1、开始m =1, i=1m=m (2-i)+1m=m (2-i)+1(2-i)+1i= i +1m=0?结束输出 i是否北京市朝阳区 2015-2016 学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类） 2016.1（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合 ，则 =1,01ABxABIA B C D,01,02. 下列函数中，既是奇函数又存在零点的是A B C ()fx1
2、()fx()exfD sin3. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为A B C D3456第 3 题图4在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的 200 辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示若该处高速公路规定正常行驶速度为80 90 100 110 120 130 车速（km/h）频 率组 距0.0050.0100.0200.0300.03590km/h120km/h，试估计 2000 辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 A 辆 B 辆 3030C 辆 D 辆17174 第 4 题图5. 已知 m，n 表示两条不同的直线， 表示两个不同
3、的平面，且 ,则下， mn，列说法正确的是A若 ，则 B若 ，则 /nmC若 ，则 D若 ，则n6.设斜率为 2 的直线过抛物线 2(0)yax的焦点 F,且与 y轴交于点 ,若A（ 为坐标原点）的面积为 4,则抛物线方程为OAFA. B. C. D. 24yx2428x28yx7. 已知 为圆 ( )上两个不同的点（ 为圆心） ，且B, 9)()(:2nymC,mRC满足 ，则13|AABA. B. C. D. 223248. 设函数 的定义域为 ，如果存在正实数 ，使得对任意 ，当 时，()fxDmxDm都有 ，则称 为 上的“ 型增函数 ”.已知函数 是定义在m()fx ()f上的奇函数
4、，且当 时， （ ） ，若 为 上的“20 型增R0aRx函数” ，则实数 的取值范围是aA. B. C. D. 02a105a第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.计算 : (为虚数单位). i(1)10. 双曲线 的渐近线方程为 . 23yx11. 在 中，若 ， ， ，则 , . ABC12AC1cos4ABsin12已知正数 ， 满足约束条件 053yx，则 的最小值为 .xy 21()xyz13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 ，侧面积为 . 第 13 题图14. 在 中， ， 为线段
5、 的中点，若 的长为定值，则 面积ABCDACBDABC的最大值为 （用表示）. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分 13 分）已知数列 是等差数列，数列 是各项均为正数的等比数列，且 ，nanb13ab， 214ab3453（）求数列 和 的通项公式；nb（）设 ，求数列 的前 项和*,caNnc16. （本小题满分 13 分）已知函数 的图象过点 .2()cos3incosfxxa(,1)6（）求实数 的值及函数 的最小正周期；a()f343正视图 侧视图俯视图（）求函数 在 上的最小值. ()fx0,217. （本小题
6、满分 13 分）某中学从高一年级、高二年级、高三年级各选 1 名男同学和 1 名女同学，组成社区服务小组现从这个社区服务小组的 6 名同学中随机选取 2 名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同） （）求选出的 2 人都是女同学的概率； （）设 “选出的 2 人来自不同年级且是 1 名男同学和 1 名女同学”为事件 N，求事件N 发生的概率18. （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 中，底面PABCD是正方形点 是棱 的中点，平面ABCDE与棱 交于点 EF（）求证： ；（）若 ，且平面 平 PPAD面 ，试证明 平面 ；ABCC（）在（）的条件下，线段 上是
7、否存在点 B,使得 平面 ?（直接给出结论，不 ME需要说明理由）19. （本小题满分 13 分）已知函数 ， .()21)ln2kfxxR（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1k(yf1,()f（）当 时，试判断函数 是否存在零点,并说明理由；e)x（）求函数 的单调区间.()fx20. （本小题满分 14 分）已知圆 的切线与椭圆 相交于 ， 两点.:O21xy:C234xyAB（）求椭圆 的离心率；C（）求证: ；AB（）求 面积的最大值.FBDCPEA北京市朝阳区 2015-2016 学年度第一学期期末高三年级统一考试数学答案（文史类） 2016.1 一、选择题：（满分 40 分）
8、题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A D B D B C A D二、填空题：（满分 30 分）题号 9 10 11 12 13 14答案 1i3yx,21586, 12723l（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答题：（满分 80 分）15. （本小题满分 13 分）解:（）设等差数列 na的公差为 d，等比数列 的公比为 ，且 .nbq0依题意有， 1124,3().adbq由 ,又 ，10解得3,2.qd所以 , .1()32(1),21n nadna即 N, . 7 分bqN（）因为 nnnc所以前 项和 1212()()nnSaab 3533 ()()21n
9、n.n所以前 项和 13 分n*3(2)(1),nnSN16. （本小题满分 13 分）解：（）由 2()cos3icosfxxa1n2.1sin(2)6xa因为函数 的图象过点 ，)f,所以 .解得 .1(sin2)66a12函数 的最小正周期为 . 7 分)fx（）因为 ，所以 . 022x则 .sin()x所以当 ，即 时，函数 在 上的最小值为 . 13 分 ()fx0,21217.（本小题满分 13 分）解：从高一年级、高二年级、高三年级选出的男同学分别记为 A，B，C，女同学分别记为X，Y，Z从 6 名同学中随机选出 2 人参加活动的所有基本事件为：A， B，A，C，A，X，A，Y
10、，A，Z，B，C，B，X ，B，Y，B，Z，C，X，C，Y，C，Z， X，Y，X，Z，Y，Z，共 15 个 4分（）设“选出的 2 人都是女同学”为事件 M，则事件 M 包含的基本事件有 X，Y，X，Z ，Y，Z，共 3 个，所以，事件 M 发生的概率 8 分31()5P（）事件 N 包含的基本事件有A， Y，A，Z ，B，X，B，Z，C ，X ，C ，Y，共 6 个，所以，事件 N 发生的概率 13 分62()15P18. （本小题满分 14 分）（）证明：因为底面 是正方形，ABCD所以 又因为 平面 ， 平面 ，PP所以 平面 又因为 四点共面，且平面 平面 ，,ABEFABEFCDEF
11、所以 5 分（）在正方形 中， CD又因为平面 平面 ，P且平面 平面 ，ABA所以 平面 又 平面FD所以 C由（）可知 ，ABEF又因为 ,所以 .由点 是棱 中点，所以点 是棱 中CEPCFPD点在 中，因为 ，所以 PDAD又因为 ，所以 平面 11 分F（）不存在 14分19. （本小题满分 13 分）解：函数 的定义域： .()fx),0(x.222 )1(11 xkxkkf （）当 时， .kxfln)(.2)1(有 ，即切点（1,3） ，3l)1(fFBDCPEA.21)()(2fk所以曲线 在点 处切线方程是 ，yfx,(f )1(23xy即 .4 分（）若 ， .eke()
12、21)ln2fxx.2()fx令 ，得 （舍） ， .01e21x则 .min11e()()2e)ln2(1ln2)el10fxf所以函数 不存在零点. 8 分()f（） .2)1xk当 ，即 时，0当 ，即 时，210k0kx),()21,(k),21()(f 0 0x 极大值 极小值 )2,( ),()xf 0( 极小值 x),(2),()f 0(x 极小值 当 ，即 时，21k当 ，即 时，21k综上，当 时， 的单调增区间是 ;减区间是 .0k)(xf ),21()21,0(当 时， 的单调增区间是 , ;减区间是 .21k)21,(k当 时， 的单调增区间是 ;k)(xf ),0(当
13、 时， 的单调增区间是 ， ;21),k减区间是 . 13 分),21(k20. （本小题满分 14 分）解：（）由题意可知 ， ，所以 24a3b2283cab所以 所以椭圆 的离心率为 3 分63ceC6（）若切线的斜率不存在，则 :1lxx),0(),()f (x 12),(kk),( 0 0)f 极大值 极小值 在 中令 得 2314xyx1y不妨设 ，则 所以 (,),AB0OABOAB同理，当 时，也有 :lx若切线的斜率存在，设 ，依题意 ，即 :lykxm21k22km由 ，得 显然 234ykxm2(1)6340设 ， ,则 ， 1(,)Axy2()B1221kx21xk所以 .21212()kmm所以 1Oxy21212()kxkx222346()k2 221)(31)mkm243k24()40k所以 OAB综上所述，总有 成立 9分（）因为直线 与圆 相切，则圆 半径即为 的高.OAB当的斜率不存在时，由（）可知 则 .21OS当的斜率存在时，由（）可知， 2211()4ABkxx222634()311kmk2229(3)(3mkk2 22 21143(1)4k
