1、2016 届内蒙古赤峰市高三 4 月统一能力测试数学（理）试题 理科数学第卷（选择题 共 60 分）一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设全集为 ，集合 ，则 （ ）R2|1,|2MxNxZRCMNA B C D00,02.已知复数 ，则（ ）1ziA 的实部为 B 的虚部为 C D 的共轭复数为2z12i2zz12i3.设 是公差 的等差数列 的前 项和，且 成等比数列，则 （ ）nS0dna124,S3SaA B3 C D295944.已知命题 ，命题 ，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取1:2px
2、:10qxapqa值范围是（ ）A B C D0,1,32,35.在区间 上任取一个实数 ，则不等式 成立的概率是（ ）,3a2log410aA B C D14616.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ）A B C6 D4243257.已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准线分别交于 两点， 为210,xyab24yx,ABO坐标原点，若双曲线的离心率为 2，则 的面积为（ ）AOBA2 B C D338.某程序框图如图所示，若输出 的值为 63，则判断框内可填入的条件是（ ）iA B C D27S27S26S26S9.若函数
3、 的导函数为 ，且 ，则下列说法正确的是（ yfxyfxsinx3cos2f）A 的周期为 B 在 上是减函数yfx2yfx0,6C 的图象关于直线 对称 D 是偶函数fyfx10.点 在半径为 的同一球面上，点 到平面 的距离为 ， ，S、 、 、 SABC123ABC则点 与 中心的距离为（ ）ABA B C1 D32211.动点 为椭圆 上异于椭圆顶点 的一点， 为椭圆的两P20xyabA,0,aB、 12,F个焦点，动圆 与线段 的延长线及线段 相切，则圆心 的轨迹为除去坐标轴上的点的（ M12FP、 2PFM）A抛物线 B椭圆 C双曲线的右支 D一条直线12.若关于 的不等式 有且仅
4、有两个整数，则实数 的取值范围为（ ）x21xaeaaA B C D235,4e3,235,e235,4e第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若 的展开式中 的系数为 10，则实数 _1xa2xa14.已知实数 满足 ，其中 ，则目标函数 的最小值为,y0ya3201xd23zxy_15.在 中， 为重心， 为 上的中线， ，则 的值为ABCGBEAC/,4GCDABCR_ 16.设 是数列 的前 项和，且 ，则 _nSna2*11,nnSaNnS三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说
5、明、证明过程或演算步骤. ） 17.（本小题满分 12 分）在 中，内角 对边分别为 ，且 ，已知 ， ABC,abca2CBA:tan2,b3B（1）求 和 的值；（2）求 的值acsinBC18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， 垂直于 和 ，平面 底面SADAABDSAB，且 ABC2,1,2,3BB（1）求证： 平面 ；SBAD（2）求二面角 的余弦值C19.（本小题满分 12 分）某地区业余足球运动员共有 15000 人，其中男运动员 9000 人，女运动员 6000 人，为调查该地区业余足球运动员每周平均踢足球所占用时间的情况，采用分层抽样的方法，收集
6、 300 位业余足球运动员每周平均踢足球所占用时间的样本数据（单位：小时） ，得到业余足球运动员每周平均踢足球所占用时间的频率 分布直方图（如图所示） ，其中样本数据的分组区间为： 将“业余0,24,6,810,2运动员的每周平均踢足球所占用时间超过 4 小时”定义为“热爱足球” （1）应收集多少位女运动员的样本数据？（2）估计该地区每周平均踢足球所占用时间超过 4 小时的概率；（3）在样本数据中，有 80 位女运动员“热爱足球” ，请画出“热爱足球与性别”列联表，并判断是否有99%的把握认为“热爱足球与性别 ”有关附： 22nadbcKd20Pk0.10 0.05 0.010 0.0052.
7、706 3.841 6.635 7.87920.（本小题满分 12 分）已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 关于直线 的对称点是圆 的一条12,F2:15xEy12,F20xyC直径的两个端点 （1）求圆 的方程；C（2）设过点 的直线 被椭圆 和圆 所截得的弦长分别为 ，当 最大时，求直线 的方程2FlEC,mnl21.（本小题满分 12 分）设函数 2lnfxbax（1）当 时，求 的单调区间；5,1af（2）若对任意 ，都存在 （ 为自然对数的底数） ，使得 成立，求实数 的3,221,xe0fxa取值范围请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22
8、.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，四边形 内接于 ，过点 作 的切线 ，交 的延长线于 ， ABCDO:A:EPCBP035AB（1）若 是 的直径，求 的大小 ；BCO:D（2）若 ，求证：035PA2ACP23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，xOyl8cos34inxtyt轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 x C20（1）写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标系方程；l（2）设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值CAB、 AOB24. （本小题
9、满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 ，函数 的最小值为 10,abcfxaxbc（1）求 的值；（2）求证： 2213参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C A A D B D A B B D C二、填空题13. -1 或 ； 14-18 ；15 ； 16535423n三、解答题（1）证明： ， ，2CBA:2BC: ， ，cos2,tanB6ac， ， 为锐角sin24i39cBCb:abcC，227os1i1 12 分 1420insicosin397BCBC:18解：（1）由平面 底面 ，面 面 面 ，SADSAB,DAB,CA
10、CD所以 平面 面 ，所以 D,又因为 ，所以 ，2SB,因此 平面 5 分A（2）过点 作 于点 ，则 底面 ，过 作 ，以 为 轴， 轴，SOABSOABCDO/EAD,OESxy轴建立空间直角坐标系 zxyz则 1,0,01,3,0,1CS所以 ，2SD设平面 的一个法向量为 ，则 ，不妨设 ，得11,nxyz11100,2xyzDnC:1x 1,2n设平面 的一个法向量为 ，则 ，SBC22,nxyz1,00,3SBC，2200,3xzyn:令 ，得 ，所以 ，21x2,1 1212 3cos, 6n:而二面角 为钝二面角，所以二面角 的余弦值为 12 分DSCBDSCB19解：（1）
11、 ，所以应收集 120 女运动员的样本数据 3 分603125（2）由频率分布直方图得 ，所以该地区每周平均踢足球占用时间超过 4 小.0.250.7时的概率的估计值为 0.75 6 分（3）由（2）知，300 位足球运动员中有 人的每周平均踢足球时间超过 4 小时，75 人的3.每周平均踢足球占用时间不超过 4 小时，所以热爱足球与性别列联表如下：男运动员 女运动员 总计不热爱足球 35 40 75热爱足球 145 80 225总计 180 120 300结合列联表可算得中 ，所以有 99%的把握认为2230581407.406.3527k“该地区热爱足球与性别有关” 12 分20解：（1）
12、由 ，得 ，圆 的半径 为 2 ，圆心 为原点 关于215xy2,0F,CCO的对称点，设圆心 ，则 ，解得 ，20xy0,Cxy012yx02xy故圆 的方程为 5 分C224x（2）设直线 的方程为 ，则圆心到直线的距离 ，l2xty21td所以 ，241ndt由 ，消去 ，可得25xtyx，设直线 与椭圆 的两上交点坐标分别为 ，则2410tytlE12,xy，于是122,55ytt:，22121215tmxy，222 2548585441t tnt t:当且仅当 时，等号成立，3t所以直线 的方程为 或 12 分l20xy320xy21解：（1）当 时， ，其定义域为 ，5,1ab5l
13、nfx0,，2414xxfx 由 ，得 ，由 ，得 或 ，因为定义域为 ，所以 的0f510f54x0,fx递减区间为 ， 的递增区间为 5 分,4fx5,4（2）令 ，则 为增函数，2ln,3,2gbabgb根据题意，对任意 ，存在 ，使得 成立，则31xe0fx在 上有解，2max l0x2,令 ，只需存在 ，使得 即可，2lnhaxe01hx因为 ，又令 ，24axx224,ae，所以 在 上单调递增，所以 ，280,1xxex21,e12xa当 时， ，即 ，所以 在 上单调递增，所以 ，不符合题2a0hh, 0h意当 时， ，2421,aeea若 ，即 时， ，即 ， 在 上单调递2
14、0e410x0hx21,e减，又 ，所以存在 ，使得 ，h20,xe0若 ，即 时，在 上存在实数 ，使得 ，即 时，2e4a2,m,xm，所以 在 上单调递减，所以 ，0,xhx1,m01,x使得 ，综上所述，当 时，对任意 ，存在 ，使得 成1h2a32b21,xe0fx立 12 分22 （1）解： 与圆 相切于点 ，又 是圆 的直径，EPO0, 5ACBPBCO ，四边形 内接于圆 ， ，05ABCD018D 5 分2D（2）证明 ： ， ，035E,ACPBA ， ， ， ，ACBP: ， ， 10 分2D2:2DAP23解：（1）由 消去 ，得直线 的普通方程为 ，1342xtytl340xy曲线 的直角坐标系方程为 16 分230,10,4C216（2） 的圆心 到直线 的距离为C:3lxy， ， ，2431d21cos4AOB022AOB ，故 10 分AOB324解：（1）因为 0,abc，fxxxabc当且仅当 时取等号，所以 5 分1（2）因为 22222313abccc2220ab所以 10 分213abc
