1、 BOyx AOyx COyx DOyx长春市十一高中 2015-2016 学年度高三上学期期中考试数 学（理）试 题 一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）1.已知集合 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）0)3(xA21xBAxBA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分条件 D.既不充分也不必要条件2如图，在复平面内，若复数 对应的向量分别是 ，则21,zO,复数 所对应的点位于（ ）izz212A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3若向量 的夹角为 ，且 ，则向量 与向量 的夹角为（ ）ba,31,2baab2A. B. C. D.63654. 为等差数
2、列 的前 项和，若 ，则 （ ）nSna12a13SA B C D不确定078565已知 ，则 （ ）2)ta(2cosA B. C D. 35536. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则 的最x)0(3422ax),(21x211xa小值是（ ）A. B. C. D. 36336347. 函数 的图象大致为（ ）14)625sin(xyxBAO8如图所示程序框图中，输出 （ ） SA. B. C. D. 10139.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图曲线部分是两个半径为 1 的圆弧，则这个几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 482882810.由不等式组 确定的平面区域为 ，由不
3、等式组 确定的平面区域为10xyeMeyx01，在 内随机的取一点 ，则点 落在区域 内的概率为（ ）NPA. B. C. D. e23123ee1e2111.已知函数 ，方程 有四个不同的实数根，xxf)(0)(axff则 的取值范围为（ ）aA. B. C. D. )1,(2e),(2e)1,(2e)1,2(2e12已知点 是椭圆 上非顶点的动点， 分别为椭圆的左、右焦点， 是P1862yx21,FO坐标原点，若 是 的平分线上一点，且 ，则 的取值范围是（ M21F01MP）A B C D3,0),0(3,24,侧Sn2016?n=+1n=1S0S=+cosn3+sin3否是开始结束11
4、1212121侧 侧侧8 题9 题图二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13函数 的部分图)20)(sin2)( 且xf象如图所示，则 .14. 已知点 在曲线 上，则曲线在点 处的)1,(Paxy2P切线方程为_.15.定义在 上的奇函数 ，对于 ，都有 ，且满足R)(xfR)43()(xff， ，则实数 的取值范围是 . 2)4(f mf3)(16.给出下列四个命题： ， ；R57cosin 函数 图像的对称中心是 ；xxf23)( )0,62(kZ 函数 是周期函数， 是它的一个周期；cosi )19)(tan16(t)(tan14(t 其中正确命题的序号是 .三
5、、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17.（本小题满分 分）12数列 满足： ， .na311nna（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .nabn1nbnS18 （本小题满分 分）12在 中，角 的对边分别为 ，设函数ABC, cba, axbaxf )621sin()()的值域为 .35,0x5,27Oy x-2251212D1C1B1A1EDCBA（1）求 的值；ba,（2）若 ，且 ， 为锐角，求 的 边上高 的值81872cosCABCh19. （本小题满分 分）12如图，四棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ，1DCBA1ACDAAD， 为棱 中点. ,1CD
6、AE（1）证明： ；（2）求二面角 的正弦值11CB20(本小题满分 12 分）已知抛物线 上点 到焦点 的距离为 )0(2pxy),3(tTF4（1）求 的值；t,（2）设 是抛物线上分别位于 轴两侧的两个动点，且 （其中 O 为坐标原BA, x5BOA点） 求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标；21.（本小题满分 12 分）y xOBA设函数 .axxfln)(（1）若函数 在 上为减函数，求实数 的最小值；),1(a（2）若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围.2,exxff)()(21 a22(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图所示，已知圆 外有一点 ，作圆 的切线
7、， 为切点，过 的中点 作割OPOPMPN线 ，交圆于 、 两点，连接 并延长，交圆 于点 ，连接 交圆NABACBO于点 ，若 .DCM（1）求证： ;B（2）求证：四边形 是平行四边形.PD23 （本小题满分 10 分）选修 44：极坐标与参数方程选讲在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系圆 ，直线 的极1C2坐标方程分别为 ， sin2)cos(（1）求 与 的直角坐标方程，并求出 与 的交点坐标；1C2 1C2（2）设 为 的圆心， 为 与 交点连线的中点已知直线 的参数方程为PQ12 PQ（ 为参数， ） ，求 的值13tbyaxtRtba, ODC
8、BANMP24.（本题满分 10 分）选修 45：不等式选讲设函数 .31)(axxf（1）若 ，解不等式 ；a)(f（2）若 有最小值，求实数 的取值范围.)(xf长春市十一高中 2015-2016 学年度高三上学期期中考试数 学 试 题 （理）参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D B B C D B B C A C B二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13. 1 14. 15. 或 16. 3xy1m30三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17.解析：
9、（1）由条件知数列 是首项为 ，公差 的等差数列，3 分1na21a1d所以： ，解得： 6 分2n nn（2）由 9 分12nabn所以：12 分13121 nSnn 18.解析：（1）由条件当 时， ，所以：5,0x 2,62x2 分1,)62sin(（）当 时，由条件知 ，解得： 4 分ba5)(272ab3,4ba（）当 时，由条件知 ，解得： 6 分ba27)(51ab21,9ba（2）若 ，由（1）知： ，由 ，即： ，83,487cosC187cosC所以： （ 为锐角）且 8 分65cosC61sin由余弦定理： ，所以 10 分5co22ab5c， 12 分habSABC1s
10、in 2sinC19.解析（1）由已知条件，以 为原点， 所在直线分别为AABD,1轴建立空间直角坐标系，1 分zyx,则： ， 是 中点，),2(),0(,2(),0( 111 CBAE1则 3 分,E， 5 分),(1C),(E所以： ，01B故 ，即： 6 分1C（2）由已知条件： 结合（1）知 平面 ，故平面 的一个法向1 1B1CE1C量为3 分),01(CB由条件： ， ，设平面 的一个法向量为 ，)1,2)1,(CEEB1 ),(zyxn则，取 得 10 分01zyxnCE,23zyx),23(nD1C1B1A1EDCBAxyz所以 的余弦值11CEB7214cos1nCB故二面
11、角 的正弦值为 12 分11 72si20 （1）由抛物线定义得， 2 分43p所以抛物线方程为 ，3 分 代入点 ，可解得 . 5xy2),3(tT32t分（2）设直线 的方程为 ， ，ABnmy),4(12yA),(2yB联立 消元得： ，则：nmyx42 02， 8 分2121由 得： ，所以： 或 （舍去）5OBA56)(21y201y421y即 ，所以直线 的方程为 ，204nAB5mx所以直线 过定点 12 分),5(P21.解析：（1）函数定义域为： ，对函数 求导： ，1,0x且)(xf axf2ln1)(若函数 在 上为减函数，则 在 恒成立)(xf),10ln1)(2af
12、,所以： 2 分ma由 ，故当 ，即 时，xxf 4)21ln(ln)(2 2lx2e041max所以： ，所以 的最小值是 5 分a（2）若存在 ，使 成立，则问题等价为：21,exaxff)()(21当 时，21,exfmaxin由（1）知： 在 的最大值为 ，所以)(xf2,ea4141)(maxf所以问题转化为： 7 分41min（）当 时，由（1）知： 在 是减函数，4a)(xf2,e所以 的最小值是 ，解得：)(xf 41)(22aef 241ea（）当 时， 在 的值域是41axf)ln()22, a,当 ，即 时， 在 是增函数，于是：0f2,e，矛盾41)(min eaefx
13、f当 ，即 时，由 的单调性和值域知：存在唯一的 ，使得a)(xf 20.ex0)(xf且当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增,e0)(xf)(f20,ex)(xf)(f函数所以： 的最小值为 ，)(xf 41ln)(00axf即： ，矛盾241l41ln20 eea综上有： 222. 证明：（1） 是圆 的切线， 是圆 的割线， 是 的中点，PMONABONPM ， ，BNA2 P又 ， ， ， 即 . ， ， ，CCM . 5 分P（2） ， ，即 ，BNADAPNBADCPMDODCBANMP ， ， ，CDPM/APBBPAM 是圆 的切线， ，OC ，即 ，BD ， 四边形 PMCD 是平行四边形. 10 分/23.解析：（1）由极直互化公式得：4 分4)2(:2yxC04:2yx联立方程解得交点坐标为 5 分),(0（2）由（1）知： ， 所以直线 ： ，),(P31QP2化参数方程为普通方程： ，12abxy对比系数得： ， 10 分21ab,24.解析（1） ， ，即：a431)(xxf x1，解得： ，所以解集为： 5 分3202,0（2） ， 有最小值的充要条件为： ，31,4)3(2)xaxf )(f 03a即： 10 分
