1、2016 届四川高三第三次全国大联考（卷）文数卷 （解析版）第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合 ，则满足 的集合 的个数是( ),Aab,ABabcBA. B. C. D. 234【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算、用列举法求子集，属容易题.【答案】D【解析】由题意，集合 中必有 这个元素，所以 ， ， ， ，共4个，选D. BcBc,a,cb,a2. 已知 （其中 i 为虚数单位） ，则 的共轭复数 （ ）i1izzzA B C1 Di i【命题意图】本题主要考查复数的概念与
2、四则运算，属容易题.【答案】B【解析】因为 ，则 ，故选 Bi1i1i2z1iz3. 下列说法中，正确的是（ ）A简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第 次无关，每次可能性相等nB一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C数据 1，2，3，4 的标准差是数据 2，3，4，5 的标准差的一半D频率分布直方图中各个小长方形的面积等于相应各组的频数 【命题意图】本题主要考查统计学中随机抽样方法，样本数据的统计与分析以及样本方差与标准差的关系，属容易题.【答案】A【解析】由统计知识，简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第 次无关，每次可能性相等，An选项正确；频率分布直方图中各个小长方形的面
3、积等于相应各组的频率，D 选项错误；一组数据的标准差是这组数据的方差的算术平方根，B 选项错误；数据 1，2，3，4 的标准差是 ，数据 2，3，4，5 的标准差也是 ，所以 C 选项错误，故选择 A.524. 已知向量 ， .若 ，则 ( )(,sin)xa(1,cos)xb/ab=A B C D2125524【命题意图】本题考查向量平行的充要条件、线性运算以及数量积概念与运算，同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力.【答案】B【解析】由 得， ，即 .又 ，所以 .则/ab2cosin0xsin2cosx22incos1x21cos5x，选 B.=212sin5x5如图所示的程
4、序框图中，若 ， ， ，且 恒成立，则 的最()sifx()csgx0,2x()hxm大值是( )A. B. C. D. 01221【命题意图】本题主要考查程序框图中的判断结构，分段函数以及不等式恒成立问题的解决方法，属于基本知识的考查.【答案】C【解析】根据程序框图的意义， ，所以 ，则 ，所cos,04()in,2xh（min2()()4hxm以 的最大值是 ，选 C.m26. 如图，是棱长为 1 的正方体被割去部分后，剩余几何体的三视图，则剩余几何体的体积为（ ）A. B. C. 或 D. 或3562356123【命题意图】本题主要考查利用三视图还原空间几何体的方法与技巧，不规则几何体的
5、体积的计算方法.【答案】C【解析】由三视图知，该几何体的直观图有以下两种可能（图（1）或图(2)） ，图（1）对应的几何体为正方体割去一个三棱锥，其体积为 ；图（2）对应的几何体为正方体割去两个三棱锥，其体积为156，故选 C.21637设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 ( )nanS84128SA. B. C. D. 34134【命题意图】本题主要考查等比数列的概念，前 项和公式及其性质，考查学生逻辑推理能力和基本运算n能力.【解析】由于目标是求比值，于是可设 ，则 ，易知 ， ， 构41S8440S4S84128S成等比数列， ， ， 也构成等比数列于是， ，所以 从而 ，131221
6、2312383故选D8.设 为锐角 的垂心，已知 ， ，则 的长为（ ）HABC30ABCAHA B C D123【命题意图】本题是为了考查正余弦定理应用而设计的应用问题，解答的关键是：借助平面几何知识，将锐角 的垂心转化为角的相等关系 .ABC180AHBC【答案】C【解析】在 中，由正弦定理得 ，在 中，由正弦定理得sinsiABH，sinsiHAB 为锐角 的垂心， ， ，C180ABC 90C则 ，sisinisincosHAB所以 ，所以选 C.3taAHB9.若过抛物线 上不同两点的切线互相垂直，则这两条切线交点的轨迹方程为（ ）24yxA. B. C. D. 11yx1xy【命题
7、意图】本题考查应用导数研究具体函数的性质的能力，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力.【答案】B 【解析】我们证明更一般的结论： 抛物线 （ ）上不同两点 与 的切线互2ypx01(,)Axy2(,)B相垂直， 则切线的交点在其准线上事实上：设两切线 ， 的交点为 则切线的方程分别为ACB，即 与 ，即 .11()ypx112pyxy22()x22pyxy因为 ，所以 ，即 .由 ，得ACB1221p1212，所以 .故两垂直的切线的交点在抛物线 的准线上.所以本题2121()()pyxyx ypx切线交点的轨迹方程为 .10. 已知偶函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 .当 时，()fx
8、|0xR()fx0恒成立.设 ，记 ， ， ，则()fx1m4(1)fma2bm 41)()mcf， ， 的大小关系为( )abcA. B. C. D. bcacba【命题意图】本题主要考查了函数的奇偶性、导数的四则运算法则的灵活应用，同时考查了考生的数形结合思想，归纳转化思想，是中档题.【答案】A【解析】设函数 ， .由 时， ，得 ，()fxg2()xffg0x()fxf()0ffx所以 时， ，于是 在 上单调递减 . 又 是偶函数，则 是函数，从而0x0 ,0()g在 ， 上单调递减. ，()g,)(,)42(mfbf=， （ ） ，4()41(1)()mfcmf21 ，即 ，选 A.
9、()(2)()ggabc第卷（共 100 分）二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上）11. 若 ，则 的最大值是 .24xy2xy【命题意图】本题考查指数的运算法则，平均值不等式的简单应用.【答案】 【解析】 （当且仅当 ， 时等号成立） ， .2224xyxyxy1x2y2xy12. 若实数 x，y 满足 ，则 的取值范围是 .102y|【命题意图】本题考查线性规划基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和基本运算能力【答案】 0,【解析】画出不等式组表示的平面区域（如图所示） ，由图知， ， .显然 .01x2y|0xy，所以 .|1|2xy0|2xy13. 如
10、图所示为函数 （ ， ）的部分图象，其中 ， 两点之间的距()2sin()fx02AB离为 ，那么 的值为 .51【命题意图】本题主要考查正弦型函数 的图象和性质，难点是如何求初相位，是中()sin()fxAx档题.【答案】 1【解析】由图象信息，设点 ， （ ） ，则 ，1(,2)Ax2(,)B12x21|()45ABx.则函数 的周期 ， .又图象过点 ， ，注213x)f 16T30,sin1意到 ，得 . ，则 .06()2sin()3fxx(1)2sin()16f14. 已知物体初始温度是 ,经过 分钟后物体温度是 ，且满足 （ 为室温，0TtT0)2ktTT是正常数） 某浴场热水是
11、由附近发电厂供应，已知从发电厂出来的 的热水，在 室温下，经k 95C15过 100 分钟后降至 该浴场先用冷水将供应的热水从 迅速降至 ，然后在室温 下缓25C C慢降温供顾客使用当水温在 至 之间，称之为“最佳温区” 当某人在“最佳温区”内洗浴时，34C最多洗浴_分钟（结果保留整数，参考数据： ， ）0.5271.5204【命题意图】本题考查指数型函数的图象与性质，待定系数法，不等式的解法等基础知识，意在考查学生的阅读理解能力和计算能力.【答案】 2【解析】将 ， ， ， ，代入 得，15T0925T10t 0()2ktT，解得 . 洗浴时 ，代入 ，1051(95)k30()kt得 ，由
12、题意，令 ， 3310102542t tT313542t整理得 ，因为 ， ，310.452.7t0.5271.5204所以 ，解得 . 1. .5t 3t所以某人在“洗浴温区”内最多洗浴时间是 （分钟）.150215. 已知函数 ， .现有下列四个命题：()ln1)l()fxx(,) ； ；2()(1ffx ；|x ， .*Nn1()()224ffn其中所有正确命题的序号是_.【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能力，考查分类整合思想.【答案】【解析】根据对数的运算性质，易知正确.当 时， ；当 时，设0x()20fx1x，则 ，于是
13、 为增函数，此时()2ln(1)l()2gxfxx()1g()g，即 ；当 时，由上可知， ，又由知，00f1(fx，所以 ，综上 .()(fxf()x|()|2|fx因为 ， ，所以 ，所1ln135721()ln()ln()224fff 以正确答案为.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分 12 分）已知曲线 ( )在点 处的切线与 轴平行，现将所有满足条件的切点的()2cosfxx00(,)xfx横坐标由小到大依次排列构成数列 ( ).nN（1）求数列 的通项公式；nx（2）求数列 的前 项和 .nx1010S【命题意
14、图】本题主要考查导数的几何意义，数列通项公式的求法，正弦函数的图象与性质，等差数列的求和公式，以及运算求解能力.【解析】 （1）由 ，得 .（2分）()2cosfxx()1sinfx由题意，得 ，001in所以 或 （ ）. （4分）06xk56xkN于是所求数列 的通项公式为 （ ）. （6分）n 1()(6nnN（2）由正弦函数的性质知，与 关于直线 对称，1x2x与 关于直线 对称，34与 关于直线 对称，5x64x与 关于直线 对称，（9分）9102所以， 123410()()()Sxxx250(9). （12分）4917.（本小题满分 12 分）为了备战初三物理、化学实验操作考试，某
15、校对初三学生进行了模拟训练, 考评教师对实验操作结果进行检测并评分，若检测后评分结果大于 60 分的记为“合格” （1）已知 个初三学生的评分结果的频率分布直方图如图所示请根据此频率分布直方图，估计20这 个学生评分结果的平均数和中位数；（2）现有 7 个学生的评分结果为（单位：分）：63，73，75，76，78，85，91，若从评分结果在内的所有学生中随机抽取 3 人，求恰有 2 个学生的评分结果在 内的概率.(60,8 (70,8【命题意图】本题考查由频率分布直方图求频率，平均数，中位数和古典概型的概率计算，是概率统计的基本题型，解答的关键是读懂频率分布直方图，应用相关数据进行准确计算，属
16、于中档题.【解析】 （1） ， .0(.120.3)1a04所以平均数 .（4 分）6547.28539)82x由图，可知前两个矩形面积之和为 ，则中位数为 . （6 分）.（2）根据题意，评分结果在 ， 内的人数分别为 和 .(0,(,01若评分结果在 内的这一个学生记作 ，评分结果在 内的这 4 个学生分别记作 ， ，(60,71A(70,8 1B2， ，3B4则从这 5 个学生中抽取 3 人的情况有：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 1012A114AB123124AB134123B124134B234种情况. （8 分）其中恰有 2 个学生在区间 内的有： ， ， ， ， ，
17、，共(70,8121314A123124A1346 种情况. （10 分）所以恰有 2 个学生的评分结果在 内的概率为 .（12 分）(,605P18. （本小题满分 12 分）已知 的三个内角 的对边分别为 ，且 ABC,ABCabc（tan2BbC（1）求角 的大小；C（2）若 ，求 周长的取值范围c【命题意图】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理，考查运算求解能力NMB1C1A BCA1【解析】 （1）由正弦定理及 得， ，tan2BbCsincosin2BCBA ，sincosisiiCAA（即 ，scs ， ，si0A1s2 ， . （6 分）C3（2）由余弦定理 得，22c
18、oscabC，即 .4ab4 （当且仅当 时等号成立） ，22ab ，22344aba即 ，解得 . （10 分）16b又 ， ，2 ，4abc故 周长的取值范围为 （12 分）ABC4,619. （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 中， 平面 ， ，点 、 分别1ABC1ABCM为 、 的中点1A1B（1）求证：平面 平面 ；11（2）设平面 与平面 的交线为 ，求证：MNBCl.NlA【命题意图】本题以直三棱柱为几何背景，考查空间两条直线的位置关系、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.【解析】 （1）因为 平面 ， 平面 ，所以 （2 分）1ABCABC1.A又因为 ， ，BC平面 ， 平面 ，111
