19解：（1）由 A+B+C=， 2B=A+C，得 B= 由 ，得 ，得 sinA
9、=，又 0AB，A= ，则 C= sinC=1；6 分（2）证明：由 2b=a+c，得 4b2=a2+2ac+c2，又 b2=a2+c2ac，得 4a2+4c24ac=a 2+2ac+c2，得 3（ac） 2=0，a=c ，A=C，又 A+C= ，A=C=B= ，ABC 是等边三角形6 分20 解：（1）椭圆方程为 =1，4 分（2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，不妨 y10，y 20，由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为 x=my+1，由 得（3m 2+4）y 2+6my9=0，则 = ，8 分1FAB12S=（ -）可求 3， 面积最大值为 3. 5 分1AAB
10、F1（3）设F 1AB 的内切圆的半径 R，则F 1AB 的周长=4a=8， （|AB|+|F 1A|+|F1B|）R=4R21ABFS因此 最大，R 就最大，1FABS=4R，R max=，这时所求内切圆面积的最大值为 1故直线 l：x=1，F 1AB 内切圆面积的最大值为 4 分21.解：（） 因为 a=2 时，f（x）=inx+x 1， 所以切点为（1，0） ，k=f（1）=2所以 a=2 时，曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y=2x24 分（ II） （ i）由 f（x）=lnxa（x1） ，所以 ，当 a0 时，x（1，+） ，f（x）0，f（x）在（1，+）
11、上单调递增，f（x）f（1）=0 ，a0 不合题意当 a2 即 时， 在（1，+）上恒成立，f（x）在（1，+）上单调递减，有 f（x）f（1）=0，a2 满足题意若 0a2 即 时，由 f（x）0，可得 ，由 f（x）0，可得 x ，f（x）在 上单调递增，在 上单调递减， ，0a2 不合题意综上所述，实数 a 的取值范围是2，+） 6 分（ ii）a2 时， “比较 ea2 与 ae2 的大小”等价于“比较 a2 与（e2lna）的大小”设 g（x）=x2（e2）lnx， （x2） 则 g（x）在2，+）上单调递增，因为 g（e ）=0当 x2，e）时， g（x）0，即 x2（e 2）lnx，所以 ex2 x e2 当 x（e，+）时 g（x）0，即 x2（e2）lnx ， e x2 x e2 综上所述，当 a2，e ）时， ea2 a e2 ；当 a=e 时，e a2 =ae2 ；当 a（e，+ ）时，e a2 a e2 4 分
