1、哈师大附中 2015-2016 学年度高三上学期开学考试数学试题（理科）考试时间：90 分钟 满分：150 分第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列函数中，不满足 (2)(fxf的是A ()fx| x| B x -|x| C ()fx x + 1 D ()fx x2设 Z,集合 是奇数集,集合 是偶数集.若命题 :,2pAB,则A :2pxB xC ,BD :,3. 已知函数 y= 13x的最大值为 A. 2B. 2 C.2 D.2 4. 已知函数 ),0)(cos)( RAxx
2、f ,则“ )(xf是奇函数”是“ 2”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5设 3,21a，则使函数 axy的定义域为 R 且为奇函数的所有 a的值为A.1,3 B. 1, C. 3,1 D. 3,16已知函数 ， 则2()lg4)fxx(lg2)(l)ffA1 B0 C1 D27. 已知函数 f的定义域是 ,则 yfxf的定义域是 A., B 2 C , D.,18. 已知函数 ()fx mx2( m3) x1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数 m 的取值范围是A(0，1) B(0，1 C(，1) D(，19. 定义在 R 上的偶函
3、数 )fx满足：对任意的 1212,0()xx，有2121()()0xffx.则当 *nN时,有（ ）A. (n B (1)()fnffn. C. ()fff D. ( 10. 已知 na是递增数列，对于任意的正整数 均有 an2恒成立，则实数 的取值范围是A 2, B ,3 C R D 11. 已知函数 bxaxf2)(，如果对于实数 a的某些值，可以找到相应正数 b，使得 xf的定义域与值域相同，那么符合条件的实数 的个数是A1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个12. 设方程 的两个根分别为 x1， x2，则2log()xA x1x20 B0 x1x21 C x1x21 D x1x21
4、第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 函数 21xy的值域为_.14. 若函数 的定义域为 R，则实数 k 的取值范围是_.201643kxy15. 已知函数 2log,03xf,则 14f_. 16. 若函数 ()f 10xa为奇函数，则实数 a_三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (本题满分 12 分）数列 na的前 项和 ， 11,5naS （ ） ， 求 na.n N18. (本题满分 12 分）设一个口袋中装有 10 个球其中红球 2 个，绿球 3 个，白球 5
5、 个，这三种球除颜色外完全相同.从中一次任意选取 3 个，取后不放回.（1）求三种颜色球各取到 1 个的概率；（2）设 X 表示取到的红球的个数，求 X 的分布列与数学期望.19. (本题满分 12 分）如图，三棱锥 PABC中， 平面 ,3,.,2ABCPBDE分别为线段 ,ABC上的点，且 2,2.DE（1）证明： 平面 D；（2）求二面角 AP的余弦值. 20. (本小题 12 分）已知过原点的动直线 l与圆 21:650Cxy+-=相交于不同的两点 A， B.（1 ）求圆 1的圆心坐标；（2 ）求线段 AB的中点 M的轨迹 的方程；（3 ）是否存在实数 k，使得直线 :(4)Lykx=
6、-与曲线 C只有一个交点？若存在，求出 k的取值范围；若不存在，说明理由.21. (本题满分 12 分）设函数 1)ln.afxx（1）当 3a时，求函数 ()f的单调区间；（2）在（1）的条件下，设函数 251gbx，若对于 12,0,1x，使2()fxg成立，求实数 b 的取值范围.请从下面所给的 22 , 23 二题中任选一题做答，多答按所答第一题评分.22.(本题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，圆 的极坐标方程为xOyxC42cos()（1）将圆 的极坐标方程化为直角坐标方程；C（2）过点 作斜率为 1 直线 与圆 交
7、于 两点，试求 的值.P(,0)lC,AB1PAB23. （本题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知定义在 R 上的函数 21xxf的最小值为 a.（1）求 a的值；（2）若 rqp， 为正实数，且 arqp，求证： 322rqp.哈师大附中 2014-2015 年度高三上学期开学考试数 学 答 案 （理科）一选择题CDDBA CADCB BB二填空题13. 14. 15. 16. (1,30,)4191或三解答题17.解：（1） 时， n125Sa2（2） 时， 1nn na6165n8 22216()5nnna0综上： 2()()nn118.解：（1 ）设 表示事件“三种颜色的球各取
8、到一个” A2则12350()4CP6（2 ） X 的所有可能值为 0,1,2 7且 3810()5C128307()5CPX21830()5CPXX 的分布列为 10X 0 1 2P75（个）13()021EX1219.(1)证明：由 PC 平面 ABC，DE 平面 ，故 PC DE由 CE，CD=DE 得 为等腰直角三角形，故 CD DE 4由 PC CD=C， DE 垂直于平面 PCD 内两条相交直线，故 DE 平面 PCD 6(2)解：由（）知， CDE 为等腰直角三角形， DCE ，4,过点 作 DF 垂直 CE 于 ，易知 DFFCEF，又已知 EB，故 FB 由 ACB 得 DF
9、 AC， ，故 AC DF 2,/23DFBAC=32以 为坐标原点，分别以 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，,CABP 8则 (0,0,0,)， (0,0,3)， ( ,0,0), (0,2,0)， (1,1,0)，32ED=(1,-0), (DA=-1,),-10)设平面 的法向量 ，PA1n （ xyz由 故0,n 1302(2,1)n 10从而法向量 ， 的夹角的余弦值为 ，1n2 12123cos,=6|n故所求二面角 A-PD-C 的余弦值为 .3620 解：（ 1）由 得 ， 圆 的圆心坐标为 ；2650xy24xy1C3,02（2 ）设 ，则 点 为
10、弦 中点即 ，,MAB1MAB 即 ，1CABk 13yx 线段 的中点 的轨迹的方程为 ；239534xyx6（3 ）由（2 ）知点 的轨迹是以 为圆心 为半径的部分圆弧M,02C2rEF（如下图所示，不包括两端点） ，且 ， ，5,3E5,3F又直线 ： 过定点 ，L4ykx,0D当直线 与圆 相切时，由 得 ，LC23401k34k8又 ，250374DEFk10结合上图可知当 时，25,k直线 ： 与曲线 只有一个交点L4yxC1221.解：（1）223(1)()3xf所以当 或 时， 当 时，01x()0;f()0fx故当 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为3a()f(1,2
11、),1(2)4（2）当 时，由（ 1）知函数 在区间 上为增函数，所以函数 在 上的)fx fx,最小值为 2()f若对于 使 成立 在 上的最小值不大于12,0,x12()fxg()gx0,1在 上的最小值()f 36又 2255(),011gxbxbx当 时， 在 上为增函数， 矛盾0)0,min52()(),3g当 时， ，由 及 ，2min()1gx21b01b得 12b当 时， 在 为减函数， ，此时()x0,1min7()23gx0综上所述， 的取值范围是 222.23 （ 1） 2(1)23xx当且仅当 时，等号成立，min()3,fa0（2 ）由（1 ）知 ，又pqr,pqrR=92222()(1)()8即 3r0
